数学卷·2018届河北省石家庄一中高二上学期期末数学试卷(文科) (解析版)

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文档介绍

数学卷·2018届河北省石家庄一中高二上学期期末数学试卷(文科) (解析版)

‎2016-2017学年河北省石家庄一中高二(上)期末数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.在实数集R中,已知集合和集合B={x||x﹣1|+|x+1|≥2},则A∩B=(  )‎ A.{﹣2}∪[2,+∞) B.(﹣∞,﹣2)∪[2,+∞) C.[2,+∞) D.{0}∪[2,+∞)‎ ‎2.“|x|+|y|≤1”是“x2+y2≤1”的(  )条件.‎ A.充分必要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要 ‎3.中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵横两种形式(如下图所示),表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,以此类推.例如6613用算筹表示就是,则9117用算筹可表示为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=6,a3+a5=0,则S6=(  )‎ A.6 B.5 C.3 D.0‎ ‎5.函数的图象可由函数的图象至少向右平移(  )个单位长度得到.‎ A. B. C. D.‎ ‎6.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于(  )‎ A.10cm3 B.20cm3  C.30cm3 D.40cm3‎ ‎7.在△ABC中,已知,则△ABC的形状为(  )‎ A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰或直角三角形 D.等边三角形 ‎8.已知实数x,y满足,如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2,则实数m的值为(  )‎ A.0 B.2 C.4 D.8‎ ‎9.在△ABC中, =, =.若点D满足=(  )‎ A. + B. C. D. ‎ ‎10.设正三棱锥A﹣BCD(底面是正三角形,顶点在底面的射影为底面中心)的所有顶点都在球O的球面上,BC=2,E,F分别是AB,BC的中点,EF⊥DE,则球O的表面积为(  )‎ A. B.6π C.8π D.12π ‎11.如图,F1,F2为双曲线C的左右焦点,且|F1F2|=2.若双曲线C的右支上存在点P,使得PF1⊥PF2.设直线PF2与y轴交于点A,且△APF1的内切圆半径为,则双曲线C的离心率为(  )‎ A.2 B.4 C. D.2‎ ‎12.设函数f(x)在R上存在导函数f′(x),对于任意的实数x,都有f(x)=4x2﹣f(﹣x),当x∈(﹣∞,0)时,f′(x)+<4x,若f(m+1)≤f(﹣m)+4m+2,则实数m的取值范围是(  )‎ A.[﹣,+∞) B.[﹣,+∞) C.[﹣1,+∞) D.[﹣2,+∞)‎ ‎ ‎ 二、非选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分 ‎13.某校为了解1000名高一新生的身体生长状况,用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查,将学生从1~1000进行编号,现已知第18组抽取的号码为443,则第一组用简单随机抽样抽取的号码为  .‎ ‎14.已知正实数x,y满足xy+2x+y=4,则x+y的最小值为  .‎ ‎15.在如图所示的程序框图中,若输出i的值是3,则输入x的取值范围是  ‎ ‎16.若曲线 C1:y=x2与曲线 C2:y=aex(a≠0)存在公共切线,则a的取值范围为  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.请将解答过程书写在答题纸上,并写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知cos2A﹣3cos(B+C)=1.‎ ‎(Ⅰ)求角A的大小;‎ ‎(Ⅱ)若△ABC的面积S=5,b=5,求sinBsinC的值.‎ ‎18.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=4Sn﹣1.‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)证明: ++…+<2.‎ ‎19.为了解适龄公务员对开放生育二胎政策的态度,某部门随机调查了90位三十岁到四十岁的公务员,得到如下列联表,因不慎丢失部分数据.‎ ‎(1))完成表格数据,判断是否有99%以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”并说明理由;‎ ‎(2)现从有意愿生二胎的45人中随机抽取2人,求男性公务员和女性公务员各一人的概率.‎ 男性公务员 女性公务员 总计 有意愿生二胎 ‎  ‎ ‎15‎ ‎45‎ 无意愿生二胎 ‎  ‎ ‎25‎ ‎  ‎ 总计 ‎  ‎ ‎  ‎ ‎  ‎ P(k2≥k0)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 附:k2=.‎ ‎20.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=2,BC=4,PA=2,点M在PD上.‎ ‎(Ⅰ)求证:AB⊥PC;‎ ‎(Ⅱ)若BM与平面ABCD所成角的正切值为,求四棱锥M﹣ABCD的体积.‎ ‎21.椭圆C: =1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2.设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围.‎ ‎22.已知函数f(x)=xlnx﹣x2﹣x+a(a∈R)在其定义域内有两个不同的极值点.‎ ‎(Ⅰ)求a的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)设两个极值点分别为x1,x2,证明:x1•x2>e2.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年河北省石家庄一中高二(上)期末数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.在实数集R中,已知集合和集合B={x||x﹣1|+|x+1|≥2},则A∩B=(  )‎ A.{﹣2}∪[2,+∞) B.(﹣∞,﹣2)∪[2,+∞) C.[2,+∞) D.{0}∪[2,+∞)‎ ‎【考点】交集及其运算.‎ ‎【分析】求出A,B中不等式的解集确定出A,B,找出A与B的交集即可.‎ ‎【解答】解:由或x2﹣4=0,‎ ‎∴x≥2,或x=﹣2‎ 即A={﹣2}∪[2,+∞),‎ 由|x﹣1|+|x+1|≥2,可得x∈R,‎ ‎∴A∩B={﹣2}∪[2,+∞),‎ 故选:A ‎ ‎ ‎2.“|x|+|y|≤1”是“x2+y2≤1”的(  )条件.‎ A.充分必要 B.充分不必要 C.必要不充分 D.既不充分也不必要 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】根据不等式的性质以及充分必要条件的定义判断即可.‎ ‎【解答】解:∵|x|+|y|≤1,‎ ‎∴x2+y2+2|x||y|≤1,‎ ‎∴x2+y2≤1,是充分条件,‎ 而x2+y2≤1,推不出x2+y2+2|x||y|≤1,‎ 也就推不出|x|+|y|≤1,不是必要条件,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎3.中国有个名句“运筹帷幄之中,决胜千里之外.”其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹,古代是用算筹来进行计算,算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算,算筹的摆放形式有纵横两种形式(如下图所示),表示一个多位数时,像阿拉伯计数一样,把各个数位的数码从左到右排列,但各位数码的筹式需要纵横相间,个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,以此类推.例如6613用算筹表示就是,则9117用算筹可表示为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】进行简单的合情推理.‎ ‎【分析】根据新定义直接判断即可 ‎【解答】解:由题意各位数码的筹式需要纵横相间,‎ 个位,百位,万位数用纵式表示,十位,千位,十万位用横式表示,‎ 则9117 用算筹可表示为,‎ 故选:C ‎ ‎ ‎4.