【推荐】专题05 小题易丢分-2016-2017学年上学期期末考试高二数学（理）备考黄金30题

【推荐】专题05 小题易丢分-2016-2017学年上学期期末考试高二数学（理）备考黄金30题

‎1.某几何体及其俯视图如图所示，下列关于该几何体主视图和左视图的画法正确的是(　　)‎ 图 由俯视图可知主视方向和左视方向(如图1所示)，进一步可画出主视图和左视图(如图2所示)，故选A.‎ ‎　‎ ‎【答案】　A ‎2.若P，A，B，C为空间四点，且有＝α＋β，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【解析】　若α＋β＝1，则－＝β(－)，即＝β，显然A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则有＝λ，故－＝λ(－)，整理得＝(1＋λ)－λ，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.‎ ‎【答案】　C ‎3.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是(　　)‎ A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD B．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD D．不存在DQ与平面A1BD垂直 ‎【答案】　D ‎4.如图所示，关于该几何体的正确说法有：________． ‎ ‎(1)这是一个六面体；‎ ‎(2)这是一个四棱台； ‎ ‎(3)这是一个四棱柱；‎ ‎(4)此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到；‎ ‎(5)此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到．‎ ‎【易错分析】　失分点一：只凭借直观感觉，判断为棱台，而忽略了棱台的侧棱延长线交于一点，而判断(2)正确．‎ 失分点二：对棱台的概念理解不全面，不到位，使判断中出现漏掉(4)和(5)．‎ ‎【防范措施】　(1)在解答关于空间几何体概念的判断题时，要注意紧扣定义，切忌只凭图形主观臆断．‎ ‎(2)立体几何问题中也要注意分类讨论思想的应用，否则就会导致审题片面而出错．‎ ‎【规范解答】　(1)正确，因为有六个面，属于六面体的范围；‎ ‎(2)错误，因为侧棱的延长线不能交于一点，所以不正确；‎ ‎(3)正确，如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；‎ ‎(4)(5)都正确，如图所示．‎ ‎【答案】　(1)(3)(4)(5)‎ ‎5.若△ABC的平面直观图△A′B′C′是边长为a的正三角形，则原△ABC的面积为 ．‎ ‎【规范解答】　平面直观图及实际图形分别如图①②.‎ ‎6.已知AB⊥BC，BC⊥CD，DE⊥AE，DE綊BC，且AB＝BC＝CD，异面直线AB与CD成60°角，则异面直线AD与BC所成的角为 ．‎ ‎【易错分析】　对于与BC垂直的直线AB、CD的夹角为60°，画图应有两种情况，在解题时只考虑一种情况，使得解法不全面而导致失分．‎ ‎【防范措施】　异面直线所成的角是两条相交直线所成的两对对顶角中较小的那一对对顶角．当已知两条直线所成的角而去推断两条相交直线所成的角时，依据等角定理两者可能相等或者互补，所以我们应当考虑两种情况．‎ ‎【规范解答】　(1)连接AD，BE(如图①所示)．‎ ‎∵DE綊BC，BC＝CD，BC⊥CD，‎ ‎∴四边形BCDE为正方形．‎ ‎∵AB⊥BC，AB＝BC，异面直线AB与CD成60°角，‎ ‎∴∠ABE＝60°，‎ ‎∴△ABE是正三角形．‎ ‎∴AE＝AB＝BC＝DE，‎ 又∵DE⊥AE，‎ ‎∴△ADE是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠ADE＝45°，‎ ‎∴异面直线AD与BC所成的角的度数为45°.‎ ‎(2)连接AD，BE(如图②所示)．‎ ‎∵DE綊BC，BC＝CD，BC⊥CD，‎ ‎7.正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E，F分别是AA1，CC1的中点，则平面BDF的平面B1D1E的位置关系为 .‎ ‎【易错分析】　失分点一：在利用线面平行的判定定理时，三个条件中漏掉直线不在平面内而导致扣分．‎ 失分点二：在利用面面平行的判定定理时，五个不可缺少的条件漏掉说明两线相交而导致扣分．‎ ‎【防范措施】　1.在利用定理证明时，条件不能混用，乱用，一定思考准确，应用到位．‎ ‎2．在应用线面平行的条件时要把三个条件列全，三者缺一不可．‎ ‎3．面面平行的判定定理有五个条件，也是缺一不可，这就要求把定理记准，才能熟练应用．‎ ‎【规范解答】　如图，取BB1的中点G，连接EG，GC1，‎ 则有EG綊A1B1.又A1B1綊C1D1，∴EG綊C1D1.‎ ‎∴四边形EGC1D1是平行四边形，∴D1E綊GC1.‎ 又BG綊C1F，∴四边形BGC1F为平行四边形，‎ ‎∴BF∥C1G，∴BF∥D1E.‎ 又BF⊄平面B1D1E，D1E⊂平面B1D1E，‎ ‎∴BF∥平面B1D1E.