数学（文）卷·2018届湖南省衡阳市第八中学高三（实验班）上学期第一次质检（2017

数学（文）卷·2018届湖南省衡阳市第八中学高三（实验班）上学期第一次质检（2017

衡阳八中2018届高三年级实验班第一次质检试卷 文科数学（试题卷）‎ 注意事项：‎ ‎1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第一次质检试卷，分两卷。其中共23题，满分150分，考试时间为120分钟。‎ ‎2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。‎ ‎3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色‎0.5mm签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。‎ ‎★预祝考生考试顺利★‎ 第I卷 选择题（每题5分，共60分）‎ 本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。‎ ‎1.已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（　　）‎ A．（1，3） B．（1，3] C．[﹣1，2） D．（﹣1，2）‎ ‎2.复数的虚部（　　）‎ A．i B．﹣i C．1 D．﹣1‎ ‎3.已知实数a=1.70.3，b=0.90.1，c=log25，d=log‎0.31.8‎，那么它们的大小关系是（　　）‎ A．c＞a＞b＞d B．a＞b＞c＞d C．c＞b＞a＞d D．c＞a＞d＞b ‎4.已知数列{an}为等差数列，Sn为前n项和，公差为d，若﹣=100，则d的值为（　　）‎ A． B． C．10 D．20‎ ‎5.设函数f（x）=sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且f（﹣x）=f（x），则（　　）‎ A．f（x）在（0，）单调递减 B．f（x）在（，）单调递减 C．f（x）在（0，）单调递增 D．f（x）在（，）单调递增 ‎6.‎ ‎《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“禾盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知关于x的函数f（x）=x2﹣2，若点（a，b）是区域内的随机点，则函数f（x）在R上有零点的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.在正方形格中，某四面体的三视图如图所示．如果小正方形格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为（　　）‎ A．4 B．‎6 ‎C．4 D．2‎ ‎9.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（　　）‎ A．2 B．‎3 ‎C．4 D．5‎ ‎10.对正整数n，有抛物线y2=2（2n﹣1）x，过P（2n，0）任作直线l交抛物线于An，Bn两点，设数列{an}中，a1=﹣4，且an=（其中n＞1，n∈N），则数列{an}的前n项和Tn=（　　）‎ A．4n B．﹣4n C． 2n（n+1） D．﹣2n（n+1）‎ ‎11.已知点分别是椭圆的左，右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，若△ABF2是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎12.已知函数f（x）=lnx﹣x3与g（x）=x3﹣ax的图象上存在关于x轴的对称点，则实数a的取值范围为（　　）‎ A．（﹣∞，e） B．（﹣∞，e] C． D．‎ 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二.填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13.在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=　 　．‎ ‎14.已知（a＞0，b＞0），且A，B，C三点在同一条直线上，则的最小值为　 　．‎ ‎15.三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，已知PA，PB，PC两两垂直，且PA=1，PB+PC=4，则当三棱锥的体积最大是，球O的表面积为　　．‎ ‎16.已知函数f（x）的定义域是R，f（x）= （a为小于0的常数）设x1＜x2 且f′（x1）=f′（x2），若x2﹣x1 的最小值大于5，则a的范围是　　．‎ 三.解答题（共8题，共70分）‎ ‎17.（本题满分12分）‎ 已知，其中向量（x∈R），‎ ‎（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；‎ ‎（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f （A）=2，a=，b=，求边长c的值．‎ ‎18.