福建省建瓯市芝华中学2019-2020学年高二下学期第一次阶段考试数学试题

福建省建瓯市芝华中学2019-2020学年高二下学期第一次阶段考试数学试题

‎2019-2020学年下学期第一次阶段考高二年级数学科目试卷 出卷人： 考试时间：120分钟 分值：150 分 一、选择题，共12题，每题5分每题只有一个正确答案，共60分。‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2..函数的定义域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：‎ 广告费用x(万元)‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y(万元)‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ 根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(　　)‎ A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元 ‎4.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5..函数在的图像大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎6.函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎7.已知函数上单调递减则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知曲线在点处的切线方程为，则（ ）‎ A., B., C., D.,‎ ‎10.若是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎11.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为 A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10. D. 10–10.1‎ ‎12.已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题，共4题，每题5分，共20分。‎ ‎13.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.‎ ‎14.是展开式中的常数项为________.‎ ‎15. 已知是奇函数，且当时, .若，则_______.‎ ‎16.设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．‎ 三、解答题，第17题10分，第18-22每题12分，共70分。‎ ‎17．（10分）某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：‎ 价格x(元/kg)‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ 日需求量y(kg)‎ ‎11‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎(1)求y关于x的线性回归方程；‎ ‎(2)当价格x＝40元/kg时，日需求量y的预测值为多少？‎ 参考公式：‎ ‎18．（12分）高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力．某移动支付公司从某市移动支付用户中随机抽取100人进行调查，得到如下数据：‎ 每周移动 支付次数 ‎1次 ‎2次 ‎3次 ‎4次 ‎5次 ‎6次及 以上 男 ‎10‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎15‎ 女 ‎5‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎30‎ 总计 ‎15‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎45‎ ‎(1)把每周使用移动支付6次及以上的用户称为“移动支付达人”，按分层抽样的方法，从参与调查的“移动支付达人”中，随机抽取6人，求抽取的6人中，男、女用户各多少人；‎ ‎(2)把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，根据表格中的数据完成下列2×2列联表，问：能否有99%的把握认为“移动支付活跃用户”与性别有关？‎ ‎.‎ 非移动支付 活跃用户 移动支付 活跃用户 总计 男 女 总计 附参照表：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.01‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ 参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d ‎19.（12分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.‎ ‎（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.‎ ‎20.（12分）已知函数 （1） 若a=b=1,求函数的极值；（2）讨论的单调性 ‎21.（12分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：‎ 交付金额（元）‎ 支付方式 ‎（0,1000]‎ ‎（1000,2000]‎ 大于2000‎ 仅使用A ‎18人 ‎9人 ‎3人 仅使用B ‎10人 ‎14人 ‎1人 ‎（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；‎ ‎（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．‎ ‎22.（12分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求证：；‎ 二、填空题，共4题，每题5分，共20分。‎ ‎13.已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是____.‎ ‎【答案】‎ ‎14.是展开式中的常数项为________.‎ ‎【答案】‎ ‎15. 已知是奇函数，且当时, .若，则_______.‎ 答案：‎ 解答：‎ ‎∵，‎ ‎∴. ‎ ‎16.设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．‎ ‎【答案】 .‎ 三、解答题，第17题10分，第18-22每题12分，共70分。‎ ‎17．