数学文卷·2018届湖南省株洲市高三教学质量统一检测（二）（2018

数学文卷·2018届湖南省株洲市高三教学质量统一检测（二）（2018

株洲市 2018 届高三年级教学质量统一检测（二）‎ 文科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，若，则实数的值不可能为( )‎ A．-1 B．1 C．3 D．4‎ ‎2.设复数满足，则( )‎ A． B． C． D．2‎ ‎3.已知等差数列的公差为2，若成等比数列，是的前项和，则等于( )‎ A．-8 B．-6 C．0 D．10 ‎ ‎4.设向量，若,则( )‎ A． B． C.-1 D．-3‎ ‎5. 下列各组命题中，满足“‘’为真、‘’为假、‘’为真”的是( )‎ A．在定义域内是减函数: 偶函数； ‎ B．,均有是成立的充分不必要条件； ‎ C. 的最小值是6；：直线被圆截得的弦长为3；‎ D．抛物线的焦点坐标是过椭圆的左焦点的最短的弦长是 3．‎ ‎6.，中，,在线段上任取一点，则的面积小于的概率是( )‎ A． B． C. D． ‎ ‎7.设函数的图象在点 处切线的斜率为，则函数的图象一部分可以是( )‎ A． B．C.D．‎ ‎8. 《九章算术》中盈不足章中有这样一则故事：“今有良马与驽马发长安，至齐. 齐去长安三千里. 良马初日行一百九十三里，日增一十二里；驽马初日行九十七里，日减二里．” 为了计算每天良马和驽马所走的路程之和，设计框图如下图. 若输出的 的值为 360，则判断框中可以填( )‎ ‎ ‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知函数, 其图象与直线相邻两个交点的距离为若对恒成立，则的取值范围是( )‎ A． B． C. D．‎ ‎10. 已知某空间几何体的三视图如图所示，左视图是正方形，则该几何体的体积是( )‎ ‎ ‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 已知双曲线的右焦点为，其中一条渐近线与圆交于两点，为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是( )‎ A． B． C. D．‎ ‎ ‎ ‎12.已知，若恰有两个根,则的取值范围是( )‎ A． B． C. D．‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知函数，则的值为 ．‎ ‎14.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为 ．‎ ‎15.已知点在同一个球的球面上，，若四面体的体积为 ‎，球心恰好在棱上，则这个球的表面积为 ．‎ ‎16.已知数列的前项和为，且满足，数列满足，则数列中第 项最小．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知中，角所对的边分别是,且. ‎ ‎(1)求角的大小；‎ ‎(2)设向量，边长，当取最大值时，求边的长.‎ ‎18. 在党的第十九次全国代表大会上，习近平总书记指出：“房子是用来住的，不是用来炒的”．为了使房价回归到收入可支撑的水平，让全体人民住有所居，近年来全国各一、二线城市打击投机购房，陆续出台了住房限购令．某市一小区为了进一步了解已购房民众对市政府出台楼市限购令的认同情况，随机抽取了本小区 50 户住户进行调查，各户人平均月收入（单位：千元，）的户数频率分布直方图如下图：‎ ‎ ‎ 其中，赞成限购的户数如下表：‎ 人平均月收入 赞成户数 ‎4‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎(1)求人平均月收入在的户数，若从他们中随机抽取两户，求所抽取的两户都赞成楼市限购令的概率；‎ ‎(2)求所抽取的 50户的人平均月收入的平均数；‎ ‎(3)若将小区人平均月收入不低于7千元的住户称为“高收入户”，人平均月收入低于7千元的住户称为“非高收入户”．根据已知条件完成如图所给的列联表，并说明能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关.‎ 非高收入户 高收入户 总计 赞成 不赞成 总计 附：临界值表 ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，底面为梯形，，且平面.