（本题满分12分）‎ 在三棱柱ABC﹣A1B‎1C1中，△ABC是边长为2的正三角形，侧面BB‎1C1C是矩形，D、E分别是线段BB1、AC1的中点．‎ ‎（1）求证：DE∥平面A1B‎1C1；‎ ‎（2）若平面ABC⊥平面BB‎1C1C，BB1=4，求三棱锥A﹣DCE的体积．‎ ‎19.（本题满分12分）‎ ‎2016年1月6日北京时间上午11时30分，朝鲜中央电视台宣布“成功进行了氢弹试验”，再次震动了世界．朝鲜声明氢弹试验对周边生态环境未产生任何负面影响，未提及试验地点．中国外交部发表措辞严厉的声明对朝鲜核试验“坚决反对”，朝鲜“氢弹试验”事件引起了我国公民热议，其中丹东市（丹东市和朝鲜隔江）某QQ聊天群有300名友，新疆乌鲁木齐某微信群由200名微信好友．为了了解不同地区我国公民对“氢弹试验”事件的关注度，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名好友，先分别统计了他们在某时段发表的信息条数，再将两地友留言信息条数分成5组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求丹东市友的平均留言条数（保留整数）；‎ ‎（2）为了进一步开展调查，从样本中留言条数不足50条的友中随机抽取2人，求至少抽到一名乌鲁木齐市友的概率；‎ ‎（3）规定：“留言条数”不少于70条为“强烈关注”．‎ ‎①请根据已知条件完成下列2×2的列联表；‎ 强烈关注 非常强烈关注 合计 丹东市 乌鲁木齐市 合计 ‎②判断是否有90%的把握认为“强烈关注”与友所在的地区有关？‎ 附：临界值表及参考公式 K2=，n=a+b+c+d ‎ P（k2≥k）‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎20.已知椭圆C：的离心率为，左、右焦点为F1，F2，点M为椭圆C上的任意一点，的最小值为2．‎ ‎（I）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（II）已知椭圆C的左、右顶点为A，B，点D（a，t）为第一象限内的点，过F2作以BD为直径的圆的切线交直线AD于点P，求证：点P在椭圆C上．‎ ‎21.（本题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当0＜a≤1时，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）是否存在实数a，使得至少有一个x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由．‎ 选做题 请考生从22、23题中任选一题作答，共10分。‎ ‎22.选修4-4.坐标系与参数方程 已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）‎ ‎（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．‎ ‎23.选修4-5.不等式选讲 已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|‎ ‎（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；‎ ‎（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．‎ 衡阳八中2018届高三年级实验班第一次质检参考答案文科数学 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C D A B C A B B C D B D ‎13.1‎ ‎14.4‎ ‎15.9π ‎16.（﹣∞，﹣4）‎ ‎17.‎ ‎（1）f （x）==sin2x+cos2x ‎ ‎=2sin（2x+） ‎ 由，‎ 得　．‎ ‎∴f（x）的单调增区间为．（6分）‎ ‎（2）f （A）=2sin（‎2A+）=2，‎ ‎∴sin（‎2A+）=1，‎ ‎∵0＜A＜π，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎2A+=，‎ ‎∴A=．‎ 由余弦定理得 a2=b2+c2﹣2bccosA，‎ ‎7=3+c2﹣‎3c 即 c2﹣‎3c﹣4=0，‎ ‎∴c=4或c=﹣1 （不合题意，舍去），‎ ‎∴c=4．（12分）‎ ‎18.‎ ‎（1）证明：取棱A‎1C1的中点F，连接EF、B‎1F 则由EF是△AA‎1C1的中位线得EF∥AA1，EF=AA1‎ 又DB1∥AA1，DB1=AA1‎ 所以EF∥DB1，EF=DB1‎ 故四边形DEFB1是平行四边形，从而DE∥B‎1F 所以DE∥平面A1B‎1C1（6分）‎ ‎（Ⅱ）解：因为E是AC1的中点，所以VA﹣DCE=VD﹣ACE=‎ 过A作AH⊥BC于H 因为平面平面ABC⊥平面BB‎1C1C，所以AH⊥平面BB‎1C1C，‎ 所以==‎ 所以VA﹣DCE=VD﹣ACE==（12分）‎ ‎19.‎ ‎（1）45×0.01×10+55×0.025×10+65×0.04×10+75×0.02×10+85×0.005×10=63.5≈64．‎ ‎∴丹东市友的平均留言条数是64条．（3分）‎ ‎（2）留言条数不足50条的友中，丹东市友有0.01×10×100×=6人，乌鲁木齐友有0.005×=2人，‎ 从中随机抽取2人共有=28种可能结果，其中至少有一名乌鲁木齐友的结果共有=12+1=13种情况，‎ ‎∴至少抽到1名乌鲁木齐友的概率为P=．