（10分）某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表：‎ 价格x(元/kg)‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ 日需求量y(kg)‎ ‎11‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎(1)求y关于x的线性回归方程；‎ ‎(2)当价格x＝40元/kg时，日需求量y的预测值为多少？‎ 参考公式：‎ 解：(1)＝(10＋15＋20＋25＋30)＝20，＝(11＋10＋8＋6＋5)＝8，∴＝＝－＝－0.32，‎ ‎∴＝－＝8－(－0.32)×20＝14.4，所求线性回归方程为＝－0.32x＋14.4.‎ ‎(2)由(1)知当x＝40时，＝－0.32×40＋14.4＝1.6，故当价格x＝40元/kg时，日需求量y的预测值为1.6 kg.‎ ‎18．（12分）高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力．某移动支付公司从某市移动支付用户中随机抽取100人进行调查，得到如下数据：‎ 每周移动 支付次数 ‎1次 ‎2次 ‎3次 ‎4次 ‎5次 ‎6次及 以上 男 ‎10‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎15‎ 女 ‎5‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎30‎ 总计 ‎15‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎45‎ ‎(1)把每周使用移动支付6次及以上的用户称为“移动支付达人”‎ ‎，按分层抽样的方法，从参与调查的“移动支付达人”中，随机抽取6人，求抽取的6人中，男、女用户各多少人；‎ ‎(2)把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”，根据表格中的数据完成下列2×2列联表，问：能否有99%的把握认为“移动支付活跃用户”与性别有关？‎ ‎.‎ 非移动支付 活跃用户 移动支付 活跃用户 总计 男 女 总计 附参照表：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.01‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ 参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d 解：(1)因为6×＝2,6－2＝4，‎ 所以抽取的6人中，男用户2人，女用户4人．‎ ‎(2)由表格中数据可得2×2列联表如下：‎ 非移动支付 活跃用户 移动支付 活跃用户 总计 男 ‎25‎ ‎20‎ ‎45‎ 女 ‎15‎ ‎40‎ ‎55‎ 总计 ‎40‎ ‎60‎ ‎100‎ 所以K2的观测值k＝≈8.249>6.635，‎ 所以有99%的把握认为“移动支付活跃用户”与性别有关．‎ ‎19.（12分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.‎ ‎（Ⅰ）用表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅱ）设为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件发生的概率.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）‎ ‎【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为，‎ 故，从面.‎ 所以，随机变量的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 随机变量的数学期望.‎ ‎(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为，则.‎ 且.‎ 由题意知事件与互斥，‎ 且事件与，事件与均相互独立，‎ 从而由(Ⅰ)知：‎ ‎.‎ ‎20.（12分）已知函数 （1） 若a=b=1,求函数的最值；‎ （2） 讨论的单调性 解析：‎ （1） 略 （2） 当时，，此时在单调递增.‎ ‚当时，令，解得或，令，解得.‎ 此时在单调递增，在单调递减.‎ ƒ当时，令，解得或，令，解得.‎ 此时在单调递增，在单调递减.‎ 综上可得，当时，在单调递增.‎ 当时，在单调递增，在单调递减.‎ 当时，在单调递增，在单调递减.‎ ‎21.（12分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：‎ 交付金额（元）‎ 支付方式 ‎（0,1000]‎ ‎（1000,2000]‎ 大于2000‎ 仅使用A ‎18人 ‎9人 ‎3人 仅使用B ‎10人 ‎14人 ‎1人 ‎（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；‎ ‎（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；‎ ‎【详解】(Ⅰ)由题意可知，两种支付方式都是用的人数为：人，则：‎ 该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率.‎ ‎(Ⅱ)由题意可知，‎ 仅使用A支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占，金额大于1000的人数占，‎ 仅使用B支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占，金额大于1000的人数占，‎ 且X可能的取值为0,1,2.‎ ‎，，，‎ X分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 其数学期望：.‎ ‎(Ⅲ)我们不认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.理由如下：‎ 随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于概率。‎ 学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现题中这种现象可能是发生了“小概率事件”.‎ ‎22.（12分）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的斜率为1的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求证：；‎ ‎【答案】（Ⅰ）和.‎ ‎（Ⅱ）见解析；‎ ‎（Ⅲ）.‎ ‎【详解】（Ⅰ），令得或者.‎ 当时，，此时切线方程为，即；‎ 当时，，此时切线方程为，即；‎ 综上可得所求切线方程为和.‎ ‎（Ⅱ）设，，令得或者，所以当时，，为增函数；当时，，为减函数；当时，，为增函数；‎ 而，所以，即；‎ 同理令，可求其最小值为，所以，即，综上可得.‎