2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 (天津卷)

2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 (天津卷)

绝密★启用前 ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)‎ 数 学（理工类）‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。‎ 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。‎ ‎ 祝各位考生考试顺利！‎ 第Ⅰ卷 注意事项：‎ ‎1. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。‎ ‎2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。‎ 参考公式：‎ ‎•如果事件，互斥，那么 •如果事件，相互独立，那么 ‎. .‎ ‎•圆柱的体积公式.•圆锥的体积公式.‎ 其中表示圆柱的底面面积， 其中表示圆锥的底面面积，‎ 表示圆柱的高.表示圆锥的高.‎ 一. ‎ 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎（1）已知集合，，则 ‎ （A） （B）　 ‎ ‎（C） （D）‎ ‎≤‎ ‎≥‎ ‎≥‎ ‎（2）设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为 ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎≥‎ （3） 在中，若，，，‎ 则 （A） ‎ （B）‎ ‎（C） （D）‎ （4） 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 的值为 （A） ‎ （B）‎ ‎（C） （D）‎ （5） 设是首项为正数的等比数列，公比为，则 ‎“”是“对任意的正整数，”的 （A） 充要条件　　 ‎ ‎（B）充分而不必要条件 ‎（C）必要而不充分条件　 　‎ ‎（第4题图）‎ ‎（D）既不充分也不必要条件 ‎（6）已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于，，，四点，四边形的面积为，则双曲线的方程为 ‎（A） （B） （C）（D）‎ （7） 已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接 并延长到点，使得，则的值为 （A） ‎（B） （C） （D）‎ ‎≥‎ ‎（8）已知函数（，且）在R上单调递减，且关于的方程恰好有两个不相等的实数解，则的取值范围是 （A） ‎ （B）‎ ‎（C）{} （D）{} ‎ 绝密★启用前 ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)‎ 数 学（理工类）‎ 第Ⅱ卷 注意事项：‎ ‎1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. ‎ ‎2. 本卷共12小题, 共110分.‎ 二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.‎ ‎（9）已知，R，是虚数单位，若，则的值为_____________.‎ ‎（10）的展开式中的系数为_____________.（用数字作答）‎ 正视图 侧视图 俯视图 ‎（第11题图）‎ ‎（11）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱 锥的三视图如图所示（单位：），则该四棱锥的体积 为_____________.‎ （12） 如图，是圆的直径，弦与相交于点，‎ ‎，，则线段的长 为_____________.‎ （13） 已知是定义在R上的偶函数，且在区间 上单调递增.若实数满足，‎ 则的取值范围是_____________.‎ ‎（第14题图）‎ （14） 设抛物线（为参数，）的焦 点，准线为.过抛物线上一点作的垂线，垂足为 ‎.设，与相交于点.若，‎ 且的面积为，则的值为_____________.‎ 三. 解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（15）（本小题满分13分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求的定义域与最小正周期；‎ ‎（Ⅱ）讨论在区间上的单调性.‎ （16） ‎（本小题满分13分）‎ 某小组共人，利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为，，的人数分 别为，，.现从这人中随机选出人作为该组代表参加座谈会.‎ ‎（Ⅰ）设为事件“选出的人参加义工活动次数之和为”，求事件发生的概率；‎ ‎（Ⅱ）设为选出的人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列 和数学期望.‎ （17） ‎（本小题满分13分）‎ 如图，正方形的中心为，四边形为矩形，平面平面，点为的中点，.‎ ‎（Ⅰ）求证：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的正弦值；‎ ‎（Ⅲ）设为线段上的点，且，‎ 求直线和平面所成角的正弦值.‎ （16） ‎（本小题满分13分）‎ 已知是各项均为正数的等差数列，公差为.对任意的，是和的等比中项.‎ ‎（Ⅰ）设，，求证：数列是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）设，，，求证.‎ （17） ‎（本小题满分14分）‎ 设椭圆的右焦点为，右顶点为.已知，‎ 其中为原点，为椭圆的离心率. ‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点.若，且≤，求直线的斜率的取值范 围.‎ （18） ‎（本小题满分14分）‎ 设函数，R，其中，R.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若存在极值点，且，其中，求证：；‎ ‎（Ⅲ）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于 ‎2016年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）‎ 数 学（理工类）‎ 一、选择题：‎ ‎（1）【答案】D ‎（2）【答案】B ‎（3）【答案】A ‎（4）【答案】B ‎（5）【答案】C ‎（6）【答案】D ‎（7）【答案】B ‎（8）【答案】C 第Ⅱ卷 二、填空题：‎ ‎（9）【答案】2‎ ‎（10）【答案】‎ ‎（11）【答案】2‎ ‎（12）【答案】‎ ‎（13）【答案】‎ ‎ (14) 【答案】‎ 三、解答题 ‎（15）‎ ‎【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）在区间上单调递增, 在区间上单调递减.