2017-2018学年福建省三明市高二下学期期末考试数学（理）试题 Word版

2017-2018学年福建省三明市高二下学期期末考试数学（理）试题 Word版

三明市 2017—2018 学年第二学期普通高中期末质量检测 高二理科数学试题 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求，请把答案填在答题卷相应的位置上. 1.定积分 2 1 1 dxx  （ ） A． ln 2 1 B． ln2 C． 5 4  D． 3 4 2.在“矩形 ABCD ， AC ， BD 是它的两条对角线，则 AC BD ”的推理过程中，大前提 是（ ） A．矩形 ABCD B． AC ， BD 是矩形的两条对角线 C． AC BD D．矩形的两条对角线相等 3.（ A ）（4-4：坐标系与参数方程）参数方程 0 0 cos sin x x r y y r        （ 为参数， 0r  ）和参数 方程 1 cos 2 sin x t y t         （t 为参数）所表示的图形分别是（ ） A．直线、直线 B．直线、圆 C．圆、直线 D．圆、圆 （ B ）（4-5：不等式选讲）若 ,a b R ，且 1a b  ，则 1 1 4 9a b  的最小值为（ ） A． 1 25 B． 5 C． 25 36 D． 25 4.设随机变量 ( ,4)N a  ，若 ( 1) ( 5)P P    ，则 a 的值为（ ） A． 4 B． 3 C． 2 D．1 5.若函数 2( ) lnf x x x a x   在区间 (1, ) 上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ ） A． 3a   B． 3a   C． 3a   D． 3a   6.为了解班级前10号同学的作业完成情况，随机抽查其中 3 位同学，相邻两个号数不同时抽 查，则不同的抽查的方法数为（ ） A．56 B．84 C．112 D．168 7.（ A ）（4-4：坐标系与参数方程）曲线C 的参数方程为 cos 2sin x y      （ 为参数），直线l 的 参数方程为 3 2 1 2 x t y t     （t 为参数），若直线l 与曲线C 交于 A ， B 两点，则 AB 等于（ ） A． 8 7 7 B． 4 7 7 C． 8 13 13 D． 4 13 13 （ B ）（4-5：不等式选讲）若 0a b  ，则下列不等式一定成立的是（ ） A． 1 1a b b a    B． 2 2c c a b  C． 2abab a b   D． 3 3 a b a a b b   8.在某场考试中，同学甲最后两道单项选择题（每题四个选项）不会解答，分别随机选择一 个选项作为答案，在其答对了其中一道题的条件下，两道题都答对的概率为（ ） A． 1 16 B． 1 7 C． 1 4 D． 1 3 9. 2 41( )4x x x   展开式中 2x 项的系数为（ ） A． 39 4 B． 16 4 C． 34 8 D． 12 8 10.定义在 R 上的可导函数 ( )f x 满足 ( ) ( ) 0f x f x   ，且在 ( ,0] 上 '( ) 1 0f x   ，若 (2 ) ( ) 2 2f a f a a     ，则实数 a 的取值范围是（ ） A． 1a   B． 1a  C． 1a   D． 1a  11.小华与另外 4 名同学进行“手心手背”游戏，规则是：5 人同时随机选择手心或手背其中 一种手势，规定相同手势人数更多者每人得1分，其余每人得 0 分.现 5 人共进行了 3 次游戏， 记小华3 次游戏得分之和为 X ，则 EX 为（ ） A． 15 16 B． 33 16 C．15 8 D． 3 2 12.如图 1，将一个实心小球放入玻璃杯（不计厚度）中，已知玻璃杯的侧面可以看成由图 2 的曲线 3 3(0 )2y x x   绕 y 轴旋转一周所形成，若要求小球接触到玻璃杯底部O ，则小球 的最大半径为（ ） A． 3 24 3   B． 3 22 3   C． 3 44 3   D． 3 42 3   第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请把答案写在答题卷相应位置上. 13.设复数 z 满足 ( 2 ) 1z i i i   ，其中i 为虚数单位，则 z  ． 14.下表为生产 A 产品过程中产量 x （吨）与相应的生产耗能 y （吨）的几组相对应数据： x 3 4 5 6 y 2 3.5 5 5.5 根据上表提供的数据，得到 y 关于 x 的线性回归方程为  0.7y x a  ，则 a  ． 15.在如图所示的十一面体 ABCDEFGHI 中，用3 种不同颜色给这个几何体各个顶点染色， 每个顶点染一种颜色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为 ． 16.