2017-2018学年河北省唐山市开滦二中高二上学期12月月考数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年河北省唐山市开滦二中高二上学期12月月考数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年河北省唐山市开滦二中高二（上）12月月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共12小题60分）‎ ‎1．（5分）已知直线l：y+m（x+1）=0与直线my﹣（2m+1）x=1平行，则直线l在x轴上的截距是（　　）‎ A．1 B．﹣1 C． D．﹣2‎ ‎2．（5分）已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是（　　）‎ A．α∩β=a，b⊂α⇒a∥b B．α∩β=a，a∥b⇒b∥α且b∥β C．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥β D．α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b⇒a∥b ‎3．（5分）设A（﹣1，2），B（3，1），若直线y=kx与线段AB没有公共点，则k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2）∪（，+∞） B．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞） C．（﹣，2） D．（﹣2，）‎ ‎4．（5分）如图，E，F分别是边长为2的正方形ABCD的边AB与BC的中点，将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使得A，B，C三点重合于点P，则下列结论错误的是（　　）‎ A．PD⊥EF B．P到平面 DEF的距离为 ‎ C．四面体 PDFE的四个面中有三个面是直角 三角形 D．四面体PDFE 外接球的表面积为 6π ‎5．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于原点），以AB为直径的圆过坐标原点O，则关于直线l的判断正确的是（　　）‎ A．过定点（4p，0） B．过定点（2p，0） C．过定点（p，0） D．过抛物线焦点 ‎6．（5分）已知点E、F、G分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1、CC1、DD1的中点，点M、N、Q、P分别在线段DF、AG、BE、C1B1上．以M、N、Q、P为顶点的三棱锥P﹣MNQ的俯视图不可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．（5分）当曲线y=1+与直线kx﹣y﹣2k+4=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（5分）设双曲线﹣=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B．5 C． D．‎ ‎9．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则平面AB1C与平面A1C1D间的距离（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．（5分）已知实数x，y满足x2+y2﹣4x+6y+12=0，则|2x﹣y﹣2|的最小值是（　　）‎ A． B． C．﹣1 D．5‎ ‎11．（5分）如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题 ‎①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；‎ ‎②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；‎ ‎③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；‎ ‎④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．‎ 其中真命题是（　　）‎ A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③‎ ‎12．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（　　）‎ A． B．4 C．3 D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共4小题20分）‎ ‎13．（5分）如图所示，一个正方体的表面展开图的五个正方形为阴影部分，第六个正方形在编号为1～5的适当位置，则所有可能的位置编号为　 　．‎ ‎14．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点P（﹣1，2，3）关于xoy平面的对称点坐标为　 　．‎ ‎15．（5分）已知抛物线y2=4x焦点F恰好是双曲线的右焦点，且双曲线过点则该双曲线的渐近线方程为　 　．‎ ‎16．（5分）已知点O为坐标原点，点A在x轴上，正△OAB的面积为，其斜二测画法的直观图为△O′A′B′，则点B′到边O′A′的距离为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）‎ ‎17．（10分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，‎ ‎（1）求证：直线l恒过定点；‎ ‎（2）判断直线l被圆C截得的弦长何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时，求m的值以及最短长度．‎ ‎18．（12分）如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD=，点C为圆O上一点，且BC=，．