数学卷·2018届福建省福州市格致中学鼓山校区高二上学期期末数学试卷（文科） （解析版）

数学卷·2018届福建省福州市格致中学鼓山校区高二上学期期末数学试卷（文科） （解析版）

全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年福建省福州市格致中学鼓山校区高二（上）期末数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选题题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合要求的 ‎1．已知等差数列{an}，a7=25，且a4=13，则公差d等于（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎2．曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（　　）‎ A．y=x﹣1 B．y=﹣x+1 C．y=2x﹣2 D．y=﹣2x+2‎ ‎3．在等比数列{an}中，a2=2，a4=8，则a6=（　　）‎ A．64 B．32 C．28 D．14‎ ‎4．在△ABC中，a=15，b=10，sinA=，则sinB=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．设椭圆的一个焦点为，且a=2b，则椭圆的标准方程为（　　）‎ A． =1 B． =1 C． =1 D． =1‎ ‎6．“a=1”是“a2=1”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎7．已知△ABC的三条边长分别为8，10，15，则该三角形为（　　）‎ A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 ‎8．若x＞0，则x++2有（　　）‎ A．最小值6 B．最小值8 C．最大值4 D．最大值3‎ ‎9．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C的渐近线方程为，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．抛物线y2=12x上与焦点的距离等于6的点横坐标是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎11．已知实数x，y满足，则目标函数z=2x﹣y的最大值为（　　）‎ A．﹣3 B． C．5 D．6‎ ‎12．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1，作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分 ‎13．∃x0∈R，x02+2x0﹣3=0的否定形式为　　．‎ ‎14．下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 用水量y ‎4.5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2.5‎ 由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是=﹣0.7x+a，求a的值．‎ ‎15．如图是函数y=f（x）的导函数图象，给出下面四个判断：‎ ‎①f（x）在区间[﹣2，1]上是增函数；‎ ‎②x=﹣1是f（x）的极小值点；‎ ‎③f（x）在区间[﹣1，2]上是增函数，在区间[2，4]上是减函数；‎ ‎④x=1是f（x）的极大值点．‎ 其中，判断正确的是　　．（写出所有正确的编号）‎ ‎16．已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y﹣2=0垂直，则b=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17．已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1=2，S3=12．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=an+4n，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎18．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知（a+c）2﹣b2=3ac ‎（1）求角B；‎ ‎（2）当b=6，sinC=2sinA时，求△ABC的面积．‎ ‎19．设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数．命题q：∃x∈R，x2+2kx+1=0．如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．‎ ‎20．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查500位老人，结果如下：‎ 男 女 合计 需要 ‎40‎ ‎30‎ ‎70‎ 不需要 ‎160‎ ‎270‎ ‎430‎ 合计 ‎200‎ ‎300‎ ‎500‎ ‎（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；‎ ‎（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？附：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.50‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎．‎ ‎21．已知函数y=ax3+bx2，当x=1时，有极大值3‎ ‎（1）求函数的解析式 ‎（2）写出它的单调区间 ‎（3）求此函数在[﹣2，2]上的最大值和最小值．‎ ‎22．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F并且经过点A（1，﹣2）．