‎ ‎(1)证明：平面平面；‎ ‎(2)当直线与平面所成角为30°时，求四棱锥的表面积.‎ ‎ ‎ ‎20. 已知椭圆过点，两个焦点为，椭圆的离心率为为坐标原点.‎ ‎(1) 求椭圆 的方程；‎ ‎(2)过左焦点作直线交椭圆于 两点（异于左右顶点），求的内切圆半径的最大值．‎ ‎21. 已知函数且，函数在点处的切线过点 .‎ ‎(1) 求满足的关系式，并讨论函数的单调区间；‎ ‎(2)已知，若函数在 上有且只有一个零点，求实数的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为：,以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎(1) 若把曲线上的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线，求的极坐标方程；‎ ‎(2) 直线的极坐标方程是,与曲线交于两点，求三角形的面积.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数 ‎(1)当时，求该函数的最小值；‎ ‎(2) 解不等式：.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 数学（文科）答案及评分标准 一、选择题 ‎1-5:BACDB 6-10: CACDA 11、12：DB 二、填空题 ‎13. 14.5 15. 16.4‎ 三、解答题 ‎17. 解：（1）由题意，‎ 所以 ‎ ‎（2）因为 所以当时， 取最大值，此时， ‎ 由正弦定理得，‎ ‎18.解：（1）由直方图知：第一组对应频率/组距值为0.05，月收入在的住户有5户， ‎ 赞成楼市限购令的有4户，从中随机抽取两户，共10种选法，所抽取的两户都赞成楼市限购令的共6种，故所抽取的两户都赞成楼市限购令的概率为：‎ ‎ ‎ ‎（2）所以所调查的50户的人平月收入的平均数为：‎ 千元 ‎（3）‎ 非高收入户 高收入户 总计 赞成 ‎25‎ ‎10‎ ‎35‎ 不赞成 ‎5‎ ‎10‎ ‎15‎ 总计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以不能在犯错误的概率不超过的前提下认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关.‎ ‎19．解：（1）证明：因为，所以，‎ 因为平面平面,所以,‎ 因为，所以.‎ 因为，所以平面，‎ 又平面，所以平面平面. ‎ ‎（2）如图，取的中点，连接，‎ 因为，‎ 所以四边形为平行四边形，，‎ 由（1）得：‎ 则为直线 即， ‎ 又，所以， ‎ 而，所以，所以，‎ ‎,‎ ‎-----------10分 所以：四棱锥的表面积为： ‎ ‎ ‎ ‎20. 解：（1），，，‎ 又因为椭圆过点，‎ 所以 所以椭圆的方程为． ‎ ‎（2）设内切圆半径为，则 ‎∴当最大时，最大。‎ 设 代入得：‎ 令则 ‎ 当且仅当时取得最大值。‎ 当且仅当时取得最大值。‎ ‎ ‎ ‎21.解：（1），‎ ‎∴，，‎ ‎∴切线方程为：， ‎ ‎∵切线过点， ∴， ‎ ‎∴， ‎ ‎①当时，单调递增，单调递减，‎ ‎②当时，单调递减，单调递增． ‎ ‎（2）等价方程 在只有一个根，‎ 即在只有一个根，‎ 令，等价函数在与轴只有唯一的交点， ‎ ‎∴‎ ‎①当时，在递减，的递增，‎ 当时，，要函数在与轴只有唯一的交点，‎ ‎∴或，‎ ‎∴或. ‎ ‎②当时，在递增，的递减，递增，‎ ‎∵，当时，，‎ ‎∴在与轴只有唯一的交点，‎ ‎③当，在的递增，‎ ‎∵，‎ ‎∴在与轴只有唯一的交点，‎ 故的取值范围是或 或．‎ ‎22. 解：（1）设曲线上任意一点经过坐标变化后得到，依题意：‎ 所以：故曲线的标准方程为，极坐标方程为： ‎ （2） ‎（法一）直线与曲线的交点为，则的极坐标满足方程组： ‎ 解之得：、，‎ ‎（法二）直线与曲线的交点为，则的直角坐标满足方程组：‎ 联立方程可得:,所以，AB边上的高为，‎ ‎ ‎ ‎23.解：（1）当时，‎ 当时，取等号，‎ 此时该函数的最小值为3 ‎ ‎（2），即：‎ ‎（1）当时，‎ ‎（2）当时，‎ ‎①当，不等式可化为：，则 ‎②当，不等式可化为：，无解 ‎③当，不等式可化为：，则 综上可知，不等式的解集为：当时，；‎ 当时，‎