已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a1=6,a3+a5=0,则S6=(  )‎ A.6 B.5 C.3 D.0‎ ‎【考点】等差数列的前n项和.‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列和通项公式和前n项和公式,列出方程组,求出首项和公差,由此能求出S6.‎ ‎【解答】解:∵{an}为等差数列,Sn为其前n项和,‎ a1=6,a3+a5=0,‎ ‎∴,‎ 解得a1=6,d=﹣2,‎ ‎∴S6==6×6+=6.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎5.函数的图象可由函数的图象至少向右平移(  )个单位长度得到.‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.‎ ‎【分析】利用两角和与差的正弦函数化简两个函数的表达式为同名函数,然后利用左加右减的原则确定平移的方向与单位.‎ ‎【解答】解:分别把两个函数解析式简化为:‎ ‎═2sin(2x+),‎ ‎=2sin(2x﹣)=2sin[2(x﹣)+],‎ 可知只需把函数的图象向右平移个长度单位,‎ 得到函数的图象.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎6.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积等于(  )‎ A.10cm3 B.20cm3  C.30cm3 D.40cm3‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积.‎ ‎【分析】由三视图知几何体为直三削去一个三棱锥,画出其直观图,根据棱柱的高为5;底面为直角三角形,直角三角形的直角边长分别为3、4,计算三棱柱与三棱锥的体积,再求差可得答案.‎ ‎【解答】解:由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图:‎ 棱柱的高为5;底面为直角三角形,直角三角形的直角边长分别为3、4,‎ ‎∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20(cm3).‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎7.在△ABC中,已知,则△ABC的形状为(  )‎ A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰或直角三角形 D.等边三角形 ‎【考点】余弦定理;正弦定理.‎ ‎【分析】由正弦定理将角的关系转化为边的关系,⇒(a2﹣b2)(a2+b2﹣c2)=0⇒a2=b2或a2+b2﹣c2=0.‎ ‎【解答】解:由正弦定理可变为 ‎⇒⇒‎ ‎⇒b2(c2﹣b2)=a2(c2﹣a2)⇒(a2﹣b2)(a2+b2﹣c2)=0‎ ‎⇒a2=b2或a2+b2﹣c2=0.‎ ‎∴△ABC等腰或直角三角形,‎ 故选:C ‎ ‎ ‎8.已知实数x,y满足,如果目标函数z=x﹣y的最小值为﹣2,则实数m的值为(  )‎ A.0 B.2 C.4 D.8‎ ‎【考点】简单线性规划.‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数z=x﹣y的最小值是﹣2,确定m的取值.‎ ‎【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:‎ 由目标函数z=x﹣y的最小值是﹣2,‎ 得y=x﹣z,即当z=﹣2时,函数为y=x+2,此时对应的平面区域在直线y=x+2的下方,‎ 由,解得,即A(3,5),‎ 同时A也在直线x+y=m上,即m=3+5=8,‎ 故选:D ‎ ‎ ‎9.在△ABC中, =, =.若点D满足=(  )‎ A. + B. C. D. ‎ ‎【考点】向量加减混合运算及其几何意义.‎ ‎【分析】由向量的运算法则,结合题意可得═=,代入已知化简可得.‎ ‎【解答】解:由题意可得=‎ ‎==‎ ‎==‎ 故选A ‎ ‎ ‎10.设正三棱锥A﹣BCD(底面是正三角形,顶点在底面的射影为底面中心)的所有顶点都在球O的球面上,BC=2,E,F分别是AB,BC的中点,EF⊥DE,则球O的表面积为(  )‎ A. B.6π C.8π D.12π ‎【考点】球的体积和表面积.