数学理卷·2018届云南省玉溪市玉溪一中高三上学期第三次月考（2017

数学理卷·2018届云南省玉溪市玉溪一中高三上学期第三次月考（2017

玉溪一中2018届高三上学期第三次月考 数学试题（理科）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，试卷满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共60分）‎ 一、选择题（在给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题5分，共60分）‎ ‎1.已知集合，集合，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 复数，则其共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎ ‎3. 等差数列中，，前11项的和（ ）‎ A.10 B‎.12 C.14 D.16‎ ‎4.已知向量均为非零向量，，则的夹角为（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.圆截直线所得弦的长度为2，则实数（ ）‎ A. B. C.4 D.2‎ ‎6. 已知直线，则“”是“” ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎ ‎7. 已知（ ）‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎4‎ A. B. C. D.‎ ‎8.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为( )‎ ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎9. 给出下列三个结论：‎ ‎ ①函数满足，则函数的一个对称中心为 ‎②已知平面和两条不同的直线，满足 ‎③函数的单调递增区间为 其中正确命题的个数为（ ） ‎ A. 3 B. 2 C. 1 D.0‎ ‎10．，则函数的大致图像为（ ）‎ ‎11. 椭圆 上一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，且，则该椭圆的离心率为（ 　）‎ A.1 B. C. D.‎ ‎12. 已知曲线恰好存在两条公切线，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.设，则二项式的展开式的常数项是 ‎ ‎14.是定义在上的函数，且满足，当，‎ 则 ‎ ‎15. 已知数列满足，则数列的前项和 ‎ 。‎ ‎16.四面体的四个顶点都在球的球面上，，，，面面，则球的体积为 ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17. （本小题满分12分）在中，为锐角，角所对的边分别为，且，.‎ ‎（1）求的值； （2）若，求的值.‎ ‎18．（本小题满分12分）在一次耐力和体能测试之后，某校对其甲、乙、丙、丁四位学生的耐力成绩（）和体能成绩（）进行回归分析，求得回归直线方程为．由于某种原因，成绩表（如下表所示）中缺失了乙的耐力和体能成绩． ‎ 甲 乙 丙 丁 耐力成绩(X)‎ ‎7.5‎ m ‎8‎ ‎8.5‎ 体能成绩(Y)‎ ‎8‎ n ‎8.5‎ ‎9.5‎ 综合素质 ‎15.5‎ ‎16‎ ‎16.5‎ ‎18‎ ‎（）‎ ‎（1）请设法还原乙的耐力成绩和体能成绩；‎ ‎（2）在区域性校际学生身体综合素质比赛中，由甲、乙、丙、丁四位学生组成学校代表队参赛.共举行3场比赛，每场比赛均由赛事主办方从学校代表中随机抽两人参赛，每场比赛所抽的选手中，只要有一名选手的综合素质分高于16分，就能为所在学校赢得一枚荣誉奖章．若记比赛中赢得荣誉奖章的枚数为，试根据上表所提供数据，预测该校所获奖章数的分布列与数学期望．‎ ‎19. （本小题满分12分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．‎ ‎(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；‎ ‎(2)设AB=PC=2,AC=1,求二面角B-PA-C的余弦值.‎ ‎20. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，直线与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点,O为坐标原点．‎ ‎(1) 如果直线过抛物线的焦点且斜率为1,求的值；‎ ‎（2）如果，证明：直线必过一定点，并求出该定点.‎ ‎21. （本小题满分12分）设函数 ‎（1）讨论的单调区间和极值；‎ ‎（2）已知，求证：若存在零点，则在区间上有且仅有一个零点.‎ 选考题（本小题满分10分）‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.‎ ‎22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的参数方程为（，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=与C1，C2各有一个交点．当=0时，这两个交点间的距离为2，当=时，这两个交点重合．‎ ‎（1）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出与的值；‎ ‎（2）设当=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当=时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积．‎ ‎23. （本小题满分10分）设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：‎ ‎(1)ab＋bc＋ac≤； (2).‎ 玉溪一中2018届高三上学期第三次月考 理科数学 参考答案 一、选择题 ACDCA CDBDA BB 二、填空题 ‎13、6 14、 15. 16、 ‎ 三、解答题 ‎17解（1）∵为锐角，‎ ‎∴‎ ‎∵ ∴ ‎ ‎（2）由（I）知，∴ 由得 ‎，即 又∵‎ ‎∴ ∴ ∴ ‎ ‎18．解（1） ，‎ 因为回归直线过点，‎ 所以，‎ 又，解得． ‎ ‎（2）在每场比赛中，获得一枚荣誉奖章的概率，则，所以， ，‎ ‎， ．‎ 所以预测的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故预测． ‎ ‎19.解　(1)直线l∥平面PAC.证明如下：‎ 连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC.‎ 又EF⊄平面ABC，且AC⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.‎ 而EF⊂平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.因为l⊄平面PAC，EF⊂平面PAC，所以直线l∥平面PAC.‎ ‎(2)‎ ‎,,.‎ ‎.‎ ‎20. (1)解,　,‎ ‎ (2)证明　由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，‎ 消去x得y2－4ty－4b＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b，‎ ‎∴·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2 ＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2‎ ‎＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b. 令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2，‎ ‎∴直线l过定点(2,0)． ∴若·＝－4，则直线l必过一定点．‎ ‎21.解(1)函数的定义域为(0，＋∞)．由f(x)＝－klnx，得f′’(x)＝x－＝.‎ 当时，在定义域内恒成立，则在上单调递增，无极值；‎ 当时，由得（负值舍去）‎ 则f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)．‎ f(x)在x＝处取得极小值f()＝.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f()＝.‎ 因为f(x)存在零点，所以≤0，从而k≥e，‎ 当k＝e时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()＝0，‎ 所以x＝是f(x)在区间(1，]上的唯一零点．‎ 当k>e时，f(x)在区间(0，)上单调递减，且f(1)＝>0，f()＝<0，‎ 所以f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．‎ 综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．‎ ‎22.解：（1）C1是圆，C2是椭圆.‎ 当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），因为这两点间的距离为2，所以a=3.‎ 当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），因为这两点重合，所以b=1.‎ ‎（2）C1，C2的普通方程分别为 当时，射线l与C1交点A1的横坐标为，与C2交点B1的横坐标为 当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，因此，‎ 四边形A1A2B2B1为梯形.‎ 故四边形A1A2B2B1的面积为 ‎23. 证明 (1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca 得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.‎ 由题设得(a＋b＋c)2＝1， 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，‎ 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.‎ ‎(2)因为 故＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，‎ 即≥a＋b＋c. 所以≥1.‎