数学理卷·2019届广东省汕头市金山中学高二上学期期末考试（2018-01）

数学理卷·2019届广东省汕头市金山中学高二上学期期末考试（2018-01）

高二理科数学期末考试试题 ‎ 命题：肖冬璇 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 如果命题“且”是假命题，“”也是假命题，则( ) ‎ A．命题“或”是假命题 B．命题“或”是假命题 C．命题“且”是真命题 D．命题“且”是真命题 ‎3. 已知数列为等差数列，其前项和为，，则为( ）‎ A. B. C. D. 不能确定 ‎4. 以抛物线的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎5．“”是 “函数有零点”的 ( ) ‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎6.已知是两条不同的直线, 是两个不同的平面,给出下列命题：‎ ‎①若,,则； ②若,,且,则；‎ ‎③若,,则； ④若,,且,则．‎ 其中正确命题的序号是（ ）‎ A．①④ B．②④ C．②③ D．①③‎ ‎7．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题： “今有蒲生一日，长三尺。莞生一日，长一尺。蒲生日自半。莞生日自倍。问几何日而长等？”（蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物）现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍．为了解决这个新问题，设计右面的程序框图，输入，．那么在①处应填（ ）‎ A．　　B．　　C．　　D．‎ ‎8.过函数图象上一个动点作函数的切线,则切线倾斜角的范围为( ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9．已知定义在上的函数满足： 的图象关于点对称，且当时恒有，当时， ，则 ( )(其中为自然对数的底)‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．已知，点为斜边的中点，，，，则等于（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.在平面直角坐标系中，不等式组（为常数）表示的平面区域的面积为，若满足上述约束条件，则的最小值为 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12. 设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．‎ ‎13. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.‎ ‎14．已知为锐角，向量、满足，则 ． ‎ ‎15．某三棱锥的三视图如图所示，则其外接球的表面积为______．‎ ‎ ‎ ‎16．若实数满足，则的最小值是_________．‎ ‎ ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.‎ ‎17. （本小题满分10分）在数列中，，.‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前项和.‎ ‎18. （本小题满分12分） 在中，角所对的边分别是，且 ‎ .‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若的中线的长为，求的面积的最大值.‎ ‎19．（本小题满分12分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量（百斤）与使用某种液体肥料（千克）之间对应数据为如图所示的折线图． ‎ ‎（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合与的关系？请计算相关系数并加以说明（精确到0．01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）‎ ‎（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制，并有如下关系：‎ 周光照量（单位：小时）‎ 光照控制仪最多可运行台数 ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ 若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．‎ 附：相关系数公式，参考数据，．‎ ‎20．（本小题满分12分）在五面体中， , ‎ ‎,平面.‎ ‎（1）证明:直线平面；‎ ‎（2）已知为棱上的点，，求二面角的大小.‎ ‎21. （本小题满分12分）已知椭圆：的右焦点，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，当直线经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎22.（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）证明：当时， .‎ 高二数学期末考试试题参考答案 ‎ ‎ ACBDA CBBAD DC 13. 14． 15. 16. ‎ ‎ ‎ ‎17.解：（1）的两边同时除以，‎ 得，　…………3分 所以数列是首项为4，公差为2的等差数列.　 …………………4分 ‎（2）由（1），得，…………………5分 所以，故，………………7分 所以，‎ ‎ . ……………10分 ‎18.解：(1)∵ ，‎ ‎ …………4分, ‎ ‎ 即，又.………………6分 ‎(2) 由 ‎ 即…………………8分 从而（当且仅当时，等号成立），…………10分 即…………………12分 ‎19．解：（1）由已知数据可得，．………1分 因为 …………………2分 ‎…………………………3分 ‎…………………………4分 所以相关系数．………………5分 因为，所以可用线性回归模型拟合与的关系．……………6分 ‎（2）记商家周总利润为元，由条件可得在过去50周里：‎ 当时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，‎ 周总利润=1×3000-2×1000=1000元．…………8分 当时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行，‎ 周总利润=2×3000-1×1000=5000元． ……………………………9分 当时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，‎ 周总利润=3×3000=9000元．…………………10分 所以过去50周周总利润的平均值元，‎ 所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元． ………………………12分 ‎20．证明：（1）四边形为菱形， ‎ ‎，………1分 又 ∵平面∴………2分 又直线平面.………4分 ‎(2) ， 为正三角形，取的中点，连接，则，又平面，∴两两垂直，以为原点， 所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，………5分 ‎， ‎ ‎，………6分 由（1）知是平面的法向量，………7分 ‎，，‎ 则，………8分 设平面的法向量为，‎ ‎∴，即，令，则，‎ ‎∴………10分 ‎∴………11分 ‎∴二面角大小为.………12分 ‎21. 解:（1）由题意知，又，所以，………2分 ‎，所以椭圆的方程为： ；………4分 ‎（2）当时， ，不合题意 设直线的方程为：，代入，‎ 得：，故，则 设，线段的中点为，‎ 则 ，………7分 由 得： ，‎ 所以直线为直线的垂直平分线，………8分 直线的方程为： ， ………10分 令得：点的横坐标，………11分 因为， 所以，所以. ………12分 所以线段上存在点 使得，其中. ‎ ‎22.解：（1）函数的定义域为.‎ 由，得.………1分 ‎①当时， 恒成立， 递增，‎ ‎∴函数的单调递增区间是 ………2分 ‎②当时，则时，递减，‎ 时， ，递增.‎ ‎∴函数的单调递减区间是，单调递增区间是.………4分 ‎（2）要证明当时， ，即证明当时， ，………5分 即，令，则，‎ 当时， ；当时， .‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增.‎ 当时， .于是，当时， .①………8分 令，则.‎ 当时， ；当时， .‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减.‎ 当时， .于是，当时， .②………11分 显然，不等式①、②中的等号不能同时成立.故当时， ).………12分