吉林省吉林市第五十五中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

吉林省吉林市第五十五中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题

‎2019-2020上学期期末数学测试题 选修2-1（人教A版）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．‎ ‎1.是的（ ）‎ A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分条件与必要条件的性质判断即可.‎ ‎【详解】由题 “”不能推出“”,但“”能推出“”.故是的必要但不充分条件.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的判断,属于基础题型.‎ ‎2.已知向量，且与互相垂直，则k的值是（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由与互相垂直得,再代入求解即可.‎ ‎【详解】由题,即.故 .‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了空间向量的基本运算与垂直的运用,属于基础题型.‎ ‎3.设是椭圆上的任意一点，若是椭圆的两个焦点，则 等于（ ）‎ A. B. C. 4 D. 6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的定义求解即可.‎ ‎【详解】由题, .‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了椭圆的定义,属于基础题型.‎ ‎4.命题的否定是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎“任意”的否定是“存在”某值使得反面条件成立，而条件“”的反面是“”，所以命题的否定是：，故选C．‎ ‎5.抛物线的焦点到其准线的距离是（ ）‎ A. 4 B. 3 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线焦点到准线的距离为求解即可.‎ ‎【详解】因为抛物线焦点到准线的距离为,故抛物线的焦点到其准线的距离是2.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程中的几何意义,属于基础题型.‎ ‎6.两个焦点坐标分别是，离心率为的双曲线方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的标准方程求 即可.‎ ‎【详解】由题,双曲线中, ,故,.‎ 故.故双曲线的标准方程为.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程,属于基础题型.‎ ‎7.下列各组向量平行的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平行向量满足判断即可.‎ ‎【详解】四个选项中仅有A中有.故平行.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查了平行向量的判定.属于基础题型.‎ ‎8.空间四边形 OABC中，=( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，根据向量的加法、减法法则，把进行化简即可得到答案.‎ ‎【详解】解：根据向量的加法、减法法则，得 ‎．‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考点是空间向量的加减法，解题的关键是根据向量的加法、减法法则进行化简，属于基础题．‎ ‎9.已知向量，，则等于（ ）‎ A. 1 B. C. 3 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据模长公式求解即可.‎ ‎【详解】由题,故.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了空间向量模长计算,属于基础题型.‎ ‎10.如图，在三棱锥中，，，两两垂直，且，为中点，则 等于（ ）‎ A. 3 B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立空间直角坐标系求即可.‎ ‎【详解】由题,,两两垂直,故以为原点建立如图空间直角坐标系.设,‎ 则.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了空间向量的计算,属于基础题型.‎ ‎11.椭圆的左右焦点为，一直线过F1交椭圆于A、B两点，△ABF2的周长为（ ）‎ A. 32 B. 16 C. 8 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的定义得，从而得解.‎ ‎【详解】由椭圆的定义可知：.‎ ‎△ABF2的周长为.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了椭圆定义的应用，属于基础题.‎ ‎12.设，则关于的方程所表示的曲线是（ ）‎ A. 长轴在轴上的椭圆 B. 长轴在轴上的椭圆 C. 实轴在轴上双曲线 D. 实轴在轴上的双曲线 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件，方程．即，结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型．‎ ‎【详解】解：∵k＞1，∴1+k>0，k2-1＞0， 方程，即，表示实轴在y轴上的双曲线， 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的标准方程的特征，依据条件把已知的曲线方程化为是关键．‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．‎ ‎13.命题若，则”的逆命题是____________________．‎ ‎【答案】若，则 ‎【解析】‎ 此题考查命题的转换 思路分析：根据逆命题是将原命题结论写成条件，条件写成结论可得 解：逆命题是将原命题结论写成条件，条件写成结论，所以“，则”的逆命题是“若，则”.‎ 答案：若，则.‎ ‎14.双曲线渐近线方程是__________.