2017-2018学年江苏省海安高级中学高二上学期中期考试数学（理）试题

2017-2018学年江苏省海安高级中学高二上学期中期考试数学（理）试题

江苏省海安高级中学2017-2018学年度第一学期期中考试 高二数学（理）试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．‎ ‎1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点为坐标原点，焦点坐标是，则抛物线 ‎ C的标准方程是 ▲ ．‎ ‎2．设空间任意一点O和不共线三点A，B，C，且点P满足向量关系，若P，A，B，C四点共面，则x+y+z= ▲ ．‎ ‎3．已知命题：“正数a的平方不等于0”，命题：“若a不是正数，则它的平方等于0”，‎ 则是的 ▲ ．（从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空）‎ ‎4．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的准线方程是 ▲ ． ‎ ‎5．若实数满足 则的取值范围是 ▲ ．‎ ‎6．已知等比数列的前项和为，则的值为 ▲ ．‎ ‎7．在中，若，，，则的值为 ▲ ．‎ ‎8．设函数 若函数g(x)=f(x)-ax，x[-2，2]为偶函数，则实数a的值为 ▲ ．‎ ‎9．设函数，将的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于 ▲ ．‎ ‎10．已知m，n是不重合的直线，是不重合的平面，给出下列命题：‎ ‎①若则或；‎ ‎②若则； ‎ ‎③若m不垂直α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；‎ ‎④若且则且； ‎ 其中正确的命题序号为 ▲ ．‎ ‎11．定义在R上的函数 若关于的函数有5个不同的零点，则 ▲ ．‎ ‎12．某同学的作业不小心被墨水玷污，经仔细辨认，整理出以下两条有效信息：‎ ‎①题目：“在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，过点作两条斜率 ‎ 之积为2的射线与椭圆交于，，…”‎ ‎②解：设的斜率为，…点，，…”‎ 据此，请你写出直线的斜率为 ▲ ．（用表示）‎ ‎13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则＝ ▲ ． ‎ ‎14．在平面直角坐标系xOy中,设将椭圆+=1(a>0)绕它的左焦点旋转一周所覆盖的区域为D，P为区域D内的任一点，射线x－y=0(x2) 上的点为Q，若PQ的最小值为a，则实数a的取值为 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答． 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．(本小题满分14分) ‎ 设全集U=R，函数的定义域为A，函数的值域为B.‎ ‎(1)当时，求；‎ ‎(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．‎ ‎ ‎ 第16题图 ‎16．(本小题满分14分)‎ 在三棱锥P－ABC中，D为AB的中点.‎ (1) 与BC平行的平面PDE交AC于点E，判断点E在AC上的位置，‎ 并说明理由；‎ (2) 若PA=PB，且△PCD为锐角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，‎ 求证：AB⊥PC．‎ ‎17．(本小题满分14分) ‎ 已知向量a＝，b＝(cos x，－1)．‎ ‎(1)当a∥b时，求cos2x－sin 2x的值；‎ ‎(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知，，求的值． ‎ ‎18．(本小题满分16分) ‎ 如图，地面上有一竖直放置的圆形标志物，圆心为，与地面的接触点为.与圆形标志物在同一平面内的地面上点处有一个观测点，且.在观测点正前方处（即）有一个高为（即)的广告牌遮住了视线，因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从到的圆弧.‎ ‎ (1)若圆形标志物半径为，以所在直线为轴，为坐标原点，建立直角坐标系，求圆和直线的方程；‎ 第18题 ‎ (2)若在点处观测该圆形标志的最大视角（即)的正切值为，求该圆形标志物的半径．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 设椭圆 ，其长轴长是短轴长的倍，过焦点且垂直于 轴的直线被椭圆截得的弦长为.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)点是椭圆上横坐标大于2的动点，点在轴上，圆内切于，试判断点在何位置时的长度最小，并证明你的判断．‎ 第19题图 ‎20．（本小题满分16分）‎ ‎ 已知以为首项的数列满足：‎ ‎ (1)当，时，求数列的通项公式；‎ ‎ (2)当，时，试用表示数列前100项的和；‎ ‎(3)当（是正整数），，正整数时，判断数列，，，是否成等比数列？并说明理由．‎ 参考答案 ‎1.【答案】‎ ‎2.【答案】1‎ ‎3.【答案】否命题．‎ ‎4.【答案】‎ ‎ 5.【答案】‎ ‎ 6.【答案】6‎ ‎7.【答案】‎ ‎8.【答案】‎ ‎9.【答案】6‎ ‎10.【答案】②④‎ ‎11.【答案】15‎ ‎ 12.【答案】‎ ‎ 13.【答案】‎ ‎14.【答案】‎ ‎15.【解析】(1)由，解得x<1或x>3，所以=[1，3]， ........2分 又函数在区间上单调递减，所以，即， .....4分 当时，，所以=[，3]. .......6分 ‎(2)首先要求， .......8分 而“”是“”的必要不充分条件，所以，即[1，3]， .........10分 从而， .......12分 解得 ‎ ....... 14分 注意：不考虑端点扣2分。‎ ‎16.【解析】(1)为中点．理由如下：‎ 平面交于，即平面平面，‎ 而平面，平面，所以 .....4分 在中，因为为的中点，所以为中点； ...7分 ‎(2)因为，为的中点，所以.‎ 因为平面平面，平面平面，‎ 在锐角所在平面内作于，‎ 则点与点不重合，且平面. .......10分 因为平面，所以．‎ 又，，平面，则平面．‎ 又平面，所以． .......14分 ‎17.【解析】(1)因为a∥b，所以cos x＋sin x＝0，所以tan x＝－ ........ 2分 故cos2x－sin 2x= ........4分 ‎ = ........7分 ‎(2) f(x)＝2(a＋b)·b= ........9分 又，，，， . .......11分 sinα= ........14分 ‎18.【解析】(1)圆 .............2分 设直线方程：，因为直线与圆相切，‎ 所以，解得. ................5分 所以直线方程：，即. ......................7分 ‎(2)设直线方程：，圆.‎ 因为， ..............10分 所以. 所以直线方程：，即 ................12分 因为直线与圆相切，所以， ..........................14分 化简得，即.故. ..........................15分 答： ..........................16分 ‎19.【解析】(1)由已知，， ......................2分 ‎，故所求椭圆方程为. ......................4分 ‎(2)设，. ‎ 不妨设，则直线的方程为，即，6分 又圆心到直线的距离为，即， .....................8分 化简得同理，， ......................10分 ‎∴是方程的两个根，‎ ‎∴，则， ‎ ‎∵是椭圆上的点，∴，∴..................12分 令d2=，令，则，‎ ‎， ...............14分 当时，取到最小值，此时，即点的横坐标为时，的长度最小. ......................16分 ‎20.【解析】(1)由题意得 . …… 3分 ‎ (2)当时，，，，，， ，…，‎ ‎，，，… …… 6分 ‎ ‎ ‎ …… 9分 ‎ (3)当时，；，； …… 10分 ‎ ；‎ ‎ ， .…… 12分 ‎ ，，，.‎ ‎ 综上所述，当时，数列，，，是公比为的 ‎ 等比数列. ……13分 ‎ 当时， ， ， ‎ ‎ ，. ……15分 ‎ 由于，，，‎ ‎ 故数列，，，不是等比数列.‎ ‎ 所以，数列，，，成等比数列当且仅当 ‎ ‎ . ……16分