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=DB．‎ ‎（1）求证：CD⊥平面PAB；‎ ‎（2）求点D到平面PBC的距离．‎ ‎19．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设直线y=k（x﹣2）（k≠‎ ‎0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OM⊥ON．‎ ‎20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．‎ ‎（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；‎ ‎（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．‎ ‎21．（12分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．‎ ‎（1）证明：AC⊥PB；‎ ‎（2）证明：PB∥平面AEC；‎ ‎（3）求二面角E﹣AC﹣B的大小．‎ ‎22．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且抛物线y2=4x的焦点恰好使椭圆C的一个焦点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程 ‎（2）过点D（0，3）作直线l与椭圆C交于A，B两点，点N满足=（O为原点），求四边形OANB面积的最大值，并求此时直线l的方程．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年河北省唐山市开滦二中高二（上）12月月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题5分，共12小题60分）‎ ‎1．（5分）已知直线l：y+m（x+1）=0与直线my﹣（2m+1）x=1平行，则直线l在x轴上的截距是（　　）‎ A．1 B．﹣1 C． D．﹣2‎ ‎【分析】由题意知，两直线的斜率存在，由，求出m值．‎ ‎【解答】解：由题意知，两直线的斜率存在，‎ ‎∵直线l：y+m（x+1）=0与直线my﹣（2m+1）x=1平行，‎ ‎∴‎ 解的：m=﹣1‎ ‎∴直线l为x﹣y+1=0‎ ‎∴直线l在x轴上的截距为﹣1．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查两直线平行的性质，两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是（　　）‎ A．α∩β=a，b⊂α⇒a∥b B．α∩β=a，a∥b⇒b∥α且b∥β C．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥β D．α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b⇒a∥b ‎【分析】利用空间线面关系及面面关系定理，对选项分别分析解答．‎ ‎【解答】解：对于选项A，α∩β=a，b⊂α，直线a，b可能相交；故A错误；‎ 对于选项B，α∩β=a，a∥b，直线b可能在两个平面内，故B错误；‎ 对于选项C，a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，直线a，b如果不相交，α，β可能相交，故C错误；‎ 对于选项D，根据面面平行的性质以及α∥β，α∩γ=a得到a∥β，β∩γ=b进一步得到a∥b；故D正确；‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了空间线面平行的性质和判定定理的运用，熟练相关的性质定理和判定定理是关键，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）设A（﹣1，2），B（3，1），若直线y=kx与线段AB没有公共点，则k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2）∪（，+∞） B．（﹣∞，﹣）∪（2，+∞） C．（﹣，2） D．（﹣2，）‎ ‎【分析】直线y=kx过定点（0，0），再求它与两点A（﹣1，2），B（3，1）的斜率，即可取得k的取值范围．‎ ‎【解答】解：直线y=kx过定点（0，0），则kAO==﹣2，kOB==，‎ 由图象可知：当直线在OB与x的正向之间或在OA与x的负向之间符合题意，‎ 所以k的取值范围是：（﹣2，0）∪[0，）=（﹣2，）‎ 故选：D ‎【点评】本题为斜率范围的求解，求对边界的斜率是解决问题的关键，属基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）如图，E，F分别是边长为2的正方形ABCD的边AB与BC的中点，将△AED，△CFD，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使得A，B，C三点重合于点P，则下列结论错误的是（　　）‎ A．PD⊥EF B．P到平面 DEF的距离为 ‎ C．四面体 PDFE的四个面中有三个面是直角 三角形 D．四面体PDFE 外接球的表面积为 6π ‎【分析】求出∠A=∠B=∠C=90°，从而PD⊥PE，PD⊥PF，PE⊥PF，进而PD⊥平面PEF，由此得到PD⊥EF；由PD⊥平面PEF，PD=AD=2，得P到平面DEF的距离为2；由PD⊥平面PEF，PE⊥PF，得四面体PDFE的四个面中有三个面是直角三角形；以PD、PE、PF为棱构造长方体，则长方体的外接球就是四面体PDEF的外接球．‎ ‎【解答】解：由已知四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=90°，‎ 又折叠后A，B，C三点重合于点P，∴PD⊥PE，PD⊥PF，PE⊥PF，‎ 又PE∩PF=P，∴PD⊥平面PEF，‎ 又EF⊂平面PDE，PD⊥EF，故A正确；‎ ‎∵PD⊥平面PEF，PD=AD=2，∴P到平面DEF的距离为2，故B错误；‎ ‎∵PD⊥平面PEF，PE⊥PF，∴四面体PDFE的四个面中有三个面是直角三角形，故C正确；‎ 以PD、PE、PF为棱构造长方体，则长方体的外接球就是四面体PDEF的外接球，‎ ‎∴四面体PDFE 外接球的半径r===，‎ ‎∴四面体PDFE 外接球的表面积为S=4π×（）2=6π，故D正确．