专题38 数列结合其他问题考查更精彩-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽

专题38 数列结合其他问题考查更精彩-备战2018年高考高三数学一轮热点难点一网打尽

考纲要求:‎ ‎ 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题．‎ 基础知识回顾:‎ ‎1.数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用图表示如下 ‎ ‎ ‎2.等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．‎ ‎3.等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．‎ ‎4.递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与 ‎ an＋1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn＋1之间的递推关系．‎ 应用举例:‎ 类型一、等差数列与等比数列的综合应用 ‎【例1】【2017河南省郑州市高三质检】在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)令bn＝2an－10，证明：数列{bn}为等比数列；‎ ‎(3)求数列{nbn}的前n项和Tn.‎ ‎【答案】（1）an＝2n＋10. （2）见解析；（3）Tn＝.‎ ‎①－②，得－3Tn＝4＋42＋…＋4n－n×4n＋1＝－n×4n＋1. 所以Tn＝.‎ ‎【例2】【2017河南省天一大联考】已知各项都为正数的等比数列满足是与的等差中项，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，且为数列的前项和，求数列的的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ 类型二、数列与函数的交汇 ‎【例3】【天津市耀华中学2018届高三上学期第二次月考】已知曲线： ， ： （），从上的点作轴的垂线，交于点，再从点作轴的垂线，交于点.设， ， .‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）记，数列的前项和为，求证： ；‎ ‎（Ⅲ）若已知（），记数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小.‎ ‎【答案】（1） ；（2）见解析；（3）见解析.‎ ‎（2）∵，所以： ，‎ ‎∴当时， ，‎ ‎∴ （当时取“”）.‎ ‎【例4】【2017大连市一中高三摸底考试】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx的图象过点(－4n,0)，且f′(0)＝2n(n∈N*)． (1)求f(x)的解析式； (2)若数列{an}满足＝f′，且a1＝4，求数列{an}的通项公式．‎ ‎【答案】（1）f(x)＝x2＋2nx(n∈N*)．（2）an＝(n∈N*)．‎ ‎【解析】(1)由f′(x)＝2ax＋b，f′(0)＝2n，得b＝2n，又f(x)的图象过点(－4n,0)，所以 ‎16n‎2a－4nb＝0，‎ 解得a＝.所以f(x)＝x2＋2nx(n∈N*)．‎ ‎(2) 由(1)知f′(x)＝x＋2n(n∈N*)，所以＝＋2n，即－＝2n.‎ 所以－＝2(n－1)， －＝2(n－2)，…－＝2，‎ 以上各式相加得－＝n2－n，所以an＝，即an＝(n∈N*)．‎ 类型三、数列与不等式的交汇 ‎【例5】【江西省宜春市2017届高三六校联考】已知等差数列的公差，且， ， 成等比数列，若， 为数列的前项和，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由于， ， 成等比数列，所以,即,解得所以.‎ 类型四、等差数列与等比数列的实际应用 ‎【例6】某企业在2016年初贷款M万元，年利率为m，从该年的年末开始计算，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值是____________‎ ‎【答案】‎ ‎ ‎ 所以的值是 ‎【例7】在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”。这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？你算出顶层有 盏灯．‎ ‎【答案】‎ 考点：等比数列求和．‎ 方法、规律归纳:‎ ‎1.解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，则要把成等差数列和成等比数列的项分别抽出来，研究这些项与序号之间的关系；如果两个数列是通过运算综合在一起的，就要从分析运算入手，把两个数列分割开，再根据两个数列各自的特征进行求解．‎ ‎2．数列与函数的综合一般体现在两个方面 ‎(1)以数列的特征量n，an，Sn等为坐标的点在函数图象上，可以得到数列的递推关系；‎ ‎(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题．‎ 实战演练:‎ ‎1．【宁夏育才中学2018届高三上学期第三次月考】已知数列的前项和为，且，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 即 对任意都成立，‎ 当时， ‎ 当时， ‎ 当时， ‎ 归纳得： ‎ 故选 点睛：根据已知条件运用分组求和法不难计算出数列的前项和为，为求的取值范围则根据为奇数和为偶数两种情况进行分类讨论，求得最后的结果 ‎2．已知构成各项均为正数的等比数列，且公比，若去掉该数列中一项后剩余三个数仍按原顺序排列是等差数列，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 第四项，则构成等差数列， ，解得（舍去），所以满足题意的，选D.‎ 点睛：本题主要考查等比数列的定义及通项公式，等差数列的定义和性质，体现了分类讨论思想，属于基础题。‎ ‎3．【福建省福清市校际联盟2018届高三上学期期中考试】已知公差不为零的等差数列的首项,成等比数列，则使的前项和取得最小值的的值为（ ）‎ A. 16 B. 17 C. 18 D. 19‎ ‎【答案】B ‎ ‎ ‎4．【广西河池市高级中学2018届高三上学期第三次月考】首项为正数的等差数列中， ，当其前项和取最大值时， 的值为（ ）‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以，得，所以，（ ），令解得，所以前6项和最大，故选B.‎ ‎5．已知数列的前项和为， ，则数列的前项和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ 6．【河南省南阳市2018届高三上学期期中质量评估】已知有穷数列中，n=1,2,3, ,729.且.从数列中依次取出构成新数列，容易发现数列是以-3为首项，-3为公比的等比数列.记数列的所有项的和为，数列的所有项的和为，则（ ）‎ A. B. C. D. 与的大小关系不确定 ‎【答案】A ‎【解析】因为， ，所以，当时， 是中第365项，符合题意，所以,所以，选A. ‎ ‎7．已知数列的前项和为,,,则 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ 8．【江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟考试二】公比为的等比数列，若删去其中的某一项后，剩余的三项（不改变原有顺序）成等差数列，则所有满足条件的的取值的代数和为__________．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】若删去，则成等差数列，即；若删去，则成等差数列，即，所以所有满足条件的的取值的代数和，应填答案。‎ 点睛：本题的求解过程渗透了分类整合的数学思想，同时也充分运用了题设中的删去一项后成等差数列这一题设条件，特别是这一条件，意味着不能删去两端的两个数项，也为分类整合去掉了两种可能，从而简化运算和推证的过程。‎ ‎9．各项均为正数的数列的前项和为满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，数列的前项和为，整数，求的最大值.‎ ‎【答案】(1) ；(2)2017.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合递推公式分类讨论和两种情况可得数列的通项公式为；‎ ‎ 10．已知等差数列的前项和为， ，且， ，‎ 求（1）， ‎ ‎（2）设是数列的前项和，求.‎ ‎【答案】(1) ， ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意首先求得公差，据此有， ；‎ ‎(2)当时， ，当时， ，据此分类讨论可得： .‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意可得： ，则： ，‎ ‎ ‎