专题17+数列求和的方法规律-名师揭秘2019年高考数学（理）命题热点全覆盖

专题17+数列求和的方法规律-名师揭秘2019年高考数学（理）命题热点全覆盖

一．【学习目标】‎ ‎1．熟练掌握等差、等比数列前n项和公式．‎ ‎2．熟练掌握非等差、等比数列求和的几种方法，如错位相减、裂项相消以及分组求和等．‎ 二．【知识要点】‎ 求数列前n项和的基本方法 ‎(1)公式法 数列{an}为等差或等比数列时直接运用其前n项和公式求和．‎ 若{an}为等差数列，则Sn＝＝____________________．‎ 若{an}为等比数列，其公比为q，‎ 则当q＝1时，Sn＝_________({an}为常数列)；‎ 当q≠1时，Sn＝______________＝_________‎ ‎(2)裂项相消求和法 数列{an}满足通项能分裂为两项之差，且分裂后相邻的项正负抵消从而求得其和．‎ ‎(3)倒序相加法 如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项的和即可用倒序相加法，如等差数列前n项的和公式就是用此法推导的．‎ ‎(4)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．‎ ‎(5)分组转化求和法 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．‎ ‎(6)并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.‎ 三．【方法总结】‎ ‎1.常用基本求和法均对应数列通项的特殊结构特征，分析数列通项公式的特征，联想相应的求和方法既是根本，又是关键.‎ ‎2.数列求和实质就是求数列{Sn}的通项公式，它几乎涵盖了数列中所有的思想策略、方法和技巧，对学生的知识和思维有很高的要求，应充分重视并系统训练. ‎ 练习3. 已知函数，则的值为 _____．‎ ‎【答案】‎ ‎2.裂项求和 例2. 数列的前项和为，若，则等于（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ 选 练习1.数列的前项的和为（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ‎ 故数列的前10项的和为 ‎ 选 ‎ 练习6.数列满足，且对于任意的都有，则等于（　　）‎ ‎ ‎ ‎【答案】D 练习7.设数列满足，且，若表示不超过的最大整数，则( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】构造，则，‎ 由题意可得，‎ 故数列是为首项为公差的等差数列，‎ 故，‎ 故 以上个式子相加可得，‎ 解得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 则．‎ 故答案为：．‎ 练习8. 已知幂函数的图象过点，令（），记数列的前项和为，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ 故选：.‎ 练习9. 已知数列的首项为，且，若，则数列的前项和__________．‎ ‎【答案】‎ 练习10.设数列的前项为，点， 均在函数的图象上.‎ ‎（1）求数列的通项公式。‎ ‎（2）设， 为数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）∵点在函数的图象上，‎ ‎∴‎ 当 ‎ ‎ ‎（2） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎3.错位相减求和 例3.已知数列的首项，， …．‎ ‎（1）证明：数列是等比数列；‎ ‎（2）数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎（2）由（1）知，即，‎ ‎ ．设…， ① ‎ 则…，② ‎ 由①②得，‎ ‎．又…． ‎ 数列的前项和．‎ 练习1.已知数列， ， 为数列的前项和， ，，（） ‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）证明为等差数列；‎ ‎（3）若数列的通项公式为，令为的前项的和，求.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析（3）‎ ‎（2）∵，∴，∵，∴‎ 综上，是公差为1，首项为1的等差数列，.‎ ‎（3）令 ‎ ‎ ‎①②，得 练习2.已知数列是首项为正数的等差数列，数列的前项和为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎（2）由（1）知所以 所以 两式相减，得 所以 练习3. 已知等差数列中，，数列中，.‎ ‎（1）分别求数列的通项公式；‎ ‎（2）定义， 是的整数部分， 是的小数部分，且.记数列满足，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) ;(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）因为为等差数列，故可以把已知条件转化为基本量的方程组，求出其值即得通项公式，而满足递推关系，它可以变形为也就是是等比数列，从而求得的通项. （2）根据题设给出的定义得到，所以，它是等差数列和等比数列的乘积，利用错位相减法可以求出其前项和. ‎ ‎5.分奇偶数讨论求和 例5.已知函数，且，则( )‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当为奇数时，为偶数，则，所以，‎ 当为偶数时，为奇数，则 ‎，‎ 所以. ‎ 练习5. 已知数列满足： ， .‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，记.求.‎ ‎【答案】（1）（2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由递推关系可知是公差为的等差数列，从而求得通项公式；（2），相邻项相消即可得到.‎ ‎（2）由（1）知 ‎，‎ ‎. ‎ ‎6.利用数列周期性求和 例1.数列的通项，其前项和为，则为 ‎ ‎ ‎【答案】C ‎7.含有绝对值的数列求和 例1.已知数列中，，且满足 ‎（1）求的通项公式 ‎（2）设，求.‎ ‎【答案】(1) 最大为. (2) ‎ ‎【解析】（1）∵，‎ ‎∴数列是等差数列 ‎ 由知 ‎∴ ‎ ‎（2）由（1）可得数列的前项和为。‎ 当时， ‎ ‎ ‎ ‎。‎ 当时， ‎ ‎。 ‎ 综上。 ‎