‎ 又BD∥B1D1，同理可得BD∥平面B1D1E.‎ 又∵BF∩BD＝B，∴由平面与平面平行的判定定理得，平面BDF∥平面B1D1E.‎ ‎8.如图所示，在四面体ABCD中AB⊥AD，截面EFGH平行于对棱AB和CD，当其截面面积最大时，截面与AD的交点为 ．‎ ‎【思路探究】　四面体是已知和确定的，容易证出截面是平行四边形，但截面何时面积最大不易确定故应考虑函数方法求解．‎ ‎9.已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在平面α内的射影之间的距离为，则直线AB和平面α所成的角为 ．‎ ‎【易错分析】　失分点一：此题最容易、最常见的错误就是思维不周密，只考虑A、B在平面α同侧而忽视了A、B可能在平面α的两侧，而导致解答过程不完整而失分．‎ 失分点二：在求线面角时，因为三角函数或直角三角形边角关系不熟练而导致结果错误而失分．‎ ‎【防范措施】　1.平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，首先应想到A、B两点与平面α的位置关系，可分点A、B位于平面α的同侧和点A、B位于平面α的异侧两种情况分别求解．‎ ‎2．在立体几何中求角的问题经常转化到解三角形中的角，要求熟练应用三角形中的边角关系和三角函数．‎ ‎【规范解答】　①当点A、B在平面α的同侧时，‎ 如图，由点A、B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1、B1，则AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝.‎ ‎∴∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成的角．‎ 在Rt△BCB1中，BB1＝2，‎ 在Rt△AA1C中，AA1＝1.‎ ‎∵△BCB1∽△ACA1，‎ ‎∴＝＝2，‎ ‎∴B1C＝2CA1，而B1C＋CA1＝，∴B1C＝，‎ ‎∵tan∠BCB1＝＝＝，∴∠BCB1＝60°.‎ 综上所述，直线AB和平面α所成的角为30°或60°.‎ ‎10.经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的倾斜角的取值范围为 ．‎ ‎【易错分析】　失分点：在解题过程中遗漏了m＝1的情况，当m＝1时，斜率不存在，但倾斜角存在．‎ ‎【防范措施】　斜率公式k＝的适用前提条件为x1≠x2，因此在含字母的点的坐标中，需计算直线的斜率时，要保证斜率公式有意义．‎ ‎【规范解答】　当m＝1时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角α＝90°.‎ 当m≠1时，由斜率公式可得k＝＝.‎ ‎①当m>1时，k＝>0，‎ 所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°.‎ ‎②当m<1时，k＝<0，‎ 所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.‎ ‎11.直线l1过点A(0，1)，l2过点B(5，0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，则l1，l2的方程为 ．‎ ‎【易错分析】　失分点之一：此题很容易漏掉讨论直线l1，l2斜率存在和不存在情况．‎ 失分点之二：是在利用点到直线的距离公式构造斜率的方程，容易解错导致答案不对．‎ ‎【防范措施】　①在解题的时候切记分类讨论思想的应用，特别是当直线的斜率存在与否不能事先确定时，一定要讨论．②做解答题时要注意解题的规范性，不要漏掉步骤而使解析不规范，一般来说，解答题最后都要下结论．‎ ‎12.若某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，则该圆的标准方程为 ．‎ ‎【易错分析】　容易以“形”代“数”只画出了圆心在x轴正半轴的情况，没有画出圆心在x轴负半轴的情况而产生漏解．‎ ‎【防范措施】　借助图形解决数学问题，只能是定性地分析，而不能定量研究，要定量研究问题，就应考虑到几何图形的各种情况，本题出错就是由于考虑问题不全面所致．‎ ‎【规范解答】　由题意设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，所以|AO|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝＝＝3，如图所示．‎ ‎∴圆心坐标为(3，0)或(－3，0)．‎ ‎∴所求圆的方程为(x±3)2＋y2＝25.‎ ‎13.已知定点A(a，2)在圆x2＋y2－2ax－3y＋a2＋a＝0的外部，则a的取值范围为 ．‎ ‎【易错分析】　失分点一：是忘记判断二元二次方程表示圆的条件．‎ 失分点二：是解不等式组时易出错．‎ ‎【防范措施】　对于二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0只有在D2＋E2－4F>0的前提下，它才表示圆，故求解本题在判定出点与圆的位置关系后，要验证所求参数的范围是否满足D2＋E2－4F>0.