2019-2020学年河北省邢台市高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2019-2020学年河北省邢台市高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

2019-2020 学年河北省邢台市高一上学期第一次月考数学试 题 一、单选题 1．设集合  2 0A x x x   ，则下列表述不正确的是（ ） A． 0 A B．1 A C．{ }1 A－ D． 0 A 【答案】C 【解析】化简集合  0, 1A   ，即可根据元素与集合关系及集合与集合关系判断. 【详解】 因为    2 0 0, 1A x x x     所以 0 A 正确，1 A 正确，0 A ，{ 1} A  这个表述是错误的，应写为{ 1} A  . 故选：C 【点睛】 本题主要考查了元素与集合的关系，集合与集合的关系，属于容易题. 2．已知函数 2 1, 0 ( ) 1 , 0 x x f x x xx          ，则   3f f ＝（ ） A． 1 4 B．4 C． 25 4 D． 100 9 【答案】C 【解析】根据分段函数的解析式代入求函数值即可. 【详解】 (3) 4 2f     ， 25 25( (3)) ( 2) 2 4f f f          ， 故选：C 【点睛】 本题主要考查了分段函数的解析式，求函数值，属于容易题. 3．己知集合 { 4M x x  或  21}, 5x N y y x    ，则 M N ＝（ ） A． ( ) － ，＋ B． 4( ]1 5( ) － ， ， C． D． 4( )1 5( ) － ， ， 【答案】B 【解析】化简集合  25 ( ,5]N y y x     ，根据交集运算即可. 【详解】 因为 { | 4M x x  或 1}, ( ,5]x N   . 所以 ( ,1) (4,5]M N    . 故选：B 【点睛】 本题主要考查了集合的交集运算，二次函数的值域，属于容易题. 4．在如图所示的韦恩图中，A、B 均是非空集合，则阴影部分表示的集合为（ ） A． ( )UA B ð B． ( )U A Bð C． ( ) ( )U UA B D． ( ) ( )UA B A B  ð 【答案】D 【解析】阴影部分为两个集合的并集去掉两个集合的交集，可以用两个集合的交集的补 集交两集合的并集即可. 【详解】 因为阴影部分为 A B 去掉 A B 的部分， 所以阴影部分表示的集合为 ( ) ( )UA B A B  ð . 故选：D 【点睛】 本题主要考查了集合的交集、并集、补集，数形结合，属于容易题. 5．下列函数不是偶函数的是（ ） A． 4 2 1y x x   B． 2 1y xx   C． 1 1y x x    D． 3y x x  【答案】D 【解析】根据偶函数的定义，检验是否满足 ( ) ( )f x f x  ，即可求解. 【详解】 A,B,C 选项都满足 ( ) ( )f x f x  ，是偶函数，  3 3( )x x x x     ， D 选项为奇函数， 故选：D 【点睛】 本题主要考查了函数奇偶性的判定，属于容易题. 6．下列各组中的函数  f x 与  g x 是同一个函数的是（ ） A． 2( ) 1, ( ) ( 1)f x x g x x    B． 22( ) 2 1, ( ) 1f x x x g x x     C． 2( ) 1, ( ) 1f x x g x x    D． 2 ( ) 1, ( ) x xf x x g x x    【答案】B 【解析】根据函数的定义域、解析式是否相同，即可求解. 【详解】 A 中 ( ) 1f x x= - 与 2( ) ( 1)g x x  ，的定义城不同；B 中 22 2( ) 2 1, ( ) 1 2 1f x x x g x x x x        定义域都为 R,解析式相同，是相同的函 数；C 中 ( ) 1f x x= - 与 ( ) | | 1g x x  的解析式不同：D 中 ( ) 1( )f x x x R   与 2 ( ) 0)x xg x xx  （ 的定义域不同. 故选：B 【点睛】 本题主要考查了函数的定义域与解析式，属于中档题. 7．若函数   2 3f x x ax a    在 1,2 上单调递增，则 a 的取值范围是（ ） A． 3 ,4    B． 