‎ ‎【分析】根据EF与DE的垂直关系,结合正棱锥的性质,判断三条侧棱互相垂直,再求得侧棱长,根据表面积公式计算即可 ‎【解答】解:∵E、F分别是AB、BC的中点,∴EF∥AC,‎ 又∵EF⊥DE,‎ ‎∴AC⊥DE,‎ 取BD的中点O,连接AO、CO,‎ ‎∵三棱锥A﹣BCD为正三棱锥,‎ ‎∴AO⊥BD,CO⊥BD,∴BD⊥平面AOC,又AC⊂平面AOC,∴AC⊥BD,‎ 又DE∩BD=D,∴AC⊥平面ABD;‎ ‎∴AC⊥AB,‎ 设AC=AB=AD=x,则x2+x2=4⇒x=,‎ 所以三棱锥对应的长方体的对角线为=,‎ 所以它的外接球半径为,‎ ‎∴球O的表面积为=6π 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎11.如图,F1,F2为双曲线C的左右焦点,且|F1F2|=2.若双曲线C的右支上存在点P,使得PF1⊥PF2.设直线PF2与y轴交于点A,且△APF1的内切圆半径为,则双曲线C的离心率为(  )‎ A.2 B.4 C. D.2‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎【分析】本题先根据直角三角形内切圆半径得到边长的关系,结合双曲线定义和图形的对称性,求出a的值,由|F1F2|=2,求出c的值,从而得到双曲线的离心率,得到本题结论.‎ ‎【解答】解:由PF1⊥PF2,△APF1的内切圆半径为,‎ 由圆的切线的性质:圆外一点引圆的切线所得切线长相等,‎ 可得|PF1|+|PA|﹣|AF1|=2r=1,‎ 由双曲线的定义可得|PF2|+2a+|PA|﹣|AF1|=1,‎ 可得|AF2|﹣|AF1|=1﹣2a,‎ 由图形的对称性知:|AF2|=|AF1|,‎ 即有a=.‎ 又|F1F2|=2,‎ 可得c=1,‎ 则e==2.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎12.设函数f(x)在R上存在导函数f′(x),对于任意的实数x,都有f(x)=4x2﹣f(﹣x),当x∈(﹣∞,0)时,f′(x)+<4x,若f(m+1)≤f(﹣m)+4m+2,则实数m的取值范围是(  )‎ A.[﹣,+∞) B.[﹣,+∞) C.[﹣1,+∞) D.[﹣2,+∞)‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【分析】利用构造法设g(x)=f(x)﹣2x2,推出g(x)为奇函数,判断g(x)的单调性,然后推出不等式得到结果.‎ ‎【解答】解:∵f(x)=4x2﹣f(﹣x),‎ ‎∴f(x)﹣2x2+f(﹣x)﹣2x2=0,‎ 设g(x)=f(x)﹣2x2,则g(x)+g(﹣x)=0,‎ ‎∴函数g(x)为奇函数.‎ ‎∵x∈(﹣∞,0)时,f′(x)+<4x,‎ g′(x)=f′(x)﹣4x<﹣,‎ 故函数g(x)在(﹣∞,0)上是减函数,‎ 故函数g(x)在(0,+∞)上也是减函数,‎ 若f(m+1)≤f(﹣m)+4m+2,‎ 则f(m+1)﹣2(m+1)2≤f(﹣m)﹣2m2,‎ 即g(m+1)<g(﹣m),‎ ‎∴m+1≥﹣m,解得:m≥﹣,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ 二、非选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分 ‎13.某校为了解1000名高一新生的身体生长状况,用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查,将学生从1~1000进行编号,现已知第18组抽取的号码为443,则第一组用简单随机抽样抽取的号码为 18 .‎ ‎【考点】系统抽样方法;简单随机抽样.‎ ‎【分析】根据系统抽样的特征,从1000名学生从中抽取一个容量为40的样本,抽样的分段间隔为=25,结合从第18组抽取的号码为443,可得第一组用简单随机抽样抽取的号码.‎ ‎【解答】解:∵从1000名学生从中抽取一个容量为40的样本,‎ ‎∴系统抽样的分段间隔为=25,‎ 设第一部分随机抽取一个号码为x,‎ 则抽取的第18编号为x+17×25=443,∴x=18.‎ 故答案为18.‎ ‎ ‎ ‎14.已知正实数x,y满足xy+2x+y=4,则x+y的最小值为  .‎ ‎【考点】基本不等式.‎ ‎【分析】变形利用基本不等式即可得出.‎ ‎【解答】解:∵正实数x,y满足xy+2x+y=4,‎ ‎∴(0<x<2).‎ ‎∴x+y=x+==(x+1)+﹣3﹣3=﹣3,‎ 当且仅当x=时取等号.‎ ‎∴x+y的最小值为.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎15.