数学理卷·2018届广东省深圳市高级中学高二下学期期中考试（2017-05）

数学理卷·2018届广东省深圳市高级中学高二下学期期中考试（2017-05）

深圳高级中学（集团）2016-2017学年第二学期期中测试 ‎ 高二数学（理）‎ ‎ 命题人：王会丹 审题人：高书洪 本试卷由两部分组成.‎ 第一部分：第一学期前的基础知识和能力考查，共103 分； ‎ ‎ 选择题包含第1题、第3题、第5题、第6题、第7题，第11题、第12题共35分；‎ ‎ 填空题包含第13题、第16题，共10分；‎ ‎ 解答题包含第17题、第18题、第20题、第21题、第22题，共58分.‎ 第二部分：第一学期后的基础知识和能力考查，共47分;‎ ‎ 选择题包含第2题、第4题、第8题、第9题、第10题，共25分；‎ ‎ 填空题包含第45题、第15题，共10分；‎ ‎ 解答题包含第19题，共12分.‎ 全卷共计150分,考试时间120分钟.‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题 5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合，，则（ ） ‎ ‎ A． B． 　 C． D．‎ ‎2. 若复数满足，则 ( ) ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎3．在等比数列{}中，表示前项和，若，则公比等于( ) ‎ ‎ A. B. C. 1 D. 3‎ ‎4．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则坐法种数为（ ）‎ ‎ A．10 B．16 C．20 D．24‎ ‎5．一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )‎ ‎ A. B. C. D. 7‎ ‎6.已知函数的图象的一个对称中心为, 则函数 的单调递减区间是( )‎ ‎ A. Z B. Z ‎ ‎ C. Z D. Z ‎ 是 否 开始 结束 输出 ‎7．执行如图所示的程序框图，输出的值是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设大于0，则3个数：，，的值( )‎ ‎ A．都大于4 B．至少有一个不大于4 C．都小于4 D．至少有一个不小于4‎ ‎9.我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。这部专著中有部产生于魏晋南北朝时期. 某中学拟从这部名著中选择部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教,每地至少1人,其中甲和乙一定不同地,甲和丙必须同地,则不同的选派方案共有( )种 ‎　 A.27 B. 30 C. 33 D. 36 ‎ ‎11．过椭圆的焦点垂直于x轴的弦长为 ，则双曲线的离心率e的值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎12．如果对定义在上的函数，对任意，‎ 都有,则称函数为“函数”.给出下列函数:‎ ‎①；②；③；④.‎ 其中函数是“函数”的个数为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题 5分，共20分。请把正确答案填在答题卡中横线上）‎ ‎13.已知平面向量与的夹角为，，，则 . ‎ ‎14．若展开式中的系数为，则__________． ‎ ‎15.曲线与直线及轴所围成的图形的面积是________． ‎ ‎16.在“家电下乡”活动中，某厂要将至少100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 元 三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本题满分10分）‎ 如图，梯形ABCD中，.‎ ‎(Ⅰ)若求AC的长；‎ ‎(Ⅱ)若，求的面积.‎ ‎18．（本题满分12分）‎ 设，数列的前项和为，已知，成等比数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和.‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分） ，从甲、乙 两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图．‎ 规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．‎ ‎(1)从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个 优秀成绩的概率；‎ ‎(2)从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优 秀成绩的人数为 ，求的分布列和数学期望E．‎ ‎20．（本题满分12分）‎ 如图， 是平行四边形，已知，,平面平面.‎ ‎（Ⅰ）证明：‎ ‎（Ⅱ）若，求平面与平面所成二面角的平面角的余弦值.‎ ‎21、已知椭圆的两焦点为，，离心率.‎ ‎（1）求此椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线，若与此椭圆相交于，两点，且等于椭圆的短轴长，求的值； （3）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）．‎ ‎（Ⅰ）求的解析式及单调减区间； ‎ ‎（Ⅱ）若函数无零点，求的取值范围．‎ 深圳高级中学（集团）2016-2017学年第二学期期中测试 ‎ 高二数学（理）‎ ‎ 命题人：王会丹 审题人：高书洪 本试卷由两部分组成。