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】‎ 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面垂直的性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0），直线l与抛物线C交于A，B两点（不同于原点），以AB为直径的圆过坐标原点O，则关于直线l的判断正确的是（　　）‎ A．过定点（4p，0） B．过定点（2p，0） C．过定点（p，0） D．过抛物线焦点 ‎【分析】设直线l：x=my+4b，A（x1，y1），B（x2，y2），代入抛物线方程，运用韦达定理，结合以AB为直径的圆过坐标原点O，求出b，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：设直线l：x=my+b，A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 代入抛物线方程y2=2px，可得y2﹣2pmy﹣2pb=0，‎ ‎∴y1y2=﹣2pb，‎ ‎∴x1x2==b2，‎ ‎∵以AB为直径的圆过坐标原点O，‎ ‎∴有x1x2+y1y2=0，‎ ‎∴b2﹣2pb=0，‎ ‎∴b=2p ‎∴直线l过定点（2p，0）．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查抛物线的方程的运用，注意联立方程，运用韦达定理，结合向量垂直的条件，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知点E、F、G分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1、CC1、DD1的中点，点M、N、Q、P分别在线段DF、AG、BE、C1B1‎ 上．以M、N、Q、P为顶点的三棱锥P﹣MNQ的俯视图不可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据已知中点E、F、G分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AA1、CC1、DD1的中点，点M、N、Q、P分别在线段DF、AG、BE、C1B1上．结合正投影的画法，分析三棱锥P﹣MNQ的俯视图形状，可得答案．‎ ‎【解答】解：在底面ABCD上考察，P、M、N、Q四点在俯视图中它们分别在BC、CD、DA、AB上，‎ 先考察形状，再考察俯视图中的实虚线，可判断C不可能，‎ 因为该等腰三角形且当中无虚线，说明有两个顶点投到底面上重合了，‎ 只能是Q、N投射到点A或者M、N投射到点D，‎ 此时俯视图不可能是等腰三角形．‎ 故选：C ‎【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，其中熟练掌握正投影的画法，是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）当曲线y=1+与直线kx﹣y﹣2k+4=0有两个相异的交点时，实数k的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】‎ 将曲线方程化简，可得曲线表示以C（0，1）为圆心、半径r=2的圆的上半圆．再将直线方程化为点斜式，可得直线经过定点A（2，4）且斜率为k．作出示意图，设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为B（﹣2，1），当直线的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点．由此利用直线的斜率公式与点到直线的距离公式加以计算，可得实数k的取值范围．‎ ‎【解答】解：化简曲线，得x2+（y﹣1）2=4（y≥1）‎ ‎∴曲线表示以C（0，1）为圆心，半径r=2的圆的上半圆．‎ ‎∵直线kx﹣y﹣2k+4=0可化为y﹣4=k（x﹣2），‎ ‎∴直线经过定点A（2，4）且斜率为k．‎ 又∵半圆与直线kx﹣y﹣2k+4=0有两个相异的交点，‎ ‎∴设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为B（﹣2，1），‎ 当直线的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时，‎ 直线与半圆有两个相异的交点．‎ 由点到直线的距离公式，当直线与半圆相切时满足，‎ 解之得k=，即kAD=．‎ 又∵直线AB的斜率kAB==，∴直线的斜率k的范围为k∈．‎ 故选：C ‎【点评】本题给出直线与半圆有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围．着重考查了直线的方程、圆的方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）设双曲线﹣=1的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（　　）‎ A． B．5 C． D．‎ ‎【分析】由双曲线方程求得双曲线的一条渐近线方程，与抛物线方程联立消去y，进而根据判别式等于0求得，进而根据c=求得即离心率．‎ ‎【解答】解：双曲线的一条渐近线为，‎ 由方程组，消去y，‎ 有唯一解，‎ 所以△=，‎ 所以，，‎ 故选D ‎【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．离心率问题是圆锥曲线中常考的题目，解决本题的关键是找到a和b或a和c或b和c的关系．