2018-2019学年吉林省蛟河市第一中学校高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版

2018-2019学年吉林省蛟河市第一中学校高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 吉林省蛟河市第一中学校2018-2019高二下学期期中考试数学（理)试卷 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．无理数是实数，是无理数，所以是实数．以上三段论推理 A．正确 B．推理形式不正确 C．两个“无理数”概念不一致 D．两个“实数”概念不一致 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论是否都正确，根据三个方面都正确，得到结论．‎ ‎【详解】‎ 解：∵无理数是实数，是无理数，所以是实数．‎ 大前提：无理数是实数是正确的，‎ 小前提：是无理数是正确的，‎ 结论：是实数是正确的，‎ ‎∴这个推理是正确的，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题是一个简单的演绎推理，这种问题不用进行运算，只要根据所学的知识点，判断这种说法是否正确，是一个基础题．‎ ‎2．i是虚数单位，则的虚部是 A． i B．－i C． D．－‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用分式代数形式的乘除运算化简求得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：∵，‎ ‎∴复数的虚部是．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了分式代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．‎ ‎3．函数f (x)＝cosx在点（0，f (0)）处的切线方程为 A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0‎ C．y－1＝0 D．x＋1＝0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，求得切线的斜率和切点坐标，由点斜式方程可得所求切线的方程．‎ ‎【详解】‎ 解：函数f (x)＝cosx的导数为f′（x）＝﹣sinx，‎ 即有在点（0，f（0））处的切线斜率为k＝﹣sin0＝0，‎ 切点为（0，1），‎ 则在点（0，f（0））处的切线方程为y﹣1＝，‎ 即为y－1＝0．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的运用：求切线的方程，注意运用导数的几何意义和直线的方程，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎4．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：“已知a＞b＞0，求证：－＜．”最终的索因应是 A．＜1 B．＞1 C．1＜ D．a－b＞0‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，要证－＜，经过分析，只要证1＜，从而得出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：由a＞b＞0，可得 要证－＜，a，只要证，‎ 即证 ，即证，‎ 即证 ，即证1＜．‎ 故求证“－＜”索的因应是 1＜，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查用分析法证明不等式，属于基础题．‎ ‎5．10个人排队，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻的排法 A．种 B．－种 C．种 D．种 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不相邻问题采用“插空法”.‎ ‎【详解】‎ 解：∵10个人排成一排，其中甲、乙、丙、丁4人两两不相邻排成一排，‎ ‎∴采用插空法来解，‎ 另外六人，有种结果，再在排列好的六人的七个空档里，排列甲、乙、丙、丁，‎ 有种结果，‎ 根据分步计数原理知共有•，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列组合及简单计数问题，在题目中要求元素不相邻，这种问题一般采用插空法，先排一种元素，再在前面元素形成的空档，排列不相邻的元素．‎ ‎6．下列命题正确的是 A．复数a＋bi不是纯虚数 B．若x＝1，则复数z＝(－1)＋(x＋1)i为纯虚数 C．若(－4)＋(＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2‎ D．若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的分类逐一判断选项即可.‎ ‎【详解】‎ 对于Ａ，时，复数a＋bi是纯虚数，错误；‎ 对于B，当x＝1，复数z＝2i为纯虚数，正确；‎ 对于C，(－4)＋(＋3x＋2)i是纯虚数，则，‎ 即x＝2，故错误；‎ 对于D，复数z＝a＋bi，未注明为实数，故错误；‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查复数的分类，考查学生对基本概念的理解与运用，属于基础题.‎ ‎7．若函数f (x)＝＋x，则＝‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用微积分基本定理即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵f (x)＝＋x，‎ ‎∴‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查微积分基本定理，考查函数的表达式，考查运算能力.‎ ‎8．今有2个红球、2个黄球、3个白球，同色球不加以区分，将这7个球排成一列的不同方法有 A．210种 B．162种 C．720种 D．840种 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先在7个位置中选3个位置排白球，有种排法，再从剩余的4个位置中选2个位置排红球，有种排法，剩余的2个位置排黄球有种排法，由乘法原理可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题．