‎ ‎【规范解答】　因为点A在圆的外部，‎ 所以有 解得即20成立，‎ ‎∴m＝3.‎ ‎15.已知p：≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 ．‎ ‎16.若命题：对任意x∈R，ax2－2ax－3＞0不成立是真命题，则实数a的取值范围为 ．‎ ‎【精彩点拨】　由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．‎ ‎【自主解答】　因为命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3＞0不成立”‎ 等价于“对任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，‎ 若a＝0，则－3≤0恒成立，所以a＝0符合题意．‎ 设f(x)＝ax2－2ax－3，当a＞0时，二次函数的图象开口向上又因为Δ＝4a2＋12a＞0，所以图象不会全部落在x轴下方，显然不符合题意．‎ 当a＜0时，二次函数f(x)＝ax2－2ax－3开口向下，只需满足Δ≤0即可，即所以 所以所以－3≤a＜0.‎ 综上所述，a的取值范围是－3≤a≤0.‎ ‎17.给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②函数y＝ax＋1是指数函数吗？③一个数不是正数就是负数；④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x∈R，则x2＋4x＋5＞0；⑥作△ABC≌△A1B1C1.其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．‎ ‎【解析】　①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③‎ 是命题，且是假命题，因为数0既不是正数，也不是负数；④该语句是感叹句，不是命题；⑤是命题，因为x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1＞0恒成立，所以是真命题；⑥该语句是祈使句，不是命题．‎ ‎【答案】　①③⑤‎ ‎18.已知命题p：∀x∈R，9x－3x－a＝0，若命题¬ p是假命题，则实数a的取值范围为 . ‎ ‎19.已知a>且a≠1，条件p：函数f(x)＝log(2a－1)x在其定义域上是减函数；条件q：函数g(x)＝的定义域为R，如果p∨q为真，则a的取值范围为 . ‎ ‎【解】　若p为真，则0<2a－1<1，得0，b>0)，则＝.①‎ 因为点A(2，－3)在双曲线上，‎ 所以－＝1.②‎ 联立①②，无解．‎ 若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为 －＝1(a>0，b>0)，则＝.③‎ 因为点A(2，－3)在双曲线上，‎ 所以－＝1.④‎ 联立③④，解得a2＝8，b2＝32.‎ 故所求双曲线的标准方程为－＝1.‎ 法二　由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设双曲线的方程为－y2＝λ(λ≠0)．‎ 因为点A(2，－3)在双曲线上，‎ 所以－(－3)2＝λ，即λ＝－8.‎ 故所求双曲线的标准方程为－＝1.‎ ‎26.直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________．‎ ‎【易错分析】直线与抛物线有唯一公共点可分唯一交点、唯一切点两种情况.‎ ‎【解析】　当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消去y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1.‎ ‎【答案】　0或1‎ ‎27.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，则该抛物线的标准方程为 ．‎ ‎【易错分析】根据题意，需考虑所求抛物线两种开口方向.‎ ‎28.如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE，则向量，，的位置关系是 ．‎ ‎【提示】　因为M在BD上，且BM＝BD，所以＝＝＋.‎ 同理＝＋.‎ 所以＝＋＋ ‎＝＋＋ ‎＝＋＝＋.‎ 又与不共线，根据向量共面的充要条件可知，，共面．‎ ‎29.平行四边形ABCD中，AB＝2AC＝2且∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，则点B，D间的距离为 ．‎ 图3121‎ ‎【精彩点拨】　(1)由已知可以得出AC与CD，AC与AB垂直吗？‎ ‎(2)根据AB与CD成60°角可建立什么方程？能直接求出||吗？‎ ‎30.在正三棱柱ABCA1B1C1中，平面ABC和平面A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上 存在点N，使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°？（填“是”或“否”） ‎