3, 2     C． 4 ,3    D． 2, 3     【答案】C 【解析】对函数进行配方，根据一元二次函数的图象和性质可知对称轴要在给定区间右 侧，由此即可求出 a 的范围. 【详解】 依题意，   2 2 2 3 93 2 4 a af x x ax a x a            在 1,2 上单调递增， 由二次函数的图象和性质，则 3 22 a  ，解得 4 3a  . 故选：C. 【点睛】 本题考查一元二次函数的图象和性质，研究二次函数的单调性问题关键在于判断对称轴 与给定区间的位置关系，属基础题. 8．函数   4 2 1 xf x x   的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先判断  f x 的奇偶性，由此可排除 C 与 D，再求 2 3f      ，令其跟 1 比较，据 此可排除 C，从而可得到正确选项. 【详解】 因为    4 2 1 xf x f xx     ，所以   4 2 1 xf x x   为奇函数，排除 C 与 D.因为 2 108 13 97f       ，所以排除 B，所以 A 正确. 故选：A. 【点睛】 本题考查函数图象的判断，根据函数的性质和利用赋值进行排除是解决此类问题的常用 方法，属中档题. 9．己知函数 ( 1)y f x＝ ＋ 的定义域是[ 1 2]－， ，则函数 ( )y f x＝ － 的定义域为（ ） A． 3,0 B．[ 1,2] C．[0,3] D．[ 2,1] 【答案】A 【解析】由函数 ( 1)y f x＝ ＋ 的定义域是[ 1 2]－， 可求出 0 1 3x „ „ ，令 x－ 代替 1x  ， 可得 0 3x„ „ ，即可求出 ( )y f x＝ － 的定义域. 【详解】 因为函数 ( 1)y f x＝ ＋ 的定义域是[ 1 2]－， 由 1 2x „ „ ，得 0 1 3x „ „ ， 所以 ( )y f x 的定义域是[0,3]， 由 0 3x„ „ 得 3 0x   . 所以 ( )y f x  的定义域为[ 3,0] .故选：A 【点睛】 本题主要考查了抽象函数的定义域，属于中档题 . 10．若函数  f x 满足 3( 2) 2 xf x x    ，则  f x 在[1 )，＋ 上的值域为（ ） A．[2 )，＋ B． (1 2]， C． ( 2]－ ， D． 4(0, 3   【答案】B 【解析】根据 3( 2) 2 xf x x    ，利用配凑法求出函数  f x 解析式，求值域即可. 【详解】 因为 2 1( 2) 2 xf x x     ， 所以 1 1( ) 1xf x x x    . 因为 1x… ， 所以1 ( ) 2f x  . 函数值域为 (1 2]， ， 故选：B 【点睛】 本题主要考查了求函数解析式，函数的值域，属于容易题. 11．已知函数 2( ) 2 3f x x x   在[ ]1 m－， 上的最大值为  f m ，则 m 的取值范围 是（ ） A． ( 11]－， B． ( 1,1 2 2]  C．[1 2 2, )  D． ( 1,1] [1 2 2, )    【答案】D 【解析】作出函数图象，结合图象可以观察所得. 【详解】 ( )f x 的图象如下图： 对称轴为 1, (1) 4x f  ， 令 2 2 3 4x x   ，得 1 2 2x   . 因为 ( 1) 0f   ， 所以数形结合可得 1 1m  „ 或 1 2 2m … . 故选：D 【点睛】 本题主要考查了函数的图象，数形结合的思想，属于中档题. 12．已知函数    f x g x， 的图象分别如图 1，2 所示，方程      1f g x g f x＝ ， ＝－1， 1( ( )) 2g g x   的实根个数分别为 a、b、c，则（ ） A． a b c  B．b c a＋ ＝ C． ba c＝ D． ab c＝ 【答案】A 【解析】结合函数图像可知方程根的个数，根据个数确定 a,b,c 的值，即可求解. 【详解】 由方程 ( ( )) 1f g x  ，可得 ( ) ( 1 0)g x m m    . 此方程有 4 个实根， 所以方程 ( ( )) 1f g x  有 4 个实根，则 4a  ； 由方程 ( ( )) 1g f x   ，可得 ( ) 1f x  或 ( ) 1f x   . 