2017-2018学年湖北省鄂东南示范高中教改联盟高二上学期期中联考数学（文）试题

2017-2018学年湖北省鄂东南示范高中教改联盟高二上学期期中联考数学（文）试题

‎2017 年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考 ‎7．如图，平面a ^ 平面 b， A Îa, B Î b， AB 与两平面a, b 所成的角 高二数学（文科）试卷 ‎‎ p 分别为 和 ‎4‎ ‎‎ p ，过 A, B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 A¢, B¢ ，若 ‎6‎ 考试时间： 11 月 14 日 8:00—10:00 试卷满分：150 分 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 ‎AB = 8 ，则 A¢B¢ = （ ）‎ A．2 B．3 C．4 D． 4 2‎ 合题目要求的．‎ ‎1．在空间直角坐标系 O - xyz 中，点 P(-1,2,-3) 关于 yOz 平面的对称点的坐标为（ ）‎ ‎‎ x 2 y 2‎ ‎8．已知双曲线 - a 2 b 2‎ ‎‎ = 1(a > 0, b > 0) 的虚轴上、下端点分别为 M , N ，右顶点为 A ，右焦点为 F ，‎ A. (1,2,-3)‎ ‎‎ B. (-1,-2,3)‎ ‎‎ C. (1,-2,-3)‎ ‎‎ D. (-1,2,3)‎ ‎AN ^ MF ，则该双曲线的离心率为（ ）‎ ‎2．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形，则下列四个俯视图中使该几何体表面 积最大的是（ ）‎ ‎‎ ‎2 + 1‎ A．‎ ‎2‎ ‎‎ ‎3 + 1‎ B．‎ ‎2‎ ‎‎ ‎5 + 1‎ C．‎ ‎2‎ ‎‎ ‎2 + 5‎ D．‎ ‎2‎ ‎9．已知在长方体 ABCD - A1 B1C1 D1 中，底面是边长为 1 的正方形，高为 2，则点 A1 到截面 AB1 D1‎ 的距离是（ ）‎ ‎4 3‎ A． B．‎ ‎3 4‎ ‎2 3‎ C． D．‎ ‎3 2‎ ‎3．设 a, b 是两条不同的直线，a, b 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）‎ ‎‎ ‎10．正方体 ABCD - A B C D 棱长为 2， M , N , P 分别是棱 A D , AB, D C 的中点，则过 M , N , P ‎1 1 1 1‎ ‎1 1 1 1‎ A. 若 a //a, b // b,a// b，则 a // b ‎‎ B. 若 a //a, b ^ b,a ^ b，则 a // b ‎‎ 三点的平面截正方体所得截面的面积为（ ）‎ C. 若 a ^ a, a // b, b // b，则a ^ b ‎4．下列命题中真命题的个数是（ ）‎ ‎‎ D. 若 a ^ b, a Ì a, b Ì b ，则a ^ b ‎‎ ‎3 3 3‎ A． B．‎ ‎2 2‎ ‎‎ C． 2 3‎ ‎‎ D． 3 3‎ ‎① "x Î R, x 4 > x 2 ；‎ ‎②若“ p Ù q ”是假命题，则 p, q 都是假命题；‎ ‎③命题“ "x Î R, x 3 - x 2 + 1 £ 0 ”的否定是“ $x ‎‎ Ï R, x 3 - x 2 + 1 > 0 ”；‎ ‎11．如图，过抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A, B ， 交其准线于点 C ，若| BC |= 3 | BF | ，且| AF |= 12 ，则 p 为（ ）‎ ‎0 0 0‎ ‎④命题“若 x 2 - 3x + 2 = 0 ，则 x = 1”的否命题是“若 x 2 - 3x + 2 ¹ 0 ，则 x ¹ 1 ”.‎ ‎A． 4 B． 6 C． 8 D．16‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎‎ ‎12．设 F , F ‎x 2‎ y 是椭圆 + ‎‎ = 1 的左、右两个焦点，若椭圆在第一象限上存在一点 M ，使 ‎5．设两条直线 l1 : mx + 3 y - 6 = 0 ，l2 : 2 x + (5 + m) y + 2 = 0 ，则 l1 // l2 是 m = 1或m = -6 的（ ）‎ ‎1 2 9 4‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎(OM + OF2 ) × F2 M ‎3‎ A．‎ ‎= 0 （ O 为坐标原点），且| MF1 |= l| MF2 | ，则l的值为（ ）‎ B． 2 C． 3 D． 4‎ y x 2‎ ‎6．双曲线 - ‎‎ = 1 的渐近线与圆 ( x - 3) 2 + y 2 = r 2 (r > 0) 相切，则 r = （ ）‎ ‎2‎ 二、填空題：本大题共 4 小题,每小题 5 分，共 20 分．‎ ‎4 2‎ ‎13．已知双曲线 mx 2 + y 2 = 1 的虚轴长是实轴长的两倍，则双曲线的离心率 e = ．‎ A. 3 B. 2 C. 3 D. 6‎ ‎14．在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，‎ ‎‎ ÐACB = 90° ‎1‎ ‎, AC = BC = AA1 ，则异面直线 A1B 与 AC 所 ‎2‎ ‎‎ ‎20．（本小题满分 12 分）如图，在三棱柱 ABC - A1 B1C1 中，侧棱垂直于底面， AB ^ BC ，‎ 成角的余弦值是 ‎BA = BC = 1 BB ‎‎ = 1 ， E, F 分别为 A C , BC 的中点．‎ ‎15．中国古代数学经典《九章算术》中，将底面为长方形且有 条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为 阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑。