2017-2018学年河北省定州中学高二（承智班）上学期开学考试数学试题

2017-2018学年河北省定州中学高二（承智班）上学期开学考试数学试题

‎2017-2018学年高二第一学期承智班班开学考试数学试题 一、选择题 ‎1．已知，且满足，那么的最小值为（　　）‎ A. 3﹣ B. 3+‎2‎ C. 3+ D. 4‎ ‎2．锐角三角形ABC的三边长成等差数列，且，则实数的取值范围是（　　）‎ A. B. C. D. （6，7]‎ ‎3．若对于任意的，都有，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎4．过抛物线（）的焦点作一条斜率为1的直线交抛物线于， 两点向轴引垂线交轴于， ，若梯形的面积为，则（ ）‎ A. 1 B. ‎2 C. 3 D. 4‎ ‎5．已知定义在上的奇函数满足，当时， ，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎6．设双曲线在左右焦点分别为，若在曲线的右支上存在点，使得的内切圆半径，圆心记为，又的重心为，满足平行于轴，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎7．已知函数，则函数 (为自然对数的底数）的零点个数是（ ）‎ A. 3 B. ‎4 C. 6 D. 8‎ ‎8．如图，等边的边长为2，顶点分别在轴的非负半轴， 轴的非负半轴上滑动， 为中点，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．已知若存在互不相同的四个实数满足，则的取值范围是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎10．已知，若方程的根组成的集合中只有一个元素，则实数的值为 （ ）‎ A. －1 B. ‎0 C. 1 D. 2‎ ‎11．对于函数和，设， ，若存在，使得，则称和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12．若圆与双曲线的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ 二、填空题 ‎13．为圆上任意一点，异于点的定点满足为常数，则点的坐标为______．‎ ‎14．已知函数有且仅有2个零点，则的范围是________．‎ ‎15．在三棱锥中， ， ， ， 为的中点，过作的垂线，交、分别于、，若，则三棱锥体积的最大值为__________．‎ ‎16．已知抛物线焦点为，直线过焦点且与抛物线交于两点， 为抛物线准线上一点且，连接交轴于点，过作于点，若，则__________.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数（, 是自然对数的底数）.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎18．已知函数．‎ ‎ （I） 讨论函数的单调区间；‎ ‎ （II）当时，若函数在区间上的最大值为3，求的取值范围．‎ ‎19．已知函数，其中为常数.‎ ‎（1）若时，求函数在点处的切线方程；‎ ‎（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 参考答案 BCCAB CCBDC ‎11．D ‎12．A ‎13．‎ ‎14．或 ‎15． ‎ ‎16．‎ ‎17．（1）（2）‎ ‎（Ⅰ）当时，有，‎ 则．‎ 又因为，‎ ‎∴曲线在点处的切线方程为，即 ‎ ‎（Ⅱ）因为，令 有（）且函数在上单调递增 ‎ 当时，有，此时函数在上单调递增，则 ‎（ⅰ）若即时，有函数在上单调递增，‎ 则恒成立；‎ ‎（ⅱ）若即时，则在存在，‎ 此时函数在 上单调递减， 上单调递增且，‎ 所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；‎ 当时，有，则在存在，此时上单调递减， 上单调递增所以函数在上先减后增．‎ 又，则函数在上先减后增且．‎ 所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；‎ 综上所述，实数的取值范围为 ‎18．（Ⅰ）当时， 在内单调递增， 在内单调递减；当时， 在单调递增；当时， 在内单调递增， 在内单调递减；（Ⅱ）即的取值范围是．‎ ‎（I）． 1分 令得． 2分 ‎（i）当，即时， ， 在单调递增． 3分 ‎（ii）当，即时，‎ 当时， 在内单调递增；‎ 当时， 在内单调递减． 4分 ‎（iii）当，即时，‎ 当时， 在内单调递增；‎ 当时， 在内单调递减． 5分 综上，当时， 在内单调递增， 在内单调递减；‎ 当时， 在单调递增；‎ 当时， 在内单调递增，‎ 在内单调递减．（其中） 6分 ‎（II）当时， ， ‎ 令，得． 7分 将， ， 变化情况列表如下：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎1 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎ ‎ ‎0 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎↗ ‎ 极大 ‎ ‎↘ ‎ 极小 ‎ ‎↗ ‎ ‎8分 由此表可得， ． 9分 又， 10分 故区间内必须含有，即的取值范围是． 12分 ‎19．（1）2x-y+1=0；（2）.‎ ‎（1）， ， ，又因为切点（0,1）‎ 所以切线为2x-y+1=0‎ ‎(2) 令，由题得在恒成立， ，所以 ‎ ‎①若，则时，所以函数在上递增，所以 ‎ 则，得 ‎②若，则当时，当时，所以函数在上递减，在 上递增，所以，又因为，所以不合题意.‎ 综合得.‎