所以方程 ( ( )) 1g f x   有 2 个实根，则 2b  ， 由方程 1( ( )) 2g g x   ，可得 1 1 3( ) 12g x x x        或  2 2( ) 1 0g x x x    或 3 3( ) (0 1)g x x x   或 44 3( ) 1 2g x x x      ， 这 4 个方程的实根的个数分别为 0，4，2，0. 则 6c  . 故 a b c  ， 故选：A 【点睛】 本题主要考查了函数与方程的关系，方程的根的个数即为函数图象交点的个数，数形结 合，属于难题. 二、填空题 13．函数 5 2 5 x xy x x    的定义域为_____________________ 【答案】 ( ,0) (0,5)  【解析】由题意，只需满足 5 2, 5 x x x x   有意义即可. 【详解】 由题意知需要满足 5 0 0 5 0 x x x       … .解得 5x  ，且 0x  , 所以函数的定义域为 ( ,0) (0,5)  . 故答案为： ( ,0) (0,5)  【点睛】 本题主要考查了给出函数解析式的定义域，属于中档题. 14．己知集合 { 4},A x Z x B N    ，现有四个结论： ① B N N ＝ ；② A B 可能是 (1 2 3)，， ；③ A B 可能是{ 11)－， ；④0 可能属于 B. 其中所有正确结论的编号是__________________________ 【答案】①②④ 【解析】根据集合的交集，并集运算及元素与集合的关系，判断命题的真假即可. 【详解】 因为 N 是非负整数集，且 { | 4}A x x  Z ， B N ， 所以① B N N ＝ 正确；② A B 可能是{1 2 3}，， ；④0 可能属于 B 正确；③ A B 可能 是{ 11)－， 错误，因为 B 是自然数集合的子集，不可能含有元素-1， 故答案为：①②④ 【点睛】 本题主要考查了集合的交集、并集运算，自然数集，元素与集合的关系，属于中档题. 15．若函数 2 2 , 1( ) 4, 1 x a xf x ax x         在 R 上是单调函数，则 a 的取值范围为 __________________. 【答案】 50, 3      【解析】分段函数 2 2 , 1( ) 4, 1 x a xf x ax x         在 R 上是单调函数需满足每段上都是增函 数且当 1x   时， 1 2 4a a     即可. 【详解】 当 1x   时， 2( ) 2f x x a   为增函数， 所以当 1x   时， ( ) 4f x ax  也为增函数， 所以 0 1 2 4 a a a      „ ，解得 50 3a  . 故答案为： 50, 3      【点睛】 本题主要考查了分段函数的单调性，属于中档题. 16．张军在网上经营了一家干果店，销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃，价格 依次为 120 元/千克、80 元/千克、70 元/千克、40 元/千克.为了增加销量，张军对以上 四种干果进行促销，若一次性购买干果的总价达到 150 元，顾客就少付 x(x∈Z)元，每 笔订单顾客在网上支付成功后，张军会得到支付款的 80%. ①当 x＝15 时，顾客一次性购买松子和腰果各 1 千克，需要支付_________________元； ②在促销活动中，为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销的总价的 70%，则 x 的最大值为___________ 【答案】175 18 【解析】（1）当 x＝15 时，按价格计算应付120 70 15 175   元(2)根据题意，分购买 干果的总价为 M 元小于 150， 150M… 两种情况分类讨论，当 150M… 时转化为 8M x… 恒成立问题，当 0 150M  时显然满足题意. 【详解】 （1）当 15x  时，顾客一次性购买松子和腰果各 1 千克，需要支付120 70 15 175   元 （2）设顾客一次性购买干果的总价为 M 元，当 0 150M  时，张军每笔订单得到的 金额显然不低于促销前总价的 70% ， 当 150M… 时， 0.8( ) 0.7M x M … ，即 8M x… 对 150M… 恒成立， 则8 150, 18.75x x „ . 又 x  Z .所以 x 的最大值为 18. 