‎ 先在7位置中选3个位置排白球，有种排法，再从剩余的4个位置中选2个位置排红球，有种排法，剩余的2个位置排黄球有种排法，‎ 所以共有••＝210．‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查排列组合的基本知识．分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法．‎ ‎9．已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝(a－2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M，则“点M在第四象限”是“a＝1”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把复数的表示形式写成标准形式，根据复数在第四象限，得到复数的坐标所满足的条件，横标大于零，纵标小于零，得到a的取值范围，得到结果．‎ ‎【详解】‎ 解：∵复数z＝（a﹣2i）（1+i）＝a+2+（a﹣2）i，‎ ‎∴在复平面内对应的点M的坐标是（a+2，a﹣2），‎ 若点在第四象限则a+2＞0，a﹣2＜0，‎ ‎∴﹣2＜a＜2，‎ ‎∴“点M在第四象限”是“a＝1”的必要而不充分条件，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充要条件问题，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查各个象限的点的坐标特点，本题是一个基础题．‎ ‎10．观察下列各式：a+b＝1，a2+b2＝3，a3+b3＝4，a4+b4＝7，a5+b5＝11，，…，则＝‎ A．521 B．322 C．123 D．199‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察1，3，4，7，11，…的规律，利用归纳推理即可得到第12个数的数值．‎ ‎【详解】‎ 解：等式的右边对应的数为1，3，4，7，11，…‎ 其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第12项．‎ ‎∴对应的数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，199，322，第12项为322，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查归纳推理的应用，得到等式的右边数的规律是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎11．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中相互平行或相互垂直的有 A．24对 B．16对 C．18对 D．48对 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考虑相对面的相互平行或相互垂直的情况即可，相对面中，相互平行的有2对，相互垂直的4对.‎ ‎【详解】‎ 从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，相互平行或相互垂直，‎ 则考虑相对面的相互平行或相互垂直的情况即可.‎ 相对面中，相互平行的有2对，相互垂直的4对，共6对，‎ 正方体有三组相对面，故3×6=18，‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查空间直线平行与垂直的判断，考查空间想象能力，考查分类讨论思想，属于中档题.‎ ‎12．设函数f (x)在R上可导，其导函数为f ′(x)，且函数f (x)在x＝－2处取得极大值，则函数y＝f ′(x)的图象可能是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题设条件知：当﹣2＜x＜0以及x＞0时，f ′(x)的符号；当x＝﹣2时，f ′(x)＝0；当x＜﹣2时，f ′(x)符号．由此观察四个选项能够得到正确结果．‎ ‎【详解】‎ 解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），‎ 且函数f（x）在x＝﹣2处取得极大值，‎ ‎∴当x＞﹣2时，f′（x）＜0；‎ 当x＝﹣2时，f′（x）＝0；‎ 当x＜﹣2时，f′（x）＞0．‎ ‎∴当﹣2＜x＜0时，f ′(x)＞0；x＞0时，f ′(x)＜0；‎ 当x＝﹣2时，f ′(x)＝0；‎ 当x＜﹣2时，f ′(x)＜0．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．i为虚数单位，设复数在复平面内对应的点关于原点对称，若＝－20＋18i，则＝______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用复数对应的点的坐标，求出对称点的坐标，即可得到复数．‎ ‎【详解】‎ 解：设复数在复平面内对应的点关于原点对称，复数的实部相反，虚部相反，‎ ‎＝－20＋18i，‎ 所以＝20－18i．‎ 故答案为：20－18i．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的几何意义，对称点的坐标的求法，基本知识的应用．‎ ‎14．的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为______．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，令x＝1，x＝﹣1，两式相减可得结论．‎ ‎【详解】‎ 设 令x=1，可得 令x=，可得，‎ 两式相减可得：，‎ 故答案为：8‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项式定理的运用，考查赋值法的运用，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎15．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是2的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 连OA，OB，设OR交BC于M，OP交AB于N，由四边形ABCD为正方形，得到OB＝OA，∠BOA＝90°，∠MBO＝∠OAN＝45°，而四边形ORQP为正方形，得∠NOM＝90°，所以∠MOB＝∠NOA，则△OBM≌△OAN，即可得到S四边形MONB＝S△AOB.