（7分）‎ ‎（3）①列联表如下：‎ ‎ ‎ 强烈关注 非强烈关注 合计 丹东市 ‎15‎ ‎45‎ ‎60‎ 乌鲁木齐市 ‎15‎ ‎25‎ ‎40‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ ‎（8分）‎ ‎②K2的观测值k=≈1.79，（10分）‎ ‎∵1.79＜2.706，‎ ‎∴没有90%的把握认为“强烈关注”与友所在的地区有关．（12分）‎ ‎20.‎ ‎（I）设M（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（﹣c，0），‎ 则=（﹣c﹣x0，y0），=（c﹣x0，y0），（1分）‎ ‎•=（﹣c﹣x0，y0）（c﹣x0，y0）=x02﹣c2+y02，‎ 由∵，y02=b2﹣x02，‎ ‎•=（1﹣）x02+b2﹣c2，（3分）‎ 由﹣a≤x0≤a，则x0=0，则•取最小值，最小值为b2﹣c2，‎ ‎∴b2﹣c2=2，‎ 由=，则=，‎ ‎∴a2=4，b2=3，（5分）‎ 则椭圆的标准方程：；（6分）‎ ‎（II）证明：由（I）可知F2（1，0），设以BD为直径的圆E，其圆心E（2，‎ ‎），D（2，t），B（2，0），‎ 则圆E（x﹣2）2+（y﹣）2=，‎ 直线AD的方程为y=（x+2），（8分）‎ 设过点F2与圆E相切的直线方程设为x=ky+1，‎ 则=丨丨，则k=，‎ 解方程组，解得：，（10分）‎ 将（，）代入椭圆方程成立，即+=1，‎ ‎∴点P在椭圆C上．（12分）‎ ‎21.‎ ‎（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），‎ ‎（1）当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，得0＜x＜a或1＜x＜+∞，由f′（x）＜0，得a＜x＜1‎ 故函数f（x）的单调增区间为（0，a）和（1，+∞），单调减区间为（a，1）‎ ‎（2）当a=1时，f′（x）≥0，f（x）的单调增区间为（0，+∞）（4分）‎ ‎（Ⅱ）先考虑“至少有一个x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立”的否定“∀x∈（0，+∞），f（x）≤x恒成立”．即可转化为a+（a+1）xlnx≥0恒成立．‎ 令φ（x）=a+（a+1）xlnx，则只需φ（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立即可，（6分）‎ 求导函数φ′（x）=（a+1）（1+lnx）‎ 当a+1＞0时，在时，φ′（x）＜0，在时，φ′（x）＞0‎ ‎∴φ（x）的最小值为，（8分）‎ 由得，故当时，f（x）≤x恒成立，‎ 当a+1=0时，φ（x）=﹣1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，（10分）‎ 当a+1＜0时，取x=1，有φ（1）=a＜﹣1，φ（x）≥0在x∈（0，+∞）不能恒成立，‎ ‎（11分）‎ 综上所述，即或a≤﹣1时，至少有一个x0∈（0，+∞），使f（x0）＞x0成立．（12分）‎ ‎        ‎ ‎22.‎ ‎（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，‎ ‎∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：‎ ρ2=4ρcosθ，‎ ‎∴x2+y2=4x，‎ ‎∴（x﹣2）2+y2=4．（4分）‎ ‎（2）将代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4得：‎ ‎（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，‎ 化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．‎ 设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，‎ 则，‎ ‎∴|AB|=|t1﹣t2|==，‎ ‎∵|AB|=，（7分）‎ ‎∴=．‎ ‎∴cos．‎ ‎∵α∈[0，π），‎ ‎∴或．‎ ‎∴直线的倾斜角或．（10分）‎ ‎23.‎ ‎（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，‎ 或③．‎ 解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．‎ 把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}．（5分）‎ ‎（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，‎ 等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．‎ 故当 1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，‎ 故a的取值范围为[﹣3，0]．（10分）‎