数学理卷·2018届河南省信阳高级中学高三10月月考（2017

数学理卷·2018届河南省信阳高级中学高三10月月考（2017

河南省信阳高级中学2018届高三10月月考 理 数 试 题 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上.‎ ‎1.设集合，，则 A． B． C． D．‎ ‎2.已知，为虚数单位，若，则 A． B． C． D．‎ ‎3．下列选项中，说法正确的是 A.若，则 ‎ B. 向量 共线的充要条件是 C. 命题的否定是“” ‎ D. 已知函数在区间上的图象是连续不断的，则命题“若，则在区间内至少有一个零点”的逆命题为假命题 ‎4.设 ，则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎5.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 A. B. C. D.‎ ‎6．在区间上随机地取两个数、,则事件“”发生的概率为 A. B. C. D.‎ ‎7.函数的图象大致是 ‎ A． B． C. D． ‎ ‎8.已知则＝‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎9．已知为坐标原点，设分别是双曲线的左、右焦点，点为双曲线上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，则 A．1 B．2 C． 4 D．‎ ‎10、若定义在R上的偶函数满足，且当时，则函数的零点个数是 ‎ A．多于4个 B．4个 C．3个 D．2个 ‎11．若曲线与曲线存在公共切线，则的取值范围为 A． B． C． D．‎ ‎12. 已知，若的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷 ‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.‎ ‎13.定义在R上的函数是增函数，则满足的取值范围是 .‎ ‎14．已知平面内三个不共线向量两两夹角相等，且，，则 ．‎ ‎15.某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速21海里，则舰艇到达渔船的最短时间是______________分钟.‎ ‎16.已知函数，若，且，则的取值范围是 .‎ 三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（本题满分12分）‎ 已知a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC ‎（Ⅰ）求∠A的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，求f（B）的取值范围．‎ ‎18.（本小题共12分）‎ 如图，边长为3的正方形所在平面与等腰直角三角形所在平面互相垂直，，且，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值。‎ ‎19．（本小题共12分）‎ 为降低汽车尾气的排放量，某厂生产甲乙两种不同型号的节排器，分别从甲乙两种节排器中各自抽取100件进行性能质量评估检测，综合得分情况的频率分布直方图如图所示 节排器等级及利润如表格表示，其中，‎ ‎（Ⅰ）若从这100件甲型号节排器按节排器等级分层抽样的方法抽取10件，再从这10件节排器中随机抽取3件，求至少有2件一级品的概率；‎ ‎（Ⅱ）视频率分布直方图中的频率为概率，用样本估计总体，则 ‎ ①若从乙型号节排器中随机抽取3件，求二级品数的分布列及数学期望；‎ ‎ ②从长期来看，哪种型号的节排器平均利润较大？‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 过抛物线（）的焦点作圆的切线，切点分别为、，已知直线．‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）直线经过点，且与抛物线交于点、，若以为直径的圆与圆相切，求直线的方程．‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 已知函数（，为自然对数的底数）在点处的切线经过点．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。‎ ‎22. 选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）‎ 以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，将曲线：（为参数），经过伸缩变换后得到曲线.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的参数方程； ‎ ‎（Ⅱ）若点的曲线上运动，试求出到直线的距离的最小值.‎ ‎23. 选修4-5：不等式（本小题满分10分）‎ 已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若不等式有解，求实数m的取值范围.‎ 理 数 答 案 ‎1-5 B D D A C 6-10 D A C A B 11-12 C C ‎ ‎13. 14. 2 15.40 16. ‎ ‎17.解：（I）∵（a+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，由正弦定理可得：（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，化为b2+c2﹣a2=bc．‎ 由余弦定理可得：cosA===，‎ ‎∵A∈（0，π），∴A=．...............6分 ‎（II）f（x）==sinx+=+，‎ 在锐角△ABC中，＜B，∴＜B+＜，‎ ‎∴∈，‎ ‎∴f（B）的取值范围是．...............12分 ‎18.（Ⅰ）证明：过作交于，连接因为，，所以……2分 又，所以故，……4分 所以四边形为平行四边形，故，‎ 而平面，平面，‎ 所以平面；……6分 ‎（Ⅱ）以为坐标原点，所在方向为轴正方向，建立平面 直角坐标系，则，，，‎ 平面的法向量为，设平面的法向量为 ‎，则，即 ‎，不妨设，则 所求二面角的余弦值为 ...............……12分 ‎19解析：（Ⅰ）；.....................（4分）‎ ‎（Ⅱ）①由已知及频率分布直方图中的信息知，乙型号节排器中的