‎ ‎【详解】‎ 解：连OA，OB，设OR交BC于M，OP交AB于N，‎ 如图示：‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴OB＝OA，∠BOA＝90°，∠MBO＝∠OAN＝45°，‎ 而四边形ORQP为正方形，‎ ‎∴∠NOM＝90°，‎ ‎∴∠MOB＝∠NOA，‎ ‎∴△OBM≌△OAN，‎ ‎∴S四边形MONB＝S△AOB2×2＝1，‎ 即它们重叠部分的面积为1，‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】‎ 本题考查旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了正方形的性质．‎ ‎16．已知函数f (x)＝x(8－2x)(5－2x)在区间［0，3］上的最大值是______．‎ ‎【答案】18‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出导函数，明确函数的单调性，从而得到函数的最值.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，‎ ‎∴，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎∴函数f (x)＝x(8－2x)(5－2x)在区间［0，3］上的最大值是，‎ 故答案为：18‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求函数的最值，考查运算能力，属于基础题.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知复数＋x＋(－3x＋2)i（x∈R）是复数6－20i的共轭复数，求实数x的值．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由共轭复数的定义可得可得，解之可得答案．‎ ‎【详解】‎ 因为复数6－20i的共轭复数为6＋20i，‎ 由题意得：＋x＋(－3x＋2)i＝6＋20i， ‎ 根据复数相等的充要条件，得：‎ 方程①的解为：x＝－3或x＝2．‎ 方程②的解为：x＝－3或x＝6．‎ 所以实数x的值为－3．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查共轭复数的概念，属基础题．明确相关概念是解题关键．‎ ‎18．做一个容积为256的方底无盖水箱，求它的高为何值时最省料．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设此水箱的高为x，底面棱长为a，则a2x＝256，其表面积S＝4ax+a2a2a2，利用均值不等式即可得出．‎ ‎【详解】‎ 解：设此水箱的高为x，底面棱长为a，则a2x＝256，‎ 其表面积S＝4ax+a2a2a2≥3×26＝192．‎ 当且仅当a＝8即h4时，S取得最小值．‎ 答：它的高为4 dm时最省料．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正方体的体积与表面积、均值不等式，属于基础题．‎ ‎19．从1到7的7个数字中取两个偶数和三个奇数组成没有重复数字的五位数．‎ 试问：（1）能组成多少个不同的五位偶数？‎ ‎（2）五位数中，两个偶数排在一起的有几个？‎ ‎（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有几个？（所有结果均用数值表示）‎ ‎【答案】（1）576；（2）576；（3）144‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据先取后排的原则，从1到7的七个数字中取两个偶数和三个奇数，然后进行排列；‎ ‎（2）利用捆绑法把两个偶数捆绑在一起，再和另外三个奇数进行全排列；‎ ‎（3）利用插空法，先排两个偶数，再从两个偶数形成的3个间隔中，插入三个奇数，问题得以解决.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）偶数在末尾，五位偶数共有＝576个． ‎ ‎（2）五位数中，偶数排在一起的有＝576个． ‎ ‎（3）两个偶数不相邻且三个奇数也不相邻的五位数有＝144．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数字的组合问题，相邻问题用捆绑，不相邻用插空，属于中档题．‎ ‎20．设函数g(x)＝－1－ax，若当x≥0时，x(－1－ax)≥0，求a的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ g′（x）＝ex﹣a，根据a的取值范围利用导数性质能求出a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 由已知可得g′(x)＝－a．‎ 若a≤1，则当x∈（0，＋∞）时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，‎ 而g(0)＝0，从而当x≥0时，g(x)≥0，‎ 即x(－1－ax)≥0． ‎ 若a＞1，则当x∈（0，lna）时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，‎ 而g(0)＝0，从而当x∈（0，lna）时，g(x)＜0，‎ 即x(－1－ax)＜0．‎ 综上，得a的取值范围为(－∞，1]．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．‎ ‎21．试比较3－与（n为正整数）的大小，并予以证明．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用作差法可得3－－＝，确定3－与的大小关系等价于比较与2n＋1的大小，利用数学归纳法证明即可.‎ ‎【详解】‎ 证明：3－－＝， ‎ 于是确定3－与的大小关系等价于比较与2n＋1的大小．‎ 由2＜2×1＋1，＜2×2＋1，＞2×3＋1，＞2×4＋1，＞2×5＋1， ‎ 可猜想当n≥3时，＞2n＋1， ‎ 证明如下：‎ ⅰ当n＝3时，由上可知显然成立．‎ ⅱ假设当n＝k时，＞2k＋1成立．‎ 那么，当n＝k＋1时，‎ ‎＝2×＞2(2k＋1)＝4k＋2＝2(k＋1)＋1＋(2k－1)＞2(k＋1)＋1，‎ 所以当n＝k＋1时猜想也成立，‎ 综合ⅰ和ⅱ，对一切n≥3的正整数，都有＞2n＋1．‎ 所以当n＝1，2时，3－＜；‎ 当n≥3时，3－＞（n为正整数）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查大小的比较，考查作差法、考查数学归纳法，考查转化思想，属于中档题.‎