已知函数 3 2( ) 2f x x ax bx c    有两个极值点 1x ， 2x ，且 1 2x x ，若存在 0x 满足等式 0 1 2(1 )x x x    ， 0  ，且函数 0( ) ( ) ( )g x f x f x  至多有两个零点，则实数  的取 值范围为 ． 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知复数 23 ( 6 8)(1 ) 4 1 m m m iz m i       （i 为虚数单位， m R ）. （1）若 z 是实数，求 m 的值； （2）若复数 z 在复平面内对应的点位于第四象限，求 m 的取值范围. 18.为了调查高中学生喜欢打羽毛球与性别是否有关，调查人员就“是否喜欢打羽毛球”这个 问题，分别随机调查了 50 名女生和 50 名男生，根据调查结果得到如图所示的等高条形图： （1）完成下列 2 2 列联表： 喜欢打羽毛球 不喜欢打羽毛球 总计 女生 男生 总计 （2）能否在犯错误的概率不超过 0.1的前提下认为喜欢打羽毛球与性别有关. 参考数表： 2 0( )P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    . 19.已知 0a  ， 0b  ， c R . （1）用分析法证明： 25 2 3 2 3a b a b   ； （2）用反证法证明： 6 1 4c c  与 3 2 1 2c c  不能同时为负数. 20.某市要对该市六年级学生进行体育素质调查测试，现让学生从“跳绳、短跑 400 米、长跑 1000米、仰卧起坐、游泳100 米、立定跳远”6 项中选择 3 项进行测试，其中“短跑、长跑、 仰卧起坐”3 项中至少选择其中1项进行测试.现从该市六年级学生中随机抽取了50 名学生进 行调查，他们选择的项目中包含“短跑、长跑、仰卧起坐”的项目个数及人数统计如下表：（其 中 x y ） 选择的项目中包含“短跑、长 跑、仰卧起坐”的项目个数 1 2 3 人数 5 x y 已知从所调查的50 名学生中任选 2 名，他们选择“短跑、长跑、仰卧起坐”的项目个数不相 等概率为 29 49 ，记 为这 2 名学生选择“短跑、长跑、仰卧起坐”的项目个数之和. （1）求 x 的值； （2）求随机变量 的分布列和数学期望. 21.已知函数 ( ) ln(2 4)xf x e x b    ，b 为实数. （1）当 0b  时，求函数 ( )f x 在点 ( 1, )a 处的切线方程； （2）当b Z ，且 ( ) 0f x  恒成立时，求b 的最大值. 22.（ A ）（4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 2 cos 2 2 sin 1 0        . （1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的直线 6cos( ) 03 2      距离最大的点的直角坐标. （ B ）（4-5：不等式选讲）设函数 ( ) 2f x x x a    ， a R . （1）若 3a   ，求不等式 ( ) 7f x  的解集； （2）若关于 x 的不等式 2( ) 2 3f x m m   对任意的 m R 恒有解，求 a 的取值范围. 三明市 2017—2018 学年第二学期普通高中期末质量检测 高二理科数学参考答案 一、选择题 1-5: BDCBA 6-10: ACBCA 11、12：BD 二、填空题 13. 10 14. 0.85 15. 6 16. 1[ , )2  三、解答题 17.解：（1） 23 ( 6 8)(1 ) 4 1 m m m iz m i       2 23 ( 6 8)(1 ) 4 (1 )(1 ) m m m i m i i        23 ( 6 8)4 m m m im     . 因为 z 是实数，所以 2 4 0 6 8 0 m m m       ，解得 2m  . （2）因为复数 z 在复平面内对应的点位于第四象限， 所以 2 3 04 6 8 0 m m m m        ，解得3 4m  . 18.解：（1）根据等高条形图，女生不喜欢打羽毛球的人数为 50 0.4 20  ， 男性不喜欢打羽毛球的人数为50 0.6 30  . 填写 2 2 列联表如下： 喜欢打羽毛球 不喜欢打羽毛球 总计 女生 30 20 50 男生 25 25 50 总计 55 45 100 （2）根据列联表中数据，计算 2 2 100 (30 25 20 25) 50 50 55 45K        100 2.70699   ， 所以不能在犯错误的概率不超过 0.1的前提下认为喜欢打羽毛球与性别有关. 19.