在如图所示的程序框图中,若输出i的值是3,则输入x的取值范围是 (4,10] ‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎【分析】由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.‎ ‎【解答】解:设输入x=a,‎ 第一次执行循环体后,x=3a﹣2,i=1,不满足退出循环的条件;‎ 第二次执行循环体后,x=9a﹣8,i=2,不满足退出循环的条件;‎ 第三次执行循环体后,x=27a﹣26,i=3,满足退出循环的条件;‎ 故9a﹣8≤82,且27a﹣26>82,‎ 解得:a∈(4,10],‎ 故答案为:(4,10].‎ ‎ ‎ ‎16.若曲线 C1:y=x2与曲线 C2:y=aex(a≠0)存在公共切线,则a的取值范围为 (﹣∞,0)∪(0,] .‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.‎ ‎【分析】分别求出两个函数的导函数,由两函数在切点处的导数相等,并由斜率公式,得到由此得到m=2n﹣2,则4n﹣4=aen有解.再由导数即可进一步求得a的取值.‎ ‎【解答】解:y=x2在点(m,m2)的切线斜率为2m,‎ y=aex在点(n,aen)的切线斜率为aen,‎ 如果两个曲线存在公共切线,那么:2m=aen.‎ 又由斜率公式得到,2m=,‎ 由此得到m=2n﹣2,‎ 则4n﹣4=aen有解.‎ 由y=4x﹣4,y=aex的图象有交点即可.‎ 设切点为(s,t),则aes=4,且t=4s﹣4=aes,‎ 即有切点(2,4),a=,‎ 故a的取值范围是:a≤且a≠0.‎ 故答案为:(﹣∞,0)∪(0,].‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.请将解答过程书写在答题纸上,并写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知cos2A﹣3cos(B+C)=1.‎ ‎(Ⅰ)求角A的大小;‎ ‎(Ⅱ)若△ABC的面积S=5,b=5,求sinBsinC的值.‎ ‎【考点】余弦定理;正弦定理.‎ ‎【分析】(I)利用倍角公式和诱导公式即可得出;‎ ‎(II)由三角形的面积公式即可得到bc=20.又b=5,解得c=4.由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21,即可得出a.又由正弦定理得即可得到即可得出.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由cos2A﹣3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cosA﹣2=0,‎ 即(2cosA﹣1)(cosA+2)=0,解得(舍去).‎ 因为0<A<π,所以.‎ ‎(Ⅱ)由S===‎ ‎,得到bc=20.又b=5,解得c=4.‎ 由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21,故.‎ 又由正弦定理得.‎ ‎ ‎ ‎18.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=4Sn﹣1.‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)证明: ++…+<2.‎ ‎【考点】数列与不等式的综合;数列的求和;数列递推式.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由已知数列递推式可得an+1an+2=4Sn+1﹣1,与原递推式作差可得an+2﹣an=4,说明{a2n﹣1}是首项为1,公差为4的等差数列,{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,分别求出通项公式后可得{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)由等差数列的前n项和求得Sn,取其倒数后利用放缩法证明++…+<2.‎ ‎【解答】(I)解:由题设,anan+1=4Sn﹣1,得an+1an+2=4Sn+1﹣1.‎ 两式相减得an+1(an+2﹣a)=4an+1.‎ 由于an+1≠0,∴an+2﹣an=4.‎ 由题设,a1=1,a1a2=4S1﹣1,可得a2=3.