【点睛】 本题主要考查了函数在实际问题中的应用，不等式恒成立，分类讨论，属于中档题. 17．已知定义在[ 5 5]－ ， 上的函数  f x 的图象如图所示. (1)写出  f x 的单调区间； (2)若  f x 在 ( )1 2a a- ， 上单调递减，求 a 的取值范围. 【答案】（1） ( )f x 的单调递增区间为[ 5, 2)  和 (1,5];单调递减区间为 ( 2,1) （2） 11, 2     【解析】（1）根据图象可写出函数的单调区间（2）由（1）知， ( ) ,1 )2 ( 2 1a a  - ， 时 即可求出 a 的取值范围. 【详解】 （1）由 ( )f x 的图象，得 ( )f x 的单调递增区间为[ 5, 2)  和 (1,5] 单调递减区间为 ( 2,1) （2）因为 ( )f x 在 ( 1,2 )a a 上单调递减，所以 1 2 2 1 1 2 a a a a        … ， 解得 11 2a   ， 故 a 的取值范围为 11, 2     . 【点睛】 本题主要考查了函数的单调性，子集的概念，数形结合，属于中档题. 三、解答题 18．设全集U  R ，集合  2 8A x x   ，  0 6B x x   . （1）求 A B ， A B ，  BA ð ； （2）若集合  2 4C x x a   ， A C ，求 a 的取值范围. 【答案】（1）  2 6A B x x    ，  0 8A B x x    ，    0 2U A B x x   ð ；（2） ,3 【解析】（1）找出集合 A 和集合 B 的公共部分，确定出两集合的交集，找出既属于集 合 A 又属于集合 B 的部分，确定出两集合的并集，在全集 R 中找出不属于 A 的部分， 求出 A 的补集，找出 A 补集与集合 B 的公共部分，即可求出两集合的交集； （2）由集合 A 和 C，以及 A 为 C 的子集，列出关于 a 的不等式，求出不等式的解集即 可得到 a 的范围. 【详解】 （1）由已知得  2 6A B x x    ，  0 8A B x x    ，又  2 8U A x x x  或ð ， 则   0 2U A B x x   ð ； （2）因为 A C ，所以 2 4 2a   ， 解得 3a  ，即 a 的取值范围是 ,3 . 【点睛】 本题考查了交、并、补集的混合运算，以及根据集合间的包含关系求参数范围，学生求 补集时需注意全集的范围，属基础题. 19．判断下列函数的奇偶性，并求函数的值域. (1) 2 ( ) 1 x xf x x   ； (2) ( ) 3g x x  . 【答案】（1） ( )f x 为非奇非偶函数,值域 ( ,1) (1, )   （2） ( )g x 是偶函数，值域 ( ,3] 【解析】（1）先求出函数定义域 ( ,1) (1, )   ，不关于原点对称，函数为非奇非偶 函数，值域根据一次函数性质求出（2）函数定义域为 R，关于原点对称，根据 ( ) ( )f x f x  可判断函数为偶函数，利用不等式性质可求出值域. 【详解】 （1）因为 ( )f x 的定义域 ( ,1) (1, )   不关于原点称 所以 ( )f x 为非奇非偶函数. 因为 ( ) ( 1)f x x x  ， 所以 ( )f x 的值域为 ( ,1) (1, )   . （2）因为 ( )g x 的定义域为 ( , )  ， 且 ( ) ( )g x g x  ， 所以 ( )g x 是偶函数. 因为| | 0x  . 所以3 | | 3x  所以 ( )g x 的值域为 ( ,3] . 【点睛】 本题主要考查了函数的奇偶性，函数的值域，属于中档题. 20．设集合 2{ , , 1}, {0, , }A a a b B a b   ，且 A B＝ . (1)求 a b＋ 的值； (2)判断函数 ( ) bf x ax x   在[1 )，＋ 上的单调性，并用定义法加以证明. 【答案】（1） 2a b   （2） 1( )f x x x    在[1, ) 上单调递减,证明见解析 【解析】（1）根据集合相等及集合中元素的互异性可确定 a,b,计算 a b（2）由（1） 知 1( )f x x x    ，在[1, ) 上单调递减，根据单调性的定义证明即可. 【详解】 （1）由集合 A B 知 0a  ，所以 1 0b   . 