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）过F作倾斜角为45°的直线l，交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN的面积．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年福建省福州市格致中学鼓山校区高二（上）期末数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选题题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合要求的 ‎1．已知等差数列{an}，a7=25，且a4=13，则公差d等于（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】直接由已知代入等差数列的通项公式求解公差．‎ ‎【解答】解：在等差数列{an}中，‎ ‎∵a7=a4+（7﹣4）d，‎ 由a7=25，a4=13，‎ 得25=13+3d，‎ 解得：d=4．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．曲线y=x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（　　）‎ A．y=x﹣1 B．y=﹣x+1 C．y=2x﹣2 D．y=﹣2x+2‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】欲求在点（1，0）处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．‎ ‎【解答】解：验证知，点（1，0）在曲线上 ‎∵y=x3﹣2x+1，‎ y′=3x2﹣2，所以k=y′|x﹣1=1，得切线的斜率为1，所以k=1；‎ 所以曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为：‎ y﹣0=1×（x﹣1），即y=x﹣1．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎3．在等比数列{an}中，a2=2，a4=8，则a6=（　　）‎ A．64 B．32 C．28 D．14‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】由等比数列的性质可得a2a6=a42，代值计算可得．‎ ‎【解答】解：由等比数列的性质可得a2a6=a42，‎ ‎∴2a6=a42=64，解得a6=32‎ 故选：B ‎　‎ ‎4．在△ABC中，a=15，b=10，sinA=，则sinB=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由正弦定理代入已知即可求值．‎ ‎【解答】解：由正弦定理可得：sinB===．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．设椭圆的一个焦点为，且a=2b，则椭圆的标准方程为（　　）‎ A． =1 B． =1 C． =1 D． =1‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由已知可设椭圆的标准方程为，根据a，b，c之间的关系，可得椭圆的标准方程．‎ ‎【解答】解：∵a=2b，椭圆的一个焦点为，‎ ‎∴设椭圆的标准方程为，‎ ‎∴a2﹣b2=3b2=3，‎ 故椭圆的标准方程为，‎ 故选：A ‎　‎ ‎6．“a=1”是“a2=1”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：由a2=1得a=1或﹣1，‎ 则“a=1”是“a2=1”的充分不必要条件，‎ 故选：A ‎　‎ ‎7．已知△ABC的三条边长分别为8，10，15，则该三角形为（　　）‎ A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【分析】利用余弦定理得出最大边15所对的角即可判断出．‎ ‎【解答】解：设边15所对的角为θ，则cosθ=＜0，‎ 因此角θ为钝角，‎ ‎∴该三角形为钝角三角形．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．若x＞0，则x++2有（　　）‎ A．最小值6 B．最小值8 C．最大值4 D．最大值3‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】利用基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵x＞0，‎ 则x++2≥2+2=8，当且仅当x=3时取等号．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线C的渐近线方程为，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由条件根据渐近线方程，分类讨论，求得双曲线C的离心率的值．‎ ‎【解答】解：当焦点在x轴上时，由题意可得=，设a=3k，b=k，∴c==4k，‎ ‎∴=．‎ 当焦点在y轴上时，由题意可得=，设b=3k，a=k，∴c==4k，‎ ‎∴==．‎ 综上可得，双曲线C的离心率为或，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．抛物线y2=12x上与焦点的距离等于6的点横坐标是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】由抛物线y2=12x可得2p=12，解得p．可得焦点F（，0），准线l的方程为x=﹣．设所求点P的坐标为（x0，y0），利用|PF|=即可得出．‎ ‎【解答】解：由抛物线y2=12x可得2p=12，解得p=6．‎ ‎∴焦点F（3，0），准线l的方程为x=﹣3．‎ 设所求点P的坐标为（x0，y0），则|PF|==x0+3．‎ ‎∵|PF|=6，∴x0+3=6，解得x0=3．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．已知实数x，y满足，则目标函数z=2x﹣y的最大值为（　　）‎ A．﹣3 B． C．