解：（1）因为 0a  ， 0b  ，要证： 25 2 3 2 3a b a b   ， 只需证： 25 (2 3 )(3 2 )ab a b a b   ， 只需证： 2 225 6 6 13ab a b ab   ， 即证： 2 26 6 12 0a b ab   ，即证： 26( ) 0a b  ， 显然上式恒成立，故 25 2 3 2 3a b a b   . （2）设 6 1 4c c  与 3 2 1 2c c  同时为负数，则 6 3 2 3 04c c c c     （1）， 所以 6 3 2 6 33 1( )4 4c c c c c c       2 3 2 21 1 1 1 1( ) ( ) ( ) 04 4 2 2 4c c c c          ， 与（1）式矛盾，所以假设不成立，所以 6 1 4c c  与 3 2 1 2c c  不能同时为负数. 20.解：（1）记“选择短跑、长跑、仰卧起坐的项目个数相等”为事件 A ，则 2 2 2 5 45 2 50 29 20( ) 1 49 49 x xC C CP A C      ， 所以 2 45 500 0x x   ，解得 20x  或 25x  ， 因为 x y ，所以 20x  . （2）由题意可知 的可能取值分别为 2 ， 3 ， 4 ，5 ， 6 ， 则 2 5 2 50 10( 2) 1225 CP C     ， 1 1 5 20 2 50 100( 3) 1225 C CP C     ， 1 1 2 5 25 20 2 50 315( 4) 1225 C C CP C     ， 1 1 20 25 2 50 500( 5) 1225 C CP C     ， 2 25 2 50 300( 6) 1225 CP C     . 从而 的分布列为：  2 3 4 5 6 P 10 1225 100 1225 315 1225 500 1225 300 1225 数学期望为 10 100 315( ) 2 3 41225 1225 1225E        500 300 5880 245 61225 1225 1225 5       . 21.解：（1）当 0b  时， 1'( ) 2 xf x e x    ，∴ 1'( 1) 1f e   ， 所以函数 ( )f x 在点 ( 1, )a 处的切线方程为 1( 1) ( 1)( 1)y f e x     ， 即为 1 1( 1) 2 ln 2 1y e x e      . （2） ( ) ln(2 4) 0xf x e x b     恒成立，则 ( ) ln(2 4)xg x e x b    恒成立， 又 1'( ) 2 xg x e x    ，令 '( ) ( )g x h x ，所以 2 1'( ) 0( 2) xh x e x    ， 所以 '( )g x 在 ( 2, )x   为单调递增函数. 又因为 '(0) 0g  ， '( 1) 0g   ，所以 0 ( 1,0)x   使得 0'( ) 0g x  ， 即 0( 2, )x x  ， '( ) 0g x  ， 0( , )x x  ， '( ) 0g x  ，所以 min 0( ) ( )g x g x . 又因为 0 0 0 1'( ) 02 xg x e x    ，所以 0 0ln( 2)x x   ， 所以 0 0 0 1( ) ln 22g x xx    ， 0 ( 1,0)x   ， 令 1( ) 2r x xx   ， ( 1,0)x  ， 2 1'( ) 1 0( 2)r x x    ， 所以 1( ) (0, )2r x  ，即 min 1( ) ( ln 2, ln 2)2g x    ，又 1 ln 2 12   ， 所以 min( ) ( 1,0)g x   ， 因为 min( ) ( 1,0)b g x   ，b Z ，所以b 的最大值为 1 . 22.（ A ）解：（1）因为 2 2 2x y   ， cos x   ， sin y   ， 所以曲线 C 的直角坐标方程为 2 2 2 2 2 1 0x y x y     . （2）直线方程为 3 6 0x y   ，圆C 的标准方程为 2 2( 1) ( 2) 4x y    ， 所以设圆上点坐标为 ( 1 2cos , 2 2sin )    ， 则 1 2cos 3( 2 2sin ) 6 2d        4cos( ) 13 2     ， 所以当 cos( ) 13     ，即 2 3   时距离最大，此时点坐标为 ( 2, 2 3)  . （ B ）解：（1）因为 3a   ，所以 ( ) 2 3f x x x    ， 当 3x  时， 2 3 7x x    ，即 4x  ，所以3 4x  ， 当 2x   时， 2 3 7x x     ，即 3x   ，所以 3 2x    ， 当 2 3x   时， 2 3 7x x    ，即5 7 ，所以 2 3x   ， 综上所述，原不等式的解集是 | 3 4x x   . （2） 2 22 3 ( 1) 2 2m m m      ， ( ) 2f x x x a    ( 2) ( ) 2x x a a      . 因为关于 x 的不等式 2( ) 2 3f x m m   对任意的 m R 恒有解. 所以 2 2a  ，解得 0 4a  .