即 1b   ，此时  2{ ,| |,0}, 0, , 1A a a B a   ， 所以 1a   此时  1,1,0 , {0,1, 1}A B    满足 A B ， 故 2a b   （2）由（1）知 1 1( ) , ( )f x x f x xx x       在[1, ) 上单调递减 证明:任取 1 2, [1, )x x   且 1 2x x ， 则    1 2 1 2 1 2 1 1f x f x x xx x                     1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 11x xx x x xx x x x             2 2 2 1 1 1 1x xx x x x   因为 1 2, [1, )x x   且 1 2x x . 所以 2 1 1 2 1 20, 1 0, 0x x x x x x     ， 所以    1 2 0f x f x  ，即    1 2f x f x ， 故 1( )f x x x    在[1, ) 上单调递减. 【点睛】 本题主要考查了集合相等，集合中元素的互异性，函数单调性的定义证明，属于中档题. 21．已知函数  f x 是定义在 R 上的奇函数，当 0x  时，   3f x x＝ － . (1)求  f x 的解析式； (2)求不等式 ( ) 1 2 xf x   的解集. 【答案】（1） 3, 0 ( ) 0, 0 3, 0 x x f x x x x        （2） 4 8, 0,3 3             【解析】（1）设 0,x  则 0x  ，计算 ( )f x ，利用奇函数性质可得 ( )f x ，当 0x  时， (0) 0f  即可求出解析式（2）分类讨论求解不等式即可. 【详解】 （1）若 0x  ，则 0x  . 因为当 0x  时. ( ) 3f x x  ，所以 ( ) 3   f x x 因为 ( )f x 是奇函数，所以 ( ) ( ) 3f x f x x     . 因为 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数，所以 (0) 0f  . 故 3, 0 ( ) 0, 0 3, 0 x x f x x x x        （2）当 0x  时， ( ) 3 1 2 xf x x    ， 解得 4 3x „ 当 0x  时， 0(0) 0 1 2f    ， 则 0x  是不等式 ( ) 1 2 xf x   的解； 当 0x  时， ( ) 3 1 2 xf x x  „ . 解得 8 3x  . 又 0x  ，所以 80 3x  . 故原不等式的解集为 4 8, 0,3 3             【点睛】 本题主要考查了利用奇函数性质求解析式，解分段函数形式的不等式，分类讨论，属于 中档题. 22．已知函数  f x 满足   23 4 8 8 0( ) ( )f x f x ax ax a ＋ － ＝ － ＋ . (1)求  f x 的解析式； (2)若 3t － ，求  f x 在[ ]3 t－ ， 上的最大值. 【答案】（1） 2( ) 4 2f x ax ax   （2）答案不唯一，具体见解析 【解析】（1）根据方程令 x 替换 x 得新方程，联立方程组即可求出 ( )f x （2）写出函 数对称轴 2x   ，根据二次函数开口方向及自变量与对称轴的关系分类讨论，即可求 出函数的最大值. 【详解】 （1）因为 2( ) 3 ( ) 4 8 8f x f x ax ax     ① 所以 2( ) 3 ( ) 4 8 8f x f x ax ax     ② ②×3-①.得 28 ( ) 8 32 16f x ax ax   . 所以 2( ) 4 2f x ax ax   （2） 2( ) ( 2) 2 4f x a x a    ， 当 0a  时， 当 1t … 时. 2 max( ) ( ) 4 2f x f t at at    当 3 1t    时. max( ) ( 3) 9 12 2 2 3f x f a a a       当 0a  时， 当 2t   时， max( ) ( 2) 2 4f x f a    ；. 当 3 2t    时. 2 max( ) ( ) 4 2f x f t at at    【点睛】 本题主要考查了求函数解析式，二次函数求最值，分类讨论，属于难题.