2018-2019学年广西南宁市马山县金伦中学“4+N”高中联合体高一上学期期末数学试题（解析版）

2018-2019学年广西南宁市马山县金伦中学“4+N”高中联合体高一上学期期末数学试题（解析版）

‎2018-2019学年广西南宁市马山县金伦中学“4+ N”高中联合体高一上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】交集是两个集合的公共元素，故.‎ ‎2．平行线与之间的距离等于（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，故选．‎ ‎3．圆O1：x2+y2﹣6x+4y+12＝0与圆O2：x2+y2﹣14x﹣2y+14＝0的位置关系是（　　）‎ A．相离 B．内含 C．外切 D．内切 ‎【答案】D ‎【解析】先求出两圆的圆心距，再比较圆心距和两个半径的关系得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得圆O1：它表示圆心为O1（3,-2）半径为1的圆；‎ 圆O2：，它表示圆心为O2（7,1），半径为6的圆.‎ 两圆的圆心距为，‎ 所以两圆内切.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查两圆位置关系的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎4．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图判断底面为等腰直角三角形，三棱锥的高为2，则，选B.‎ ‎【考点定位】三视图与几何体的体积 ‎5．三个数 之间的大小关系是 ( 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用指数函数的性质、对数函数的性质确定所在的区间，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由对数函数的性质可知，‎ 由指数函数的性质可知，‎ ‎，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.‎ ‎6．已知函数，则（ ）‎ A． B．0 C．1 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据自变量所在的范围先求出，然后再求出．‎ ‎【详解】‎ 由题意得，‎ ‎∴．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 根据分段函数的解析式求函数值时，首先要分清自变量所属的范围，然后再代入解析式后可得结果，属于基础题．‎ ‎7．下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为函数是奇函数，所以选项A不正确；因为函为函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以选项B不正确；函数的图象抛物线开口向下，对称轴是轴，所以此函数是偶函数，且在区间上单调递减，所以，选项C正确；函数虽然是偶函数，但是此函数在区间上是增函数，所以选项D不正确；故选C。‎ ‎【考点】1、函数的单调性与奇偶性；2、指数函数与对数函数； 3函数的图象。‎ ‎8．直线l通过两直线7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交点，且点(5,1)到直线l的距离为 ，则直线l的方程是(　　)‎ A．3x＋y＋4＝0 B．3x－y＋4＝0‎ C．3x－y－4＝0 D．x－3y－4＝0‎ ‎【答案】C ‎【解析】交点坐标为，设直线方程为，即，‎ 则，解得，‎ 所以直线方程为，即，故选C。‎ 点睛：首先利用点斜式设出直线，由距离公式求出斜率，解得直线方程。求直线的题型，基本方法是利用点斜式求直线方程，本题通过距离公式求斜率，写出直线方程。‎ ‎9．点从点出发，按逆时针方向沿周长为的平面图形运动一周，，两点连线的距离与点走过的路程的函数关系如图所示，则点所走的图形可能是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】认真观察函数图像，根据运动特点，采用排除法解决.‎ ‎【详解】‎ 由函数关系式可知当点P运动到图形周长一半时O,P两点连线的距离最大，可以排除选项A,D,对选项B正方形的图像关于对角线对称，所以距离与点走过的路程的函数图像应该关于对称，由图可知不满足题意故排除选项B，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图象的识别和判断，考查对于运动问题的深刻理解，解题关键是认真分析函数图象的特点．考查学生分析问题的能力．‎ ‎10．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（　　）‎ A．所在平面 B． 所在平面 C．所在平面 D．所在平面 ‎【答案】B ‎【解析】本题为折叠问题，分析折叠前与折叠后位置关系、几何量的变与不变，可得HA、HE、HF三者相互垂直，根据线面垂直的判定定理，可判断AH与平面HEF的垂直．‎ ‎【详解】‎ 根据折叠前、后AH⊥HE，AH⊥HF不变，∴AH⊥平面EFH，B正确；‎ ‎∵过A只有一条直线与平面EFH垂直，∴A不正确；‎ ‎∵AG⊥EF，EF⊥AH，∴EF⊥平面HAG，∴平面HAG⊥AEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，‎ ‎∴C不正确；‎ ‎∵HG不垂直于AG，∴HG⊥平面AEF不正确，D不正确．