5 D．6‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=2x﹣y对应的直线进行平移，可得当x=2，y=﹣1时，z取得最大值5．‎ ‎【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，‎ 其中A（﹣1，﹣1），B（2，﹣1），C（0.5，0.5）‎ 设z=F（x，y）=2x﹣y，将直线l：z=2x﹣y进行平移，‎ 当l经过点B时，目标函数z达到最大值 ‎∴z最大值=F（2，﹣1）=5‎ 故选：C ‎　‎ ‎12．过椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点F1，作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】把x=﹣c代入椭圆方程求得P的坐标，进而根据∠F1PF2=60°推断出=‎ 整理得e2+2e﹣=0，进而求得椭圆的离心率e．‎ ‎【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），‎ ‎∵∠F1PF2=60°，‎ ‎∴=，‎ 即2ac=b2=（a2﹣c2）．‎ ‎∴e2+2e﹣=0，‎ ‎∴e=或e=﹣（舍去）．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分 ‎13．∃x0∈R，x02+2x0﹣3=0的否定形式为　∀x∈R，x2+2x﹣3≠0　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到命题的否定：‎ ‎【解答】解：根据特称命题的否定是全称命题得命题的否定：‎ ‎∀x∈R，x2+2x﹣3≠0，‎ 故答案为：∀x∈R，x2+2x﹣3≠0．‎ ‎　‎ ‎14．下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：‎ 月份x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 用水量y ‎4.5‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2.5‎ 由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是=﹣0.7x+a，求a的值．‎ ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】首先求出x，y的平均数，根据所给的线性回归方程知道b的值，根据样本中心点满足线性回归方程，把样本中心点代入，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．‎ ‎【解答】解： =（1+2+3+4）=2.5， =（4.5+4+3+2.5）=3.5，‎ 将（2.5，3.5）代入线性回归直线方程是=﹣0.7x+a，可得3.5=﹣1.75+a，‎ 故a=5.25．‎ ‎　‎ ‎15．如图是函数y=f（x）的导函数图象，给出下面四个判断：‎ ‎①f（x）在区间[﹣2，1]上是增函数；‎ ‎②x=﹣1是f（x）的极小值点；‎ ‎③f（x）在区间[﹣1，2]上是增函数，在区间[2，4]上是减函数；‎ ‎④x=1是f（x）的极大值点．‎ 其中，判断正确的是　②③　．（写出所有正确的编号）‎ ‎【考点】函数的单调性与导数的关系．‎ ‎【分析】根据函数导数符号和函数单调性的关系，极值的概念，以及在极值点处导数的取值情况即可说明每个判断的正误．‎ ‎【解答】解：①x∈[﹣2，﹣1）时，f′（x）＜0；‎ ‎∴f（x）在[﹣2，﹣1）上是减函数；‎ ‎∴该判断错误；‎ ‎②x∈[﹣2，﹣1）时，f′（x）＜0；x∈（﹣1，1]时，f′（x）＞0；‎ ‎∴x=﹣1是f（x）的极小值点；‎ ‎∴该判断正确；‎ ‎③x∈[﹣1，2]时，f′（x）≥0；x∈[2，4]时，f′（x）≤0；‎ ‎∴f（x）在区间[﹣1，2]上是增函数，在区间[2，4]上是减函数；‎ ‎∴该判断正确；‎ ‎④f′（1）＞0，所以x=1不是f（x）的极大值点；‎ ‎∴该判断错误；‎ ‎∴判断正确的是：②③．‎ 故答案为：②③．‎ ‎　‎ ‎16．已知函数f（x）=x2+bx的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y﹣2=0垂直，则b=　1　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】求出导数，求出切线的斜率，化简求解即可．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=x2+bx可得f′（x）=2x+b，‎ 函数的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线x+3y﹣2=0垂直，‎ 可得：2+b=3，解得b=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ‎17．已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1=2，S3=12．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=an+4n，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】（1）由已知条件利用等差数列前n项和公式求出公差d=2，由此能求出an=2n．‎ ‎（2）由bn=an+4n=2n+4n，利用分组求和法能求出数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（1）∵数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1=2，S3=12，‎ ‎∴，‎ 解得d=2，‎ ‎∴an=2+（n﹣1）×2=2n．‎ ‎（2）∵bn=an+4n=2n+4n，‎ ‎∴Tn=2（1+2+3+…+n）+（4+42+43+…+4n）‎ ‎=2×+‎ ‎=．‎ ‎　‎ ‎18．