2017届高考文科数学（全国通用）二轮文档讲义：第2编专题2-7-1概率

2017届高考文科数学（全国通用）二轮文档讲义：第2编专题2-7-1概率

专题七　概率与统计 第一讲　概率 ‎[必记公式]‎ ‎1．古典概型的概率 特点：有限性，等可能性．‎ P(A)＝＝.‎ ‎2．几何概型的概率 特点：无限性，等可能性．‎ P(A)＝.‎ ‎[重要性质及结论]‎ ‎1．随机事件的概率范围：0≤P(A)≤1；‎ 必然事件的概率为1；‎ 不可能事件的概率为0.‎ 如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．‎ 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1，即P(A)＝1－P(B)．‎ ‎2．互斥事件概率公式的推广 P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)‎ ‎[失分警示]‎ ‎1．混淆互斥事件与对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况，互斥事件不一定是对立事件．‎ ‎2．不能准确理解“至多”“至少”“不少于”等词语的含义．‎ ‎3．几何概型中，线段的端点、图形的边框等是否包含在事件之内不影响所求结果．‎ ‎4．在几何概型中，构成事件区域的是长度、面积，还是体积判断不明确，不能正确区分几何概型与古典概型．‎ 考点　古典概型　　‎ 典例示法 典例1　　‎ ‎(1)从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎[解析]　从1,2,3,4中任取2个不同的数有以下六种情况：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足取出的2个数之差的绝对值为2的有(1,3)，(2,4)，故所求概率是＝.‎ ‎[答案]　B ‎(2)[2016·南昌一模]现有甲、乙、丙、丁4个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的活动，每人参加且只能参加一个社团的活动，且参加每个社团是等可能的．‎ ‎①求文学社和街舞社都至少有1人参加的概率；‎ ‎②求甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的概率．‎ ‎[解]　甲、乙、丙、丁4个学生课余参加学校社团文学社与街舞社的情况如下：‎ 文学社 街舞社 ‎1‎ 甲乙丙丁 ‎2‎ 甲乙丙 丁 ‎3‎ 甲乙丁 丙 ‎4‎ 甲丙丁 乙 ‎5‎ 乙丙丁 甲 ‎6‎ 甲乙 丙丁 ‎7‎ 甲丙 乙丁 ‎8‎ 乙丙 甲丁 ‎9‎ 甲丁 乙丙 ‎10‎ 乙丁 甲丙 ‎11‎ 丙丁 甲乙 ‎12‎ 甲 乙丙丁 ‎13‎ 乙 甲丙丁 ‎14‎ 丙 甲乙丁 ‎15‎ 丁 甲乙丙 ‎16‎ 甲乙丙丁 共有16种情形，即有16个基本事件．‎ ‎①文学社或街舞社没有人参加的基本事件有2个，故文学社和街舞社都至少有1人参加的概率为＝.‎ ‎②甲、乙同在一个社团，且丙、丁不同在一个社团的基本事件有4个，‎ 则所求概率为＝.‎ 利用古典概型求概率的方法及注意点 ‎(1)用列举法把古典概型试验的基本事件一一列举出来，再利用公式求解，列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．‎ ‎(2)事件A的概率的计算方法，关键要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一，本试验是否是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少．‎ 针对训练 ‎1.[2014·全国卷Ⅰ]将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．‎ 答案　 解析　设2本不同的数学书为a1、a2,1本语文书为b，在书架上的排法有a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，ba1a2，ba2a1，共6种，其中2本数学书相邻的有a1a2b，a2a1b，ba1a2，ba2a1，共4种，因此2本数学书相邻的概率P＝＝.‎ ‎2．[2016·郑州质检]为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：‎ 处罚金额x(单位：元)‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ 会闯红灯的人数y ‎50‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎10‎ 若用表中数据所得频率代替概率．‎ ‎(1)当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？‎ ‎(2)将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B类是其他市民．现对A类与B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B类市民的概率是多少？‎ 解　(1)设“当罚金定为10元时，闯红灯的市民改正行为”为事件A，‎ 则P(A)＝＝.‎ ‎∴当罚金定为10元时，比不制定处罚，行人闯红灯的概率会降低.‎ ‎(2)由题可知A类市民和B类市民各有40人，故分别从A类市民和B类市民中各抽出2人，设从A类市民中抽出的2人分别为A1、A2，从B类市民中抽出的2人分别为B1、B2.设“A类与B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M，则事件M中首先抽出A1的事件有：(A1，A2，B1，B2)，(A1，A2，B2，B1)，(A1，B1，A2，B2)，(A1，B1，B2，A2)，(A1，B2，A2，B1)，(A1，B2，B1，A2)，共6种．