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，则平面AB1C与平面A1C1D间的距离（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】连接D1B，可以证明与面AB1C，面A1C1D都垂直，设分别交于M，N，MN为平面AB1C与平面A1C1D的距离． 可求D1N=BM=，从而MN=BD1﹣BM﹣D1N=．‎ ‎【解答】解：连接D1B，与面AB1C与平面A1C1D分别交于M，N． ‎ ‎∵DD1⊥平面A1B1C1D1，∴DD1⊥AC，又∵AC⊥BD，∴AC⊥平面D1DB ‎∴BD1⊥AC，‎ 同理可证BD1⊥AB1，又AC∩AB1=A，∴BD1⊥面AB1C；‎ 同理可证，BD1⊥面C1A1D．∴MN为平面AB1C与平面A1C1D的距离 ‎ ‎∵△AB1C为正三角形，边长为，三棱锥B﹣AB1C 为正三棱锥，∴M为△AB1C的中心，MA==‎ BM==，同理求出D1N=BM=，又BD1=，∴MN=BD1﹣D1N﹣BM=．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查平行平面的距离计算，采用了间接法，转化为点面距离．本题中蕴含着两个结论①平面AB1C与∥平面A1C1D．②平面AB1C与平面A1C1D面AB1D将体对角线分成三等分．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知实数x，y满足x2+y2﹣4x+6y+12=0，则|2x﹣y﹣2|的最小值是（　　）‎ A． B． C．﹣1 D．5‎ ‎【分析】求出圆心C（2，﹣3），r=1，则，0≤θ＜2π，由此能求出|2x﹣y﹣2|的最小值．‎ ‎【解答】解：∵实数x，y满足x2+y2﹣4x+6y+12=0，‎ 圆心C（2，﹣3），r==1，‎ ‎∴，0≤θ＜2π，‎ ‎∴|2x﹣y﹣2|=|4+2cosθ+3﹣sinθ﹣2|=|﹣sinθ+2cosθ+5|=|+5|，tanα=﹣2，‎ ‎∴|2x﹣y﹣2|的最小值是5﹣．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查代数式的最小值的求法，考查圆的参数方程、三角函数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题 ‎①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；‎ ‎②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；‎ ‎③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；‎ ‎④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．‎ 其中真命题是（　　）‎ A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③‎ ‎【分析】点M不在这两异面直线中的任何一条上，所以，过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交，①正确．‎ ‎②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，正确．‎ 过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，③不正确．‎ ‎④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，正确．‎ ‎【解答】解：直线AB与B1C1‎ ‎ 是两条互相垂直的异面直线，点M不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：‎ 取C1C的中点N，则MN∥AB，且 MN=AB，设BN 与B1C1交于H，则点 A、B、M、N、H 共面，‎ 直线HM必与AB直线相交于某点O．‎ 所以，过M点有且只有一条直线HO与直线AB、B1C1都相交；故①正确．‎ 过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，此垂线就是棱DD1，故②正确．‎ 过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，故 ③不正确．‎ 过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的平面，故④正确．‎ 综上，①②④正确，③不正确，‎ 故选 C．‎ ‎【点评】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（　　）‎ A． B．4 C．3 D．‎ ‎【分析】由三视图还原原几何体，得到截面为等腰梯形，求出其上下底边的长度及高，代入梯形面积公式得答案．‎ ‎【解答】解：由三视图还原原几何体如图，‎ 截面是等腰梯形FHDE，‎ ‎∵正方体的棱长为2，‎ ‎∴FH=，DE=，梯形的高为．‎ ‎∴该截面的面积为S=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题5分，共4小题20分）‎ ‎13．（5分）如图所示，一个正方体的表面展开图的五个正方形为阴影部分，第六个正方形在编号为1～5的适当位置，则所有可能的位置编号为　1，4，5　．‎ ‎【分析】将展开图还原为正方体，能求出结果．‎ ‎【解答】解：将展开图还原为正方体，‎ 当第六个正方形在1，4，5的位置时，满足题意．‎ 故答案为：1，4，5．‎ ‎【点评】本题正方体的表面展开图的求法及应用，考查正方体的结构特征等基础知识，是基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点P（﹣1，2，3）关于xoy平面的对称点坐标为　（﹣1，2，﹣3）　．‎ ‎【分析】在空间直角坐标系O﹣xyz中，点（a，b，c）关于xoy平面的对称点坐标为（a，b，﹣c）．‎ ‎【解答】解：根据关于xoy平面的对称点性质得：‎ 在空间直角坐标系O﹣xyz中，点P（﹣1，2，3）关于xoy平面的对称点坐标为（﹣1，2，﹣3）．