‎ 第一部分：第一学期前的基础知识和能力考查，共103 分； ‎ ‎ 选择题包含第1题、第3题、第5题、第6题、第7题，第11题、第12题共35分；‎ ‎ 填空题包含第13题、第16题，共10分；‎ ‎ 解答题包含第17题、第18题、第20题、第21题、第22题，共58分。‎ 第二部分：第一学期后的基础知识和能力考查，共47分 ‎ 选择题包含第2题、第4题、第8题、第9题、第10题，共25分；‎ ‎ 填空题包含第45题、第15题，共10分；‎ ‎ 解答题包含第19题，共12分。‎ 全卷共计150分。考试时间120分钟 注意事项：‎ ‎1、答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。‎ ‎2、每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦干净后，再涂其它答案，不能答在试题卷上。‎ ‎3、考试结束，监考人员将答题卡按座位号、页码顺序收回。‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题 5分，共60分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知集合，，则（ ）B A． B． 　 C． D．‎ ‎2. 若复数满足，则 ( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎2C【解析】‎ ‎3．在等比数列{}中，表示前项和，若，则公比等于( ) ‎ ‎（A） （B） （C）1 （D）3‎ ‎3D【解析】两式相减得，从而求得.‎ ‎4．甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都空座，则坐法种数为（ ）‎ A．10 B．16 C．20 D．24‎ ‎【答案】C【解析】（1）甲在前，乙在后：若甲在第位，则有种方法，若甲在第位，则有种方法，若甲在第位，则有种方法，若甲在第位，则有种方法，共种方法.（2）同理，乙在前，甲在后，也有种方法.故一共有种方法.‎ ‎5．一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）7‎ ‎5A【解析】该几何体是棱长为2的正方体截去一个三棱锥后所得的多面体，其体积为 ‎6.已知函数的图象的一个对称中心为, 则函数 的单调递减区间是( )D ‎(A) Z (B) Z ‎ ‎ (C) Z (D) Z ‎ 是 否 开始 结束 输出 ‎7．执行如图所示的程序框图，输出的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由程序框图可知： ‎ ‎ ……‎ ‎……‎ ‎ ∴周期为3，由，得输出的结果为．‎ ‎8．设大于0，则3个数：，，的值( )‎ ‎ A．都大于4 B．至少有一个不大于4 C．都小于4 D．至少有一个不小于4‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意，令，则三个数为，排除选项.故选.‎ ‎9.我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……、《辑古算经》等算经10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献。这部专著中有部产生于魏晋南北朝时期. 某中学拟从这部名著中选择部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】（方法一）从部名著中选择部名著的方法数为（种），2部都为魏晋南北朝时期的名著的方法数为（种），只有部为魏晋南北朝时期的名著的方法数为（种），于是事件“所选两部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著”的概率. 故选A.‎ ‎（方法二）从部名著中选择部名著的方法数为（种），部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数为（种），由对立事件的概率计算公式得.故选A.‎ ‎10.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远地区支教,每地至少1人,其中甲和乙一定不同地,甲和丙必须同地,则不同的选派方案共有( )种 ‎　 A.27 B. 30 C. 33 D. 36 ‎ ‎10．B 【解析】共有种方案．‎ ‎11．过椭圆的焦点垂直于x轴的弦长为 ，则双曲线的离心率e的值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】　据题意知椭圆通径长为a，故有＝a⇒a2＝4b2⇒＝，故相应双曲线的离心率e＝‎ ＝＝.【答案】　B ‎12．如果对定义在上的函数，对任意，都有则称函数为“函数”.给出下列函数:‎ ‎①；②；③；④.‎ 其中函数是“函数”的个数为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由已知得，，即，故在定义域内单调递增.,其值不恒为正，故①不满足；，故②满足；，③满足；由分段函数的图象，④不满足.‎ 考点：1、函数单调性的定义；2、利用导数判断函数的单调性；3、分段函数.‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题 5分，共20分。请把正确答案填在答题卡中横线上）‎ ‎13.已知平面向量与的夹角为，，，则 .2 ‎ ‎14．若展开式中的系数为，则__________．‎ ‎15.曲线与直线及轴所围成的图形的面积是________．‎ ‎16.在“家电下乡”活动中，某厂要将至少100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 元 ‎16. 