‎ 故可得{a2n﹣1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n﹣1=4n﹣3=2(2n﹣1)﹣1;‎ ‎{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n﹣1=2•2n﹣1.‎ ‎∴;‎ ‎(Ⅱ)证明:,‎ 当n>1时,由,得 ‎,‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ ‎19.为了解适龄公务员对开放生育二胎政策的态度,某部门随机调查了90位三十岁到四十岁的公务员,得到如下列联表,因不慎丢失部分数据.‎ ‎(1))完成表格数据,判断是否有99%以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”并说明理由;‎ ‎(2)现从有意愿生二胎的45人中随机抽取2人,求男性公务员和女性公务员各一人的概率.‎ 男性公务员 女性公务员 总计 有意愿生二胎 ‎ 30 ‎ ‎15‎ ‎45‎ 无意愿生二胎 ‎ 20 ‎ ‎25‎ ‎ 45 ‎ 总计 ‎ 50 ‎ ‎ 40 ‎ ‎ 90 ‎ P(k2≥k0)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 附:k2=.‎ ‎【考点】独立性检验的应用.‎ ‎【分析】(1)直接利用k2运算法则求解,判断生二胎意愿与性别是否有关的结论.‎ ‎(2)由题意从有意愿生二胎的45人中随机抽取2人,共有45×22种取法,其中男性公务员和女性公务员各一人的取法有30×15种,即可求解概率.‎ ‎【解答】解:(1)‎ 男性公务员 女性公务员 总计 有意愿生二胎 ‎30‎ ‎15‎ ‎45‎ 无意愿生二胎 ‎20‎ ‎25‎ ‎45‎ 总计 ‎50‎ ‎40‎ ‎90‎ 由于k2==4.5<6.635‎ 故没有99%以上的把握认为“生二胎意愿与性别有关”…‎ ‎(2)由题意从有意愿生二胎的45人中随机抽取2人,共有45×‎ ‎22种取法,其中男性公务员和女性公务员各一人的取法有30×15种,所以概率为=…‎ ‎ ‎ ‎20.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AD=CD=2,BC=4,PA=2,点M在PD上.‎ ‎(Ⅰ)求证:AB⊥PC;‎ ‎(Ⅱ)若BM与平面ABCD所成角的正切值为,求四棱锥M﹣ABCD的体积.‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系.‎ ‎【分析】(Ⅰ)设E为BC的中点,连结AE,求解三角形可得AB⊥AC,又PA⊥平面ABCD,得AB⊥PA,再由线面垂直的判定可得AB⊥面PAC,故有AB⊥PC;‎ ‎(Ⅱ)结合(Ⅰ)可得∠BAD=135°,过M作MG⊥AD于G,设AG=x,则GD=,有MG=.在△ABG中,由余弦定理可得BG,由BM与平面ABCD所成角的正切值为,得M为PD的中点,再由棱锥体积公式求得四棱锥M﹣ABCD的体积.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)证明:如图,设E为BC的中点,连结AE,‎ 则AD=EC,又AD∥EC,∴四边形AECD为平行四边形,‎ 故AE⊥BC,又AE=BE=EC=,‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=45°,故AB⊥AC,‎ 又∵PA⊥平面ABCD,∴AB⊥PA,‎ ‎∵PA∩AC=A,∴AB⊥平面PAC,故有AB⊥PC;‎ ‎(Ⅱ)由(1)知AB⊥AC,可得∠BAD=135°,‎ 过M作MG⊥AD于G,设AG=x,则GD=,∴MG=.‎ 在△ABG中,由余弦定理可得:BG=,‎ 由BM与平面ABCD所成角的正切值为,得,解得x=,‎ ‎∴MG=1,即M为PD的中点.‎ 此时四棱锥M﹣ABCD的体积为=4.‎ ‎ ‎ ‎21.椭圆C: =1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,离心率为,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2.设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由椭圆通径,得a=2b2,结合椭圆离心率可得a,b的值,则椭圆方程可求;‎ ‎(Ⅱ)设出P(x0,y0),当0≤x0<2时,分和求解,当时,设出直线PF1,PF2的方程,由点到直线的距离公式可得m与k1,k2的关系式,‎ 再把k1,k2用含有x0,y0的代数式表示,进一步得到.