2005年安徽省高考数学试卷（理科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】
2005年安徽省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1. 设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面论断正确的是（ ）
A.∁IS1∩(S2∪S3)=⌀ B.S1⊆(∁IS2∩∁IS3)
C.∁IS1∩∁IS2∩∁IS3=⌀ D.S1⊆(∁IS2∪∁IS3)
2. 一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（ ）
A.82π B.8π C.42π D.4π
3. 已知直线l过点(-2, 0)，当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（ ）
A.(-22，22) B.(-2，2) C.(-24，24) D.(-18，18)
4. 如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF // AB，EF=2，则该多面体的体积为( )
A.23 B.33 C.43 D.32
5. 已知双曲线x2a2-y2=1(a>0)的一条准线与抛物线y2=-6x的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）
A.32 B.32 C.62 D.233
6. 当0
0，二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象为下列之一，则a的值为（ ）
A.1 B.-1 C.-1-52 D.-1+52
8. 设00(n=1, 2,…)．
（1）求q的取值范围；
（2）设bn=an+2-32an+1，记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小．
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20. 9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望．（精确到0.01）
21. 已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，OA→+OB→与a→=(3, -1)共线．
(I)求椭圆的离心率；
(II)设M为椭圆上任意一点，且OM→=λOA→+μOB→(λ, μ∈R)，证明λ2+μ2为定值．
22. 为了了解某校2000名学生参加环保知识竞赛的成绩，从中抽取了部分学生的竞赛成绩（均为整数），整理后绘制成如下的频数分布直方图（如图），请结合图形解答下列问题．
（1）指出这个问题中的总体；
（2）求竞赛成绩在79.5∼89.5这一小组的频率；
（3）如果竞赛成绩在90分以上（含90分）的同学可获得奖励，请估计全校约有多少人获得奖励．
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参考答案与试题解析
2005年安徽省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1.C
2.B
3.C
4.A
5.D
6.C
7.B
8.C
9.B
10.B
11.D
12.B
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13.155
14.672
15.1
16.①③④
三、解答题（共6小题，满分74分）
17.解：（1）∵ x=π8是函数y=f(x)的图象的对称轴，
∴ sin(2×π8+ϕ)=±1，∴ π4+ϕ=kπ+π2，k∈Z．
∵ -π<ϕ<0，ϕ=-3π4．
（2）由（1）知ϕ=-3π4，因此y=sin(2x-3π4)．
由题意得2kπ-π2≤2x-3π4≤2kπ+π2，k∈Z．
所以函数y=sin(2x-3π4)的单调增区间为[kπ+π8，kπ+5π8]，k∈Z．
（3）证明：∵ |y'|=|(sin(2x-3π4))'|=|2cos(2x-3π4)|≤2，
所以曲线y=f(x)的切线斜率取值范围为[-2, 2]，
而直线5x-2y+c=0的斜率为52>2，
所以直线5x-2y+c=0与函数y=sin(2x-3π4)的图象不相切．
18.(1)证明：如图，
∵ PA⊥面ABCD，CD⊥AD，
∴ 由三垂线定理得：CD⊥PD．
因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，
∴ CD⊥面PAD．
又CD⊂面PCD，
∴ 面PAD⊥面PCD．
(2)解：过点B作BE // CA，且BE=CA，
则∠PBE是AC与PB所成的角．
连接AE，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，
所以四边形ACBE为正方形．由PA⊥面ABCD得∠PEB=90∘
在Rt△PEB中BE=a2=3b2，PB=5，
∴ cos∠PBE=BEPB=105．
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∴ AC与PB所成的角为arccos105．
(3)解：作AN⊥CM，垂足为N，连接BN．
在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，
∴ △AMC≅△BMC，
∴ BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角
∵ CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，
在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．
在等腰三角形AMC中，AN⋅MC=CM2-(AC2)2⋅AC，
∴ AN=32×252=65．
∴ AB=2，
∴ cos∠ANB=AN2+BN2-AB22×AN×BN=-23
故所求的二面角为arccos(-23)．
19.解：（1）设等比数列通式an=a1q（n-1）
根据Sn>0，显然a1>0，
当q不等于1时，前n项和sn=a1(1-qn)1-q
所以(1-qn)1-q>0 所以-11
当q=1时 仍满足条件
综上q>0或-10，且-10，
所以，当-12时，Tn-Sn>0，即Tn>Sn；
当-12b>0)，F(c,0)
则直线AB的方程为y=x-c，代入x2a2+y2b2=1，
化简得(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0．
令A(x1, y1)，B(x2, y2)，
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则x1+x2=2a2ca2+b2，x1x2=a2c2-a2b2a2+b2．
∵ OA→+OB→=(x1+x2,y1+y2)，a→=(3,-1)，OA→+OB→与a→共线，
∴ 3(y1+y2)+(x1+x2)=0，又y1=x1-c，y2=x2-c，
∴ 3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0，
∴ x1+x2=32c．
即2a2ca2+b2=3c2，
所以a2=3b2．
∴ c=a2-b2=6a3，
故离心率e=ca=63．
(II)证明：由(1)知a2=3b2，
所以椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F(c,0)可化为x2+3y2=3b2．
设M(x, y)，
由已知得(x, y)=λ(x1, y1)+μ(x2, y2)，
∴ x=λx1+μx2y=λy1+μy2
∵ M(x, y)在椭圆上，
∴ (λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b2．
即λ2(x12+3y12)+μ2(x22+3y22)+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b2．①
由(1)知a2=32c2，b2=12c2．
∴ x1+x2=3c2，x1x2=a2c2-a2b2a2+b2=38c2
∴ x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c)=4x1x2-3(x1+x2)c+3c2=32c2-92c2+3c2=0．
又x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2，
代入①得λ2+μ2=1．
故λ2+μ2为定值，定值为1．
22.竞赛成绩在79.5∼89.5这一小组的频率为0.25．
（3）96+9+12+15+18×2000=300，
答：估计全校约有300人获得奖励．
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