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与平面垂直的判定，一般利用线线⇔线面⇔面面，垂直关系的相互转化判断．‎ ‎11．如图，在三棱锥S－ABC中，G1，G2分别是△SAB和△SAC的重心，则直线G‎1G2与BC的位置关系是(　　)‎ A．相交 B．平行 C．异面 D．以上都有可能 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：因为G1，G2分别是△SAB和△SAC的重心，所以,所以。又因为M、N分别为AB、AC的中点，所以MN//BC，所以。‎ ‎【考点】线面平行的判定定理；线面平行的性质定理；公理4；重心的性质。‎ 点评：我们要掌握重心性质:若G1为△SAB的重心，M为AB中点，则。‎ ‎12．点A，B，C，D在同一个球的球面上，，，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，画出示意图，结合三角形面积及四面积体积的最值，判断顶点D的位置；然后利用勾股定理及球中的线段关系即可求得球的半径，进而求得球的面积。‎ ‎【详解】‎ 根据题意，画出示意图如下图所示 因为 ，所以三角形ABC为直角三角形，面积为 ，其所在圆面的小圆圆心在斜边AC的中点处，设该小圆的圆心为Q 因为三角形ABC的面积是定值，所以当四面体ABCD体积取得最大值时，高取得最大值 即当DQ⊥平面ABC时体积最大 所以 ‎ 所以 ‎ 设球心为O，球的半径为R，则 ‎ 即 解方程得 ‎ 所以球的表面积为 ‎ 所以选D ‎【点睛】‎ 本题考查了空间几何体的外接球面积的求法，主要根据题意，正确画出图形并判断点的位置，属于难题。‎ 二、填空题 ‎13．已知点A（3，2），B（﹣2，a），C（8，12）在同一条直线上，则a＝_____.‎ ‎【答案】﹣8‎ ‎【解析】根据AC的斜率等于AB的斜率得到，解方程即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得AC的斜率等于AB的斜率，‎ ‎∴，解得a＝﹣8.‎ 故答案为：-8‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查斜率的计算和三点共线，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎14．直线与圆相交于A，B两点，则线段AB的长为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】算出弦心距后可计算弦长．‎ ‎【详解】‎ 圆的标准方程为：，圆心到直线的距离为，‎ 所以，填．‎ ‎【点睛】‎ 圆中弦长问题，应利用垂径定理构建直角三角形，其中弦心距可利用点到直线的距离公式来计算．‎ ‎15．设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线过P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是_____．‎ ‎【答案】k≥或k≤－4‎ ‎【解析】算出直线PA、PB的斜率，并根据斜率变化的过程中求得斜率的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎ 直线PA的斜率为 ，同理可得PB的斜率为 ‎ ‎ 直线 过点 且与AB相交 直线的斜率取值范围是k≥或k≤－4‎ 故答案为：k≥或k≤－4‎ ‎16．若函数在区间上有两个零点，则实数的取值范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意根据数形结合，只要，并且对称轴在之间，，解不等式组即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意，要使函数在区间上有两个零点，‎ 只要，即，解得，故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二次函数的性质，函数零点的分布，关键是结合二次函数图象等价得到不等式组，常见的形式有考虑端点值处函数值的符号，对称轴与所给区间的关系，对称轴处函数值的符号等，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知直线的倾斜角为且经过点.‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）求点关于直线的对称点的坐标.‎ ‎【答案】（1）x＋y－2＝0；（2）(－2,－1)‎ ‎【解析】【详解】‎ ‎（1）由题意得直线的斜率为，‎ ‎∴直线的方程为，‎ 即.‎ ‎（2）设点，‎ 由题意得 ‎ 解得．‎ ‎∴点的坐标为.‎ ‎18．如图，已知点，是以为底边的等腰三角形，点在直线:上．‎ ‎（1）求边上的高所在直线的方程；‎ ‎（2）求的面积．‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）由题意可知，E为AB的中点，∴E(3,2)，……………………1分 且，……………………………………………………1分，‎ ‎∴CE：y－2＝x－3，即x－y－1＝0．………………………………2分 ‎（Ⅱ）由得C(4,3)，…………………………………1分 ‎∴|AC|＝|BC|＝2，AC⊥BC，…………………………………………1分 ‎∴‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）由题意，求得直线的斜率，从而得到，利用直线的点斜式方程，即可求解直线的方程；‎ ‎（2）由，求得，利用两点间的距离公式和三角形的面积公式，即可求得三角形的面积.