再由x0的范围求得m的范围;当﹣2<x0<0时,同理可得.则m的取值范围可求.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由于c2=a2﹣b2,将x=﹣c代入椭圆方程,得,‎ 由题意知,即a=2b2.‎ 又,∴a=2,b=1.‎ 故椭圆C的方程为;‎ ‎(Ⅱ)设P(x0,y0),‎ 当0≤x0<2时,‎ ‎①当时,直线PF2的斜率不存在,易知或.‎ 若,则直线PF1的方程为.‎ 由题意得,‎ ‎∵,∴.‎ 若,同理可得.‎ ‎②当时,‎ 设直线PF1,PF2的方程分别为 ‎,‎ 由题意知,‎ ‎∴,‎ ‎∵,且,‎ ‎∴,‎ 即.‎ ‎∵,0≤x0<2且,‎ ‎∴.‎ 整理得,,‎ 故0且m.‎ 综合①②可得.‎ 当﹣2<x0<0时,同理可得.‎ 综上所述,m的取值范围是.‎ ‎ ‎ ‎22.已知函数f(x)=xlnx﹣x2﹣x+a(a∈‎ R)在其定义域内有两个不同的极值点.‎ ‎(Ⅰ)求a的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)设两个极值点分别为x1,x2,证明:x1•x2>e2.‎ ‎【考点】利用导数研究函数的极值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由导数与极值的关系知可转化为方程f′(x)=lnx﹣ax=0在(0,+∞)有两个不同根;再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在(0,+∞)上有两个不同交点,或转化为函数g(x)=与函数y=a的图象在(0,+∞)上有两个不同交点;或转化为g(x)=lnx﹣ax有两个不同零点,从而讨论求解;‎ ‎(Ⅱ)问题等价于ln>,令,则t>1,,设,根据函数的单调性证出结论即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),‎ 方程f′(x)=0在(0,+∞)有两个不同根;‎ 即方程lnx﹣ax=0在(0,+∞)有两个不同根;‎ ‎(解法一)转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在(0,+∞)上有两个不同交点,‎ 如右图.‎ 可见,若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k,只须0<a<k.‎ 令切点A(x0,lnx0),‎ 故k=y′|x=x0=,又k=,‎ 故 =,‎ 解得,x0=e,‎ 故k=,‎ 故0<a<.‎ ‎(解法二)转化为函数g(x)=与函数y=a的图象在(0,+∞)上有两个不同交点.‎ 又g′(x)=,‎ 即0<x<e时,g′(x)>0,x>e时,g′(x)<0,‎ 故g(x)在(0,e)上单调增,在(e,+∞)上单调减.‎ 故g(x)极大=g(e)=;‎ 又g(x)有且只有一个零点是1,且在x→0时,g(x)→﹣∞,在在x→+∞时,g(x)→0,‎ 故g(x)的草图如右图,‎ 可见,要想函数g(x)=与函数y=a的图象在(0,+∞)上有两个不同交点,‎ 只须0<a<.‎ ‎(解法三)令g(x)=lnx﹣ax,从而转化为函数g(x)有两个不同零点,‎ 而g′(x)=﹣ax=(x>0),‎ 若a≤0,可见g′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,所以g(x)在(0,+∞)单调增,‎ 此时g(x)不可能有两个不同零点.‎ 若a>0,在0<x<时,g′(x)>0,在x>时,g′(x)<0,‎ 所以g(x)在(0,)上单调增,在(,+∞)上单调减,从而g(x)极大=g()=ln﹣1,‎ 又因为在x→0时,g(x)→﹣∞,在在x→+∞时,g(x)→﹣∞,‎ 于是只须:g(x)极大>0,即ln﹣1>0,所以0<a<.‎ 综上所述,0<a<.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知x1,x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根,‎ 即lnx1=ax1,lnx2=ax2,‎ 设x1>x2,作差得ln=a(x1﹣x2),即a=‎ 原不等式等价于ln>,‎ 令,则t>1,,‎ 设,,‎ ‎∴函数g(t)在(1,+∞)上单调递增,‎ ‎∴g(t)>g(1)=0,‎ 即不等式成立,‎ 故所证不等式成立.‎ ‎ ‎
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