‎ 故答案为：（﹣1，2，﹣3）．‎ ‎【点评】本题考查空间中点的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知抛物线y2=4x焦点F恰好是双曲线的右焦点，且双曲线过点则该双曲线的渐近线方程为　　．‎ ‎【分析】先根据抛物线的方程求得焦点即双曲线的右焦点的坐标，进而求得a和b的关系式，进而把点代入双曲线方程求得a和b的值，最后联立求得 的值，进而求得双曲线的渐近线方程．‎ ‎【解答】解：依题意可知 ，‎ 解得：‎ ‎∴==‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±x 故答案为y=±x．‎ ‎【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质和圆锥曲线的共同特征，考查了学生对双曲线基础知识的整体把握和灵活运用．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知点O为坐标原点，点A在x轴上，正△OAB的面积为，其斜二测画法的直观图为△O′A′B′，则点B′到边O′A′的距离为　　．‎ ‎【分析】画出斜二测画法的直观图为△O′A′B′，求出正△OAB的边长，B′D′的长，然后求出点B′到边O′A′的距离．‎ ‎【解答】解：正△OAB的面积为，边长为2，O′A′=2‎ D′为O′A′的中点，B′D′=‎ 所以点B′到边O′A′的距离：cos45°=‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题考查斜二测法画直观图，点、线、面间的距离计算，考查计算能力，记住结论平面图形和直观图形面积之比为2．‎ ‎　‎ 三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）‎ ‎17．（10分）已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，‎ ‎（1）求证：直线l恒过定点；‎ ‎（2）判断直线l被圆C截得的弦长何时最长，何时最短？并求截得的弦长最短时，求m的值以及最短长度．‎ ‎【分析】（1）直线l的方程可化为（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0，要使直线l恒过定点，则与参数的变化无关，从而可得，易得定点；（2）当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长；当直线l⊥CP时，直线被圆截得的弦长最短 ‎【解答】解：（1）证明：直线l的方程可化为（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）=0（3分）（5分）‎ 所以直线恒过定点（3，1）（6分）‎ ‎（2）当直线l过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长．（8分）‎ 当直线l⊥CP时，直线被圆截得的弦长最短 直线l的斜率为 由解得 此时直线l的方程是2x﹣y﹣5=0‎ 圆心C（1，2）到直线2x﹣y﹣5=0的距离为）‎ 所以最短弦长是（12分）‎ ‎【点评】本题考查直线恒过定点问题，采用分离参数法，借助于解方程组求解；圆中的弦长，应充分利用其图象的特殊性，属于基础题 ‎　‎ ‎18．（12分）如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD=，点C为圆O上一点，且BC=，．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=DB．‎ ‎（1）求证：CD⊥平面PAB；‎ ‎（2）求点D到平面PBC的距离．‎ ‎【分析】（1）由AB是圆的直径，得到AC⊥CB，结合BC=AC算出∠ABC=30°，进而得到BC=2．△BCD中用余弦定理算出CD长，从而CD2+DB2=BC2，可得CD⊥AO．再根据PD⊥平面ABC，得到PD⊥CD，结合线面垂直的判定定理即可证出CD⊥平面PAB；‎ ‎（2）根据（1）中计算的结果，利用VP﹣BDC=VD﹣PDC，由此设点D到平面PBC的距离为d，结合△PBC的面积可算出点D到平面PBC的距离．‎ ‎【解答】解：（1）证明：∵AB为圆O的直径，∴AC⊥CB，‎ ‎∵Rt△ABC中，由，∴tan∠ABC==，∠ABC=30°，‎ ‎∵AB=4，3AD=DB，∴DB=3，BC=2，‎ 由余弦定理，得△BCD中，CD2=DB2+BC2﹣2DB•BCcos30°=3，‎ ‎∴CD2+DB2=12=BC2，可得CD⊥AO．‎ ‎∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，即PD⊥平面ABC，‎ 又∵CD⊂平面ABC，∴PD⊥CD．‎ ‎∵PD∩AO=D得，∴CD⊥平面PAB．‎ ‎（2）由可知，PD=DB=3，且Rt△BCD中，CD=BCsin30°=，‎ ‎=，‎ ‎，，BC=‎ 又VP﹣BDC=VD﹣PBC，得 解得d=．‎ ‎【点评】本题给出底面△ABC在外接圆中的三棱锥，求证线面垂直并求点到平面的距离，着重考查了线面垂直的判定与性质、锥体体积公式和点面距离的求法等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）设直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OM⊥ON．‎ ‎【分析】（1）根据抛物线的性质，即可求得p的值，求得抛物线方程；‎ ‎（2）将直线方程代入抛物线方程，利于韦达定理即可x1x2=4，由（y1y2）2=4x1x2，即可求得y1y2=﹣4，利用向量的坐标运算，即可求得⊥．