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数：，再根据正弦函数性质求定义域、周期根据（1）的结论，研究三角函数在区间[]上单调性 试题解析： 解：的定义域为.‎ ‎.‎ 所以, 的最小正周期 解：令函数的单调递增区间是 由,得 ‎ 设，易知.‎ 所以, 当时, 在区间上单调递增, 在区间上单调递减.‎ 考点：三角函数性质，诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式 ‎【结束】‎ ‎ (16) ‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先确定从这10人中随机选出2人的基本事件种数：，再确定选出的2人参加义工活动次数之和为4所包含基本事件数：‎ ‎，最后根据概率公式求概率（Ⅱ）先确定随机变量可能取值为再分别求出对应概率，列出概率分布，最后根据公式计算数学期望 试题解析：解：由已知，有 所以，事件发生的概率为.‎ 随机变量的所有可能取值为 ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以，随机变量分布列为 随机变量的数学期望.‎ 考点：概率，概率分布与数学期望 ‎【结束】‎ ‎ (17) ‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证（Ⅱ）利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值（Ⅲ ‎）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值 试题解析：依题意，，如图，以为点，分别以的方向为轴，轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，.‎ ‎（I）证明：依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得，又，可得，又因为直线，所以.‎ ‎（II）解：易证，为平面的一个法向量.依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得.‎ 因此有，于是，所以，二面角的正弦值为.‎ ‎（III）解：由，得.因为，所以 ‎，进而有，从而，因此.所以，直线和平面所成角的正弦值为.‎ 考点：利用空间向量解决立体几何问题 ‎【结束】‎ ‎(18) ‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先根据等比中项定义得：，从而，因此根据等差数列定义可证：（Ⅱ） 对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简，再利用裂项相消法求和，易得结论.‎ 试题解析：（I）证明：由题意得，有，因此，所以是等差数列.‎ ‎（II）证明： ‎ 所以.‎ 考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和 ‎【结束】‎ ‎（19）‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由，得，再利用，可解得，（Ⅱ）先化简条件：，即M再OA中垂线上，，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求H，最后根据，列等量关系解出直线斜率.取值范围 试题解析：（1）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）（Ⅱ）解：设直线的斜率为（），则直线的方程为.设，由方程组，消去，整理得.‎ 解得，或，由题意得，从而.‎ 由（Ⅰ）知，，设，有，.由，得，所以，解得.因此直线 的方程为.‎ 设，由方程组消去，解得.在中，，即，化简得，即，解得或.‎ 所以，直线的斜率的取值范围为.‎ 考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程 ‎【结束】‎ ‎（20）‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数：，再根据导函数零点是否存在情况，分类讨论：①当时，有恒成立，所以的单调增区间为.②当时，存在三个单调区间（Ⅱ）由题意得，计算可得再由及单调性可得结论（Ⅲ）实质研究函数最大值：主要比较，的大小即可，分三种情况研究①当时，，②当时，，③当时，.‎ 试题解析：（Ⅰ）解：由，可得.‎ 下面分两种情况讨论：‎ ‎（1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.‎ ‎（2）当时，令，解得，或.‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.‎ ‎（Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得，即，‎ 进而.‎ 又 ‎，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数满足 ，且，因此，所以；‎ ‎（Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况同理：‎ ‎（1）当时，，由（Ⅰ）知，在区间 上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此 ‎，所以.‎ ‎（2）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，，‎ 所以在区间上的取值范围为，因此 ‎.‎ ‎（3）当时，，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，‎ ‎，，‎ 所以在区间上的取值范围为，因此 ‎.‎ 综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.‎ 考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式 ‎【结束】‎