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知（a+c）2﹣b2=3ac ‎（1）求角B；‎ ‎（2）当b=6，sinC=2sinA时，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）由余弦定理变形已知式子可得cosB的值，可得B值；‎ ‎（2）由题意和正弦定理可得c=2a，代入b2=a2﹣ac+c2可得a和c的值，可得三角形为直角三角形，由面积公式可得．‎ ‎【解答】解：（1）∵（a+c）2﹣b2=3ac，∴b2=a2﹣ac+c2，‎ ‎∴ac=a2+c2﹣b2，∴‎ ‎∵B∈（0，π），∴；‎ ‎（2）∵sinC=2sinA，∴由正弦定理可得c=2a，‎ 代入b2=a2﹣ac+c2可得36=a2+4a2﹣2a2，‎ 解得，，满足a2+b2=c2，‎ ‎∴△ABC为直角三角形，‎ ‎∴△ABC的面积S=×2×6=6．‎ ‎　‎ ‎19．设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数．命题q：∃x∈R，x2+2kx+1=0．如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】分别求出p，q为真时的k的范围，根据p，q一真一假，得到关于k的不等式组，解出即可 ‎【解答】解：命题p真：∵y=kx+1在R递增，∴k＞0‎ 命题q真：由∃x∈R，x2+2kx+1=0，得方程x2+2kx+1=0有根，‎ ‎∴△=（2k）2﹣4≥0，解得k≥1或k≤﹣1．‎ ‎∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，‎ ‎∴命题p，q一真一假，‎ ‎①若p真q假，则k＞0且⇒﹣1＜k＜1⇒0＜k＜1．‎ ‎②若p假q真，则k＜0且k≥1或k≤﹣1．⇒﹣k≤﹣1．‎ 综上k的范围是（0，1）∪（﹣∞，﹣1]．‎ ‎　‎ ‎20．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查500位老人，结果如下：‎ 男 女 合计 需要 ‎40‎ ‎30‎ ‎70‎ 不需要 ‎160‎ ‎270‎ ‎430‎ 合计 ‎200‎ ‎300‎ ‎500‎ ‎（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；‎ ‎（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？附：‎ P（K2≥k）‎ ‎0.50‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎．‎ ‎【考点】独立性检验的应用．‎ ‎【分析】（1）用频率估计概率，从而得到需要志愿者提供帮助的老年人的比例的估计值；‎ ‎（2）由公式计算k的值，从而查表即可．‎ ‎【解答】解：（1）需要志愿者提供帮助的老年人的比例估计为=14%；‎ ‎（2）由代入得，‎ k=≈9.967＞6.635；‎ 查表得P（K2≥6.635）=0.01；‎ 故有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数y=ax3+bx2，当x=1时，有极大值3‎ ‎（1）求函数的解析式 ‎（2）写出它的单调区间 ‎（3）求此函数在[﹣2，2]上的最大值和最小值．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】（1）求出y′，由x=1时，函数有极大值3，所以代入y和y′=0中得到两个关于a、b的方程，求出a、b即可；‎ ‎（2）令y′＞0解出得到函数的单调增区间，令y′＜0得到函数的单调减区间；‎ ‎（3）由（2）求出函数的极值，再计算出函数在x=﹣2，x=2处的函数值，进行比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值；‎ ‎【解答】解：（1）y′=3ax2+2bx，当x=1时，y′|x=1=3a+2b=0，y|x=1=a+b=3，‎ 即，解得a=﹣6，b=9，‎ 所以函数解析式为：y=﹣6x3+9x2．‎ ‎（2）由（1）知y=﹣6x3+9x2，‎ y′=﹣18x2+18x，令y′＞0，得0＜x＜1；令y′＜0，得x＞1或x＜0，‎ 所以函数的单调递增区间为（0，1），函数的单调递减区间为（﹣∞，0），（1，+∞）．‎ ‎（3）由（2）知：当x=0时函数取得极小值为0，当x=1时函数取得极大值3，‎ 又y|x=﹣2=84，y|x=2=﹣12．‎ 故函数在[﹣2，2]上的最大值为84，最小值为﹣12．‎ ‎　‎ ‎22．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F并且经过点A（1，﹣2）．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）过F作倾斜角为45°的直线l，交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN的面积．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）把点A（1，﹣2）代入抛物线C：y2=2px（p＞0），解得p即可得出．‎ ‎（2）F（1，0）．设M（x1，y1），N（x2，y2）．直线l的方程为：y=x﹣1．与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式可得：|MN|=．利用点到直线的距离公式可得：原点O到直线MN的距离d．利用△OMN的面积S=即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）把点A（1，﹣2）代入抛物线C：y2=2px（p＞0），可得（﹣2）2=2p×1，解得p=2．‎ ‎∴抛物线C的方程为：y2=4x．‎ ‎（2）F（1，0）．‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2）．‎ 直线l的方程为：y=x﹣1．‎ 联立，‎ 化为x2﹣6x+1=0，‎ ‎∴x1+x2=6，x1x2=1．‎ ‎∴|MN|===8．‎ 原点O到直线MN的距离d=．‎ ‎∴△OMN的面积S===2．‎ ‎　‎