若三棱锥 P - ABC 为鳖臑，且 PA ^ 平 面 ABC ， AB ^ BC , PA = AB = 1 ，又该鳖臑的外接球的表面积为 8p，则该鳖臑的体积为 ‎ ‎ ．‎ ‎16．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C : ( x - a) 2 + ( y - 1) 2 = 2 ，点 A(0,2) ，若圆 C 上存在点 M ，‎ ‎2 1 1 1‎ ‎（1）求证：平面 ABE ^ 平面 BCC1 B1 ；‎ ‎（2）求证： C1 F // 平面 ABE ；‎ ‎（3）求三棱锥 F - ABE 的体积．‎ 满足| AM |= ‎2 | MO | ，则实数 a 的取值范围是 ．‎ ‎‎ ‎21．（本小题满分 12 分）如图，四棱锥 P - ABCD 的底面是正方形，‎ 三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎17．（本小题满分 10 分）设命题 p : 实数 x 满足 x 2 - 5ax + 4a 2 £ 0 ，其中 a > 0 ，命题 q : 实数 x 满 x - 3‎ 足 £ 0 .‎ x - 1‎ ‎1‎ ‎‎ PA ^ 底面 ABCD ， PA = AB ，点 M , N 分别在棱 PD, PC 上，且 PC ^ 平面 AMN ．‎ ‎（1）求证： AM ^ PD ；‎ ‎（1）若 a = ‎，且 p Ù q 为真，求实数 x 的取值范围；‎ ‎2‎ ‎（2）求直线 CD 与平面 AMN 所成角的正弦值．‎ ‎（2）若 Øp 是 Øq 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．‎ ‎18．（本小题满分 12 分）已知 DABC 的顶点 C (4,3) , BC 边上的中线 AM 所在的直线方程为 ‎2 x - 7 y - 3 = 0 , AC 边上高 BH 所在的直线方程为 x - 2 y - 5 = 0 ．‎ ‎‎ ‎22．（本小题满分 12 分）已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上，中心在原点，离心率 e = 与以原点为圆心，椭圆 C 的短半轴长为半径的圆 O 相切．‎ ‎（1）求椭圆 C 的方程；‎ ‎‎ ‎2‎ ‎，直线 l : y = x + 2‎ ‎2‎ ‎（1）求顶点 A 的坐标；‎ ‎（2）求直线 AB 的方程．‎ ‎（2）设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A, B ，点 P 是椭圆上异于 A, B 的任意一点，直线 PA , PB 的斜 率分别记为 k1 , k 2 .证明： k1 × k 2 为定值；‎ ‎（3）过坐标原点 O 作与直线 PA, PB 平行的两条射线分别交椭圆 ‎19．（本小题满分 12 分）已知圆 M : x 2 + y 2 - 8x - 6 y + 21 = 0 及 A( 7 ,‎ ‎‎ ‎7 ) ．‎ ‎C 于点 M , N ，问：DMON 的面积是否为定值？请说明理由．‎ ‎（1）设圆 N 与 x 轴相切，与圆 M 外切，且圆心 N 在直线 x = 1上，求圆 N 的标准方程；‎ ‎（2）设平行于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B, C 两点，且| BC |=| OA | ，求直线 l 的方程．‎ ‎2017年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考 高二数学（文科）参考答案 一．选择题：AACBA ACCCD CB 二．填空题： ‎ 三．解答题：‎ ‎17．（1）；（2）‎ 解：由，其中，得，则，.‎ 由，解得，即. …………(2分)‎ ‎（1）若解得，若为真，则同时为真，‎ 即，解得，∴实数的取值范围. …………(5分)‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，‎ ‎，解得,实数的取值范围. …………(10分)‎ ‎18．（1）；（2）‎ 解：(1)设，且，‎ ‎，解得； …………(6分)‎ ‎(2)设的坐标为，则 ①‎ 点的坐标为，则 ②‎ 联立①②解得点的坐标为， …………(10分)‎ 则直线的方程为：,即 …………(12分)‎ ‎19．(1) ；（2）；‎ 解：圆的标准方程为所以圆心，半径为.‎ ‎（1）由圆心在直线上，可设，因为与轴相切，与圆外切，所以圆的半径为，从而，解得，因此圆的标准方程为. …………(6分)‎ ‎（2）因为直线，所以设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离， 因为，而，所以，解得或， …………(10分) ‎ 又时,直线与重合，舍去，故直线的方程为. …………(12分) ‎ ‎20. （1）见解析（2）见解析（3）‎ 解：（1）在三棱柱中，因，则平面，又平面，平面平面； …………(4分) ‎ ‎（2）取中点为，连，由于且，所以四边形是平行四边形，故,又平面，所以平面； …………(8分) ‎ ‎（3）因为，到平面的距离为，所以. …………(12分)‎ ‎21．（1）见解析（2）‎ 解：（1）因为四边形是正方形，所以，又因为底面，所以，故平面，又平面，则，而平面，有，则平面，故. …………(6分)‎ ‎（2）如图，延长交于点，因为平面，‎ 所以为在平面内的射影，故为（即）与平面所成的角，‎ 又因为， ，则有，‎ 在中，，‎ 故与平面所成角的正弦值为. …………(12分)‎ ‎22．（1）（2）(3)定值 解:（1）设椭圆的方程为.离心率.‎ 直线与以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆相切，‎ ‎.椭圆的方程为. …………(4分)‎ ‎（2）证明：由椭圆的方程得，‎ 设点的坐标为，则..‎ ‎.为定值. …………(8分)‎ ‎（3）由题知，直线，直线，设，则 由，同理，‎ 故有 又，故, …………(12分)‎