‎ ‎【解答】解：（1）由抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，则﹣=﹣，则p=1，‎ ‎∴抛物线方程为：y2=2x；‎ ‎（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y整理得k2x2‎ ‎﹣2（2k2+1）x+4k2=0，‎ ‎∴x1x2=4，由y12=2x1，y22=2x2，两式相乘，得（y1y2）2=4x1x2，‎ 注意到y1，y2异号，所以y1y2=﹣4，‎ 则•=x1x2+y1y2=0，⊥，‎ ‎∴OM⊥ON，‎ ‎【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标运算，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．‎ ‎（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；‎ ‎（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．‎ ‎【分析】（Ⅰ）欲证平面AEC⊥平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直，而根据题意可得AC⊥平面PDB；‎ ‎（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，‎ ‎∵PD⊥底面ABCD，‎ ‎∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，‎ ‎∴平面AEC⊥平面PDB．‎ ‎（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE，‎ 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，‎ ‎∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，‎ ‎∴O，E分别为DB、PB的中点，‎ ‎∴OE∥PD，，‎ 又∵PD⊥底面ABCD，‎ ‎∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，‎ 在Rt△AOE中，，‎ ‎∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．‎ ‎【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．‎ ‎（1）证明：AC⊥PB；‎ ‎（2）证明：PB∥平面AEC；‎ ‎（3）求二面角E﹣AC﹣B的大小．‎ ‎【分析】（1）利用线面垂直的性质及判定定理，即可证明AC⊥平面PAB，从而可得AC⊥PB；‎ ‎（2）连结BD，与AC相交于O，连结EO，证明PB∥EO，即可证明PB∥平面AEC；‎ ‎（3）过O作FG∥AB，交AD于F，交BC于G，则∴∠‎ EOG是二面角E﹣AC﹣B的平面角，连结EF，即可求二面角E﹣AC﹣B的大小．‎ ‎【解答】（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，AC在平面ABCD内，∴AC⊥PA 又AC⊥AB，PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB（2分）‎ 又PB在平面PAB内，∴AC⊥PB（4分）‎ ‎（2）证明：连结BD，与AC相交于O，连结EO ‎∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点（5分）‎ 又E为PD中点，∴PB∥EO（6分）‎ 又PB在平面AEC外，EO在AEC平面内，∴PB∥平面AEC（8分）‎ ‎（3）解：过O作FG∥AB，交AD于F，交BC于G，则F为AD中点 ‎∵AB⊥AC，∴OG⊥AC 又由 （1）（2）知，AC⊥PB，EO∥PB，‎ ‎∴AC⊥EO（10分）‎ ‎∴∠EOG是二面角E﹣AC﹣B的平面角 连结EF，在△EFO中，‎ 又PA=AB，EF⊥FO，∴∠EOF=45°‎ ‎∴∠EOG=135°，即二面角E﹣AC﹣B的大小为135°．（12分）‎ ‎【点评】本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面平行，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且抛物线y2=4x的焦点恰好使椭圆C的一个焦点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程 ‎（2）过点D（0，3）作直线l与椭圆C交于A，B两点，点N满足=‎ ‎（O为原点），求四边形OANB面积的最大值，并求此时直线l的方程．‎ ‎【分析】（1）求出抛物线的焦点，运用离心率公式和a，b，c的关系，求得a，b，得到椭圆方程，‎ ‎（2）确定四边形OANB为平行四边形，则SOANB=2S△OAB，表示出面积，利用基本不等式，即可求得最大值，从而可得直线l的方程．‎ ‎【解答】解：椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为⇒，又∵抛物线y2=4x的焦点（恰好是椭圆C的一个焦点，‎ ‎∴则c=，a=2，即有b=1，则椭圆方程为．‎ ‎（2）因为点N满足=（O为原点），所以四边形OANB为平行四边形，‎ 当直线l的斜率不存在时显然不符合题意；‎ 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+3，‎ 直线l与椭圆交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，‎ ‎，得（1+4k2）x2+24kx+32=0，‎ 由△=242k2﹣128（1+4k2）＞0，得k2＞2，‎ x1+x2=﹣，，由于S△OAB=|OD|•|x1﹣x2|=|x1﹣x2|，‎ 则平行四边形OANB的面积S'=2S△OAB=3|x1﹣x2|=3═3，‎ 令k2﹣2=t，则k2=2+t，（t＞0），即有S'=‎ 当且仅当4=，t=，即k2=，，时，平行四边形OANB面积的最大值为2，‎ 此时直线l的方程为y=±x+3．‎ ‎【点评】‎ 本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，面积的运算，转化思想是关键，属于中档题．‎ ‎　‎