（一般式）‎ ‎【答案】和 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求双曲线的渐近线，只需将等式 右边的“1”变为“0”，再求解即可.‎ ‎【详解】解：令，解得和，‎ 故答案为和.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程的求法，属基础题.‎ ‎15.已知点，动点满足，则动点轨迹方程是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据列式化简即可.‎ ‎【详解】因为,故.‎ 即.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求法,属于基础题型.‎ ‎16.椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据角度关系可知且，利用椭圆定义表示出，根据勾股定理建立的齐次方程，解方程求得离心率.‎ ‎【详解】由，得：且 由椭圆定义知：‎ 又，即：‎ 整理得：，解得：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，涉及到椭圆定义的应用，关键是能够利用勾股定理构造出关于的齐次方程，从而求得离心率.‎ ‎17.命题“，”为假命题，则实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由原命题为假可知其否定为真，结合二次函数性质知，解不等式求得结果.‎ ‎【详解】若原命题为假命题，则其否定“，”为真命题 ‎，解得：‎ 的取值范围为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是能够利用原命题与其否定之间的真假关系将问题转化为恒成立的问题.‎ ‎18.设为椭圆上的一个点，，为焦点，，则△ 的面积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：M是椭圆上的点，、是椭圆的两个焦点，，‎ 设：，根据余弦定理得：，由于x+y=10，‎ 求得：xy=12，所以S =xysin60°=‎ 考点：椭圆的简单性质 三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎19.设直线与椭圆相交于两个不同的点.‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，求 ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将直线y＝x+b 与椭圆联立，利用△＞0，即可求；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当b＝1 时，可求A，B的坐标，利用两点间距离公式可求结果.‎ ‎【详解】（1）将y＝x+b 代入，消去y，整理得3x2+4bx+2b2﹣2＝0．①‎ 因为直线y＝x+b 与椭圆 相交于A，B 两个不同的点，‎ ‎∴△＝16b2﹣12（2b2﹣2）＝24﹣8b2＞0‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当b＝1 时，方程①为3x2+4x＝0．‎ 解得,此时 ‎【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查直线与椭圆相交所得弦长问题，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎20.已知命题p：方程有两个不等的负实根，命题q：方程无实根.若p或q为真，p且q为假。求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据一元二次方程根的分布可分别求得命题分别为真时的取值范围；根据复合命题的真假可确定一真一假，进而分别在真甲和假真两种情况下求得范围，进而得到结果.‎ ‎【详解】若为真，则，解得：‎ 若真，则，解得：‎ 由为真，为假知一真一假 当真假时，；当假真时，‎ 的取值范围为 ‎【点睛】本题考查根据复合命题的真假性求解参数范围的问题，涉及到一元二次方程根的分布的问题；关键是能够利用复合命题的真假性得到两基础命题的真假.‎ ‎21.如图，正方体的棱长为，为棱的中点.‎ ‎（1）求与所成角的大小；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】(1) ．(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)以为坐标原点建立空间直角坐标系,再分别表示,,利用空间向量的夹角公式求解即可.‎ ‎(2) 由是平面的一个法向量,再求即为与平面所成角的正弦值.‎ ‎【详解】(1)建立空间直角坐标系,‎ 则,,,. ‎ 则,．‎ 故.‎ 所以与所成角的大小为．‎ ‎(2) 易得,所以．‎ 又是平面的一个法向量,且 ‎．‎ 所以与平面所成角的正弦值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中求线线角与线面角的方法,属于基础题型.‎ ‎22.在中，，，已知，是方程的两个根，且．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）求的长．‎ ‎【答案】,‎ ‎【解析】‎ 试题分析：解：（1），所以 ‎（2）由题意得 ‎∴‎ ‎=‎ ‎∴‎ 考点：本题考查余弦定理，三角函数的诱导公式的应用 点评：解决本题的关键是用一元二次方程根与系数之间关系结合余弦定理来解决问题 ‎23.已知数列是一个等差数列，且，．‎ ‎（Ⅰ）求的通项；‎ ‎（Ⅱ）求前n项和的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）前2项和最大为4‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：（Ⅰ）将已知条件转化为等差数列的首项和公差表示，通过解方程组得到基本量，进而求得通项公式；（Ⅱ）由首项和公差值可得到的表达式，利用二次函数性质可求得和的最值 试题解析：（Ⅰ）设的公差为，由已知条件，，‎ 解得，．‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）．‎ 所以时，取到最大值．‎ 考点：1．等差数列通项公式求和公式；2．二次函数最值 ‎ ‎