2020版高中数学 第三章 不等式同步精选测试

2020版高中数学 第三章 不等式同步精选测试

同步精选测试　简单线性规划 ‎(建议用时：45分钟)‎ ‎[基础测试]‎ 一、选择题 ‎1.某服装制造商有‎10 m2‎的棉布料，‎10 m2‎的羊毛料和‎6 m2‎的丝绸料，做一条裤子需要‎1 m2‎的棉布料，‎2 m2‎的羊毛料和‎1 m2‎的丝绸料，做一条裙子需要‎1 m2‎的棉布料，‎1 m2‎的羊毛料和‎1 m2‎的丝绸料，做一条裤子的纯收益是20元，一条裙子的纯收益是40元，为了使收益达到最大，若生产裤子x条，裙子y条，利润为z，则生产这两种服装所满足的数学关系式与目标函数分别为(　　)‎ A.z＝20x＋40y B.z＝20x＋40y C.z＝20x＋40y D.z＝40x＋20y ‎【解析】　由题意易知选A.‎ ‎【答案】　A ‎2.若实数x，y满足则的取值范围是 (　　) ‎ ‎【导学号：18082125】‎ A.(0,1)　　　 B.(0,1]‎ C.(1，＋∞) D.[1，＋∞)‎ ‎【解析】　的可行域如图阴影部分所示.表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率.过点O与直线AB平行的直线l的斜率为1，l绕点O逆时针转动必与AB相交，直线OB的倾斜角为90°，因此的取值范围为(1，＋∞).‎ ‎【答案】　C ‎3.设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－y的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】　作出可行域如图所示.‎ 6‎ 目标函数z＝3x－y可转化为y＝3x－z，作l0：3x－y＝0，在可行域内平移l0，可知在A点处z取最小值为－，在B点处z取最大值为6.‎ ‎【答案】　A ‎4.已知实数x，y满足条件若目标函数z＝mx－y(m≠0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数m的值为(　　)‎ ‎【导学号：18082126】‎ A.1 B. C.－ D.－1‎ ‎【解析】　作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线y＝mx－z(m≠0)与直线2x－2y＋1＝0重合，即m＝1时，目标函数z＝mx－y取最大值的最优解有无穷多个，故选A.‎ ‎【答案】　A ‎5.若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是(　　)‎ A.4　　　　B‎.9　‎　　　C.10　　　　D.12‎ ‎【解析】　作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示.‎ x2＋y2的几何意义是区域内的点P(x，y)与原点O(0,0)的距离的平方.结合图形可知，|OB|＞|OA|＞|OC|，|OP|max＝|OB|.‎ 由得∴B(3，－1)，∴|OB|＝＝.‎ ‎∴x2＋y2的最大值为10.‎ 6‎ ‎【答案】　C 二、填空题 ‎6.满足不等式组并使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是________.‎ ‎【解析】　首先作出直线6x＋8y＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点M(0,5)时截距最大，此时z最大.‎ ‎【答案】　(0,5)‎ ‎7.若实数x，y满足则z＝3x＋2y的最小值是________. ‎ ‎【导学号：18082127】‎ ‎【解析】　不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.‎ 设t＝x＋2y，则y＝－x＋，‎ 当x＝0，y＝0时，t最小＝0.‎ z＝3x＋2y的最小值为1.‎ ‎【答案】　1‎ ‎8.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料‎1.5 kg，乙材料‎1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料‎0.5 kg，乙材料‎0.3 kg，用3个工时.生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料‎150 kg，乙材料‎90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.‎ ‎【解析】　设生产产品A x件，产品B y件，则 目标函数z＝2 100x＋900y.‎ 作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0).‎ 6‎ 当直线z＝2 100x＋900y经过点(60,100)时，z取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).‎ ‎【答案】　216 000‎ 三、解答题 ‎9.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z等于多少？‎ ‎【解】　设该公司合理计划当天派用甲、乙卡车的车辆数分别为x，y，则根据条件x，y满足的约束条件为 目标函数z＝450x＋350y.作出约束条件所示的平面区域，然后平移目标函数对应的直线450x＋350y－z＝0知，当直线经过直线x＋y＝12与2x＋y＝19的交点(7,5)时，目标函数取得最大值，‎ 即zmax＝450×7＋350×5＝4 900.‎ ‎10.变量x，y满足条件求(x－2)2＋y2的最小值.‎ ‎【解】　不等式组在平面直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示.‎ 设P(x，y)是该区域内的任意一点，则(x－2)2＋y2的几何意义是点P(x，y)与点M(2,0)距离的平方.由图可知，当点P的坐标为(0,1)时，|PM|最小，所以|PM|≥＝，所以|PM|2≥5，即(x－2)2＋y2的最小值为5.‎ ‎[能力提升]‎ ‎1.若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】　根据约束条件作出可行域如图阴影部分，‎ 6‎ 当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件，联立方程组求得A(1,2)，联立方程组求得B(2,1)，可求得分别过A，B点且斜率为1的两条直线方程为x－y＋1＝0和x－y－1＝0，由两平行线间的距离公式得距离为＝，故选B.‎ ‎【答案】　B ‎2.已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为(　　)‎ A.5 B.4‎ C. D.2‎ ‎【解析】　法一：线性约束条件所表示的可行域如图所示.‎ 由 解得 所以z＝ax＋by在A(2,1)处取得最小值，‎ 故‎2a＋b＝2，‎ a2＋b2＝a2＋(2－‎2a)2＝(a－4)2＋4≥4.‎ 法二：画出满足约束条件的可行域知，当目标函数过直线x－y－1＝0与2x－y－3＝0的交点(2,1)时取得最小值，所以有‎2a＋b＝2.‎ 又因为a2＋b2是原点(0,0)到点(a，b)的距离的平方，故当为原点到直线‎2a＋b－2＝0的距离时最小，‎ 所以的最小值是＝2，‎ 所以a2＋b2的最小值是4.故选B.‎ ‎【答案】　B ‎3.当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________.‎ 6‎ ‎【解析】　画可行域如图所示，设目标函数z＝ax＋y，即y＝－ax＋z，要使1≤z≤4恒成立，则a>0，数形结合知，满足即可，‎ 解得1≤a≤，‎ 所以a的取值范围是1≤a≤.‎ ‎【答案】　 ‎4.设数列{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，若S1≤13，S4≥10，S5≤15，求a4的最大值.‎ ‎【解】　可将此题看成关于a1和d的线性规划问题，根据题意可知 化简为求a4＝a1＋3d的最大值，将其转化为求z＝x＋3y的最大值问题，不等式组表示的平面区域如图所示.‎ 由z＝x＋3y，得y＝－x＋，平移直线y＝－x，由图可知，‎ 当直线y＝－x＋过点A时，z有最大值.由得A(1,1)，‎ 所以zmax＝1＋1×3＝4，‎ 即a4的最大值为4.‎ 6‎