设甲型货车需要辆，乙型货车需要辆，由题意得不等式组 ‎ 作出可行域 ，可知，当直线 过点时，‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（本题满分10分）‎ 如图，梯形ABCD中，.‎ ‎(Ⅰ)若求AC的长；‎ ‎(Ⅱ)若，求的面积.‎ 解：（Ⅰ）因为，‎ 所以为钝角，且，，……2分 因为，所以.‎ 在中，由，解得. …5分 ‎（Ⅱ）因为，所以，‎ 故，. …………6分 在中，，‎ 整理得，解得， …………8分 所以. ………10分 ‎18．（本题满分12分）‎ 设，数列的前项和为，已知，成等比数列.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，求数列的前项和.‎ 解：（Ⅰ）由得： …………………1分 ‎ 所以数列是以为首项，为公差的等差数列 ……………………………………3分 由成等比数列.即 解得…………………… ……4分 ‎ 所以， ………………………………………………………5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，……………………… ……6分 所以，即 ‎①. …………………………………8分 ‎②. ……………………………10分 ‎①—②可得 ，‎ 所以. …………………………………………………… ……12分 ‎19. (本小题满分12分)‎ 为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分） ，从甲、乙两 个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作样本，如图是样本的茎叶图．‎ 规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．‎ ‎(1)从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个 优秀成绩的概率；‎ ‎(2)从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优 秀成绩的人数为 ，求的分布列和数学期望E．‎ ‎19解：(1)设事件A表示“从甲班的样本中有放回的随机抽取2个数据，其中只 ‎ 有一个优秀成绩” ……3分 ‎（2）的所有可能取值为0，1，2，3 ……4分 ‎，‎ ‎ ……8分 的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ ……10分 的数学期望为 ……12分 ‎20．（本题满分12分）‎ 如图， 是平行四边形，已知，,平面平面.‎ ‎（Ⅰ）证明：‎ ‎（Ⅱ）若，求平面与平面所成二面角的平面角的余弦值.‎ 解析：（Ⅰ）∵是平行四边形，且 ‎∴，故，即 （ 1分）‎ 取BC的中点F，连结EF，∵，∴ （ 2分）‎ 又∵平面平面，∴平面 （ 3分）‎ ‎∵平面，∴ （ 4分）‎ ‎∵平面，∴平面， （ 5分）‎ ‎∵平面，∴ （ 6分）‎ ‎（Ⅱ）∵,由（Ⅰ）得 （ 7分）‎ 以B为坐标原点，所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系(如图)，则 ‎ ‎ ‎∴ （ 8分）‎ 设平面的法向量为，则 ‎，即 ‎ 得平面的一个法向量为 （ 10分）‎ 由（Ⅰ）知平面，所以可设平面的法向量为 （ 11分）‎ 设平面与平面所成二面角的平面角为，‎ 则 ‎ 即平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为.（ 12分）‎ ‎21、已知椭圆的两焦点为，，离心率.‎ ‎（1）求此椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线，若与此椭圆相交于，两点，且等于椭圆的短轴长，求的值； （3）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.‎ ‎21.解：（1）设椭圆方程为，‎ 则，，‎ 所求椭圆方程为. --------------------------------------4分 ‎（2）由，消去y，得，‎ 则得 （*）‎ 设，则，，，‎ 解得.，满足（*） -----------------------------8分 ‎（3）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为（不妨设k<0），则BC边所在直线的方程为，由，得A 用代替上式中的k，得，由，得 k<0，解得：或，故存在三个内接等腰直角三角形.----1２分 ‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）．‎ ‎（Ⅰ）求的解析式及单调减区间； ‎ ‎（Ⅱ）若函数无零点，求的取值范围．‎ ‎22． 解：(Ⅰ) ，………………1分 又由题意有：，故. ……3分 此时，，由或，所以 函数的单调减区间为和. ………………5分 ‎（说明：减区间写为的扣2分. ）‎ ‎ (Ⅱ) ，且定义域为，‎ 要函数无零点，即要在内无解，亦即要 ‎ 在内无解. ………………6分 构造函数. ‎ ‎①当时，在内恒成立，所以函数在 内单调递减，在内也单调递减. 又，所以在内无零点，‎ 在内也无零点，故满足条件； ………………8分 ‎②当时， ‎ ‎⑴若，则函数在内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增. 又，所以在内无零点；易知，而，故在内有一个零点，所以不满足条件；‎ ‎⑵若，则函数在内单调递减，在内单调递增. 又，所以时，恒成立，故无零点，满足条件； ……10分 ‎⑶若，则函数在内单调递减，在内单调递增，在内也单调递增. 又，所以在及内均无零点. ‎ 又易知，而，又易证当 时，，所以函数在内有一零点，故不满足条件. …………11分 综上可得：的取值范围为：或. …………12分 ‎（说明：在(Ⅱ)的解答中，若分离变量，再讨论函数的 单调性获得给４分）‎