‎ 同理首先抽出A2、B1、B2的事件也各有6种．‎ 故事件M共有24种．‎ 设“抽取4人中前两位均为B类市民”为事件N，则事件N有(B1，B2，A1，A2)，(B1，B2，A2，A1)，(B2，B1，A1，A2)，(B2，B1，A2，A1)．‎ ‎∴P(N)＝＝.‎ ‎∴抽取4人中前两位均为B类市民的概率是.‎ 考点　几何概型　　‎ 典例示法 题型1　与面积(或体积)有关的几何概型 典例2　　[2015·福建高考]如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)＝的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎[解析]　依题意得，点C的坐标为(1,2)，所以点D的坐标为(－2,2)，所以矩形ABCD的面积S矩形ABCD＝3×2＝6，阴影部分的面积S阴影＝×3×1＝，根据几何概型的概率求解公式，得所求的概率P＝＝＝，故选B.‎ ‎[答案]　B 题型2　与长度(角度)有关的几何概型 典例3　　在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为(　　)‎ A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. ‎[解析]　设AC＝x(00，解得0甲，则(75＋80×4＋90×3＋3＋5＋2＋c)>85，∴c>5，∴c＝6,7,8,9，‎ 又c的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，‎ ‎∴乙的平均分高于甲的平均分的概率为.‎ 题型3　独立性检验与概率综合 典例6　　[2016·武汉调研]某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数(AQI)的监测数据，结果统计如下：‎ AQI ‎[0,50]‎ ‎(50,100]‎ ‎(100,150]‎ ‎(150,200]‎ ‎(200,300]‎ ‎>300‎ 空气 质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重 污染 天数 ‎6‎ ‎14‎ ‎18‎ ‎27‎ ‎20‎ ‎15‎ ‎(1)已知某企业每天的经济损失y(单位：元)与空气质量指数x的关系式为y＝，若在本年内随机抽取一天，试估计这一天的经济损失超过400元的概率；‎ ‎(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为严重污染．根据提供的统计数据，完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”？‎ 非严重污染 严重污染 总计 供暖季 非供暖季 总计 ‎100‎ 附：K2＝ P(K2≥k0)‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎[解]　(1)记“在本年内随机抽取一天，该天的经济损失超过400元”为事件A.‎ 由y>400，得x>200.‎ 由统计数据可知，空气质量指数大于200的频数为35，‎ 所以P(A)＝＝.‎ ‎(2)根据题设中的数据得到如下2×2列联表：‎ 非严重污染 严重污染 总计 供暖季 ‎22‎ ‎8‎ ‎30‎ 非供暖季 ‎63‎ ‎7‎ ‎70‎ 总计 ‎85‎ ‎15‎ ‎100‎ 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得 K2＝≈4.575.‎ 因为4.575>3.841，‎ 所以有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”．‎ 求解概率与统计综合题的两点注意 ‎(1)明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率．‎ ‎(2)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成．‎ ‎[全国卷高考真题调研]‎ ‎1．[2016·全国卷Ⅰ]为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　本题考查古典概型的求法．从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，共有6种选法；红色和紫色的花不在同一花坛的有4种选法，根据古典概型的概率公式，所求的概率为＝，故选C.‎ ‎2．[2015·全国卷Ⅰ]如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为 (　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)．(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为.‎ ‎3．[2014·全国卷Ⅱ]甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．‎ 答案　 解析　甲、乙的选择方案有红红、红白、红蓝、白红、白白、白蓝、蓝红、蓝白、蓝蓝9种，其中颜色相同的有3种，所以所求概率为＝.‎ ‎[其它省市高考题借鉴]‎ ‎4．[2016·天津高考]甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　本题考查概率，考查考生的运算求解能力．甲不输有两人下成和棋和甲获胜两种情况，由互斥事件的概率公式可得甲不输的概率＋＝，故选A.‎ ‎5．