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由题意可知，为的中点，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴所在直线方程为，‎ 即. ‎ ‎（Ⅱ）由得 ‎∴ ‎ ‎∴,‎ ‎∴‎ ‎∴ ‎ ‎19．如图，正方体的棱长为1，CB′∩BC′＝O，‎ 求：（1）AO与A′C′所成角的度数；‎ ‎（2）AO与平面ABCD所成角的正切值；‎ ‎（3）证明平面AOB与平面AOC垂直.‎ ‎【答案】（1）30°‎ ‎（2）‎ ‎（3）见解析 ‎【解析】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求AO与A′C′所成角的度数；（2）利用向量法求AO与平面ABCD所成角的正切值；（3）证明平面AOB与平面AOC的法向量垂直.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ A（1，0，0），O（），（1，0，1），C′（0，1，1），‎ ‎（，1，），（﹣1，1，0），‎ 设AO与A′C′所成角为θ，‎ 则cosθ，∴θ＝30°，‎ ‎∴AO与A′C′所成角为30°.‎ ‎（2）∵（），面ABCD的法向量为（0，0，1），‎ 设AO与平面ABCD所成角为α，‎ 则sinα＝|cos|，‎ cosα，‎ ‎∴tanα.‎ ‎∴AO与平面ABCD所成角的正切值为.‎ ‎（3）C（0，1，0），（），（0，1，0），（﹣1，1，0），‎ 设平面AOB的法向量（x，y，z），‎ 则，取x＝1，得（1，0，1），‎ 设平面AOC的法向量（a，b，c），‎ 则，取a＝1，得（1，1，﹣1），‎ ‎∵1+0﹣1＝0，‎ ‎∴平面AOB与平面AOC垂直.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查空间角的求法和面面垂直的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎20．已知圆经过（2，5），（﹣2，1）两点，并且圆心在直线yx上.‎ ‎（1）求圆的标准方程；‎ ‎（2）求圆上的点到直线3x﹣4y+23＝0的最小距离.‎ ‎【答案】（1）（x﹣2）2+（y﹣1）2＝16‎ ‎（2）1‎ ‎【解析】（1）先求出圆心的坐标和圆的半径，即得圆的标准方程；（2）求出圆心到直线3x﹣4y+23＝0的距离即得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）A（2，5），B（﹣2，1）中点为（0，3），‎ 经过A（2，5），B（﹣2，1）的直线的斜率为，‎ 所以线段AB中垂线方程为，联立直线方程y解得圆心坐标为（2，1），‎ 所以圆的半径.‎ 所以圆的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2＝16.‎ ‎（2）圆的圆心为（2，1），半径r＝4.‎ 圆心到直线3x﹣4y+23＝0的距离d.‎ 则圆上的点到直线3x﹣4y+23＝0的最小距离为d﹣r＝1.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查圆的标准方程的求法和圆上的点到直线的距离的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎21．在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，面，，，分别为，的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：面；‎ ‎（Ⅱ）求点到面的距离．‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）取中点，连结，，∵，分别为，的中点，可证四边形是平行四边形，从而，故面；（Ⅱ）利用三棱锥体积的等积法，设点到面的距离为，‎ ‎，从而求出．‎ 试题解析：（1）如图所示，取中点，连结，，∵，分别为，的中点，∴可证得，，∴四边形是平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴ 面．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴‎ ‎【考点】1、线线平行判定；2、线面平行判定；3、三棱锥的体积．‎ ‎22．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为（）件.当时，年销售总收人为（）万元；当时，年销售总收人为万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为万元.(年利润=年销售总收入一年总投资)‎ ‎(1)求(万元)与(件)的函数关系式；‎ ‎(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?‎ ‎【答案】（1）（）；（2）当年产量为件时，所得年利润最大，最大年利润为万元.‎ ‎【解析】（1）根据已知条件，分当时和当时两种情况，分别求出年利润的表达式，综合可得答案；‎ ‎（2）根据（1）中函数的解析式，求出最大值点和最大值即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得：当时，，‎ 当时，，‎ 故（）；‎ ‎（2）当时，，‎ 当时，，‎ 而当时，，‎ 故当年产量为件时，所得年利润最大，最大年利润为万元.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数模型及最值的求法，正确建立函数关系是解题的关键，属于常考题.‎