[2015·湖北高考]在区间[0,1]上随机取两个数x，y，记p1为事件“x＋y≤”的概率，p2为事件“xy≤”的概率，则(　　)‎ A．p1，所以p1<0，即a2>b2.由题意知所有的基本事件有9个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．‎ 满足a2>b2的有6个基本事件，即(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，所以所求事件的概率为＝.‎ ‎6．一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，b，整理得>2，即b>2a.如图：‎ 点(a，b)在矩形ABCD的内部(含边界)，满足b>2a的点在△ABM的内部(不含线段AM)，则所求的概率为＝＝.‎ 三、解答题 ‎10．[2016·广西质检]为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A，B两班中各抽5名学生进行视力检测．检测的数据如下：‎ A班5名学生的视力检测结果：4.3,5.1,4.6,4.1,4.9.‎ B班5名学生的视力检测结果：5.1,4.9,4.0,4.0,4.5.‎ ‎(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好？并计算A班的5名学生视力的方差；‎ ‎(2)现从B班的上述5名学生中随机选取2名，求这2名学生中至少有1名学生的视力低于4.5的概率．‎ 解　(1)A班5名学生的视力平均数为 A＝＝4.6，‎ B班5名学生的视力平均数为 B＝＝4.5.‎ 从数据结果来看，A班学生的视力较好．‎ s＝×[(4.3－4.6)2＋(5.1－4.6)2＋0＋(4.1－4.6)2＋(4.9－4.6)2]＝0.136.‎ ‎(2)从B班的上述5名学生中随机选取2名，则这2名学生视力检测结果有：‎ ‎(5.1,4.9)，(5.1,4.0)，(5.1,4.0)，(5.1,4.5)，(4.9,4.0)，(4.9,4.0)，(4.9,4.5)，(4.0,4.0)，(4.0,4.5)，(4.0,4.5)，共10个基本事件．‎ 其中这2名学生中至少有1名学生的视力低于4.5的基本事件有7个，则所求概率P＝.‎ ‎11．[2016·昆明七校调研]某校高三共有900名学生，高三模拟考之后，为了了解学生学习情况，用分层抽样方法从中抽出若干学生此次数学成绩，按成绩分组，制成如下的频率分布表：‎ 组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组 第八组 合 计 分组 ‎[70,80)‎ ‎[80,90)‎ ‎[90,100)‎ ‎[100,110)‎ ‎[(110,120)‎ ‎[120,130)‎ ‎[130,140)‎ ‎[140,150)‎ 频数 ‎6‎ ‎4‎ ‎22‎ ‎20‎ ‎18‎ a ‎10‎ ‎5‎ c 频率 ‎0.06‎ ‎0.04‎ ‎0.22‎ ‎0.20‎ b ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎1‎ ‎(1)确定表中a，b，c的值；‎ ‎(2)为了了解数学成绩在120分以上的学生的心理状态，现决定在第六、七、八组中用分层抽样方法抽取6名学生，在这6名学生中又再随机抽取2名与心理老师面谈，求第七组中至少有一名学生被抽到与心理老师面谈的概率；‎ ‎(3)估计该校本次考试的数学平均分．‎ 解　(1)因为频率和为1，所以b＝0.18，‎ 因为频率＝频数/样本容量，所以c＝100，a＝15.‎ ‎(2)第六、七、八组共有30个样本，用分层抽样方法抽取6名学生，每个被抽取的概率均为，第七组被抽取的样本数为×10＝2，将第六组、第八组抽取的样本分别用A，B，C，D表示，第七组抽出的样本用E，F表示．‎ 抽取2个的方法有AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF，共15种．‎ 其中至少含E或F的取法有9种，则所求概率为.‎ ‎(3)估计平均分为75×0.06＋85×0.04＋95×0.22＋105×0.2＋115×0.18 ＋125×0.15＋135×0.1＋145×0.05＝110.‎ ‎12．[2016·唐山统考]汽车发动机排量可以分为两大类，高于1.6‎ ‎ L的称为大排量，否则称为小排量．加油时，有92号与95号两种汽油可供选择．某汽车网站的注册会员中，有300名会员参与了网络调查，结果如下：‎ 汽车排量 加油类型 小排量 大排量 ‎92号 ‎160‎ ‎96‎ ‎95号 ‎20‎ ‎24‎ 附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d ‎(1)根据此次调查，是否有95%的把握认为该网站会员给汽车加油时进行的型号选择与汽车排量有关？‎ ‎(2)从调查的大排量汽车中按“加油类型”用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个整体，从中任意抽取3辆汽车，求这3辆汽车都是“加92号汽油”的概率．‎ 解　(1)∵K2＝≈4.545>3.841，‎ ‎∴有95%的把握认为该网站会员给汽车加油时进行的型号选择与汽车排量有关．‎ ‎(2)由题意可知，抽出的5辆汽车中加92号汽油的有4辆，分别记为A1，A2，A3，A4；加95号汽油的有1辆，记为B.‎ 从已经抽出的5辆汽车中抽取3辆，有：‎ ‎{B，A1，A2}，{B，A1，A3}，{B，A1，A4}，{B，A2，A3}，{B，A2，A4}，{B，A3，A4}，{A1，A2，A3}，{A1，A2，A4}，{A1，A3，A4}，{A2，A3，A4}，共计10种结果，‎ 满足条件的有：{A1，A2，A3}，{A1，A2，A4}，{A1，A3，A4}，{A2，A3，A4}，共计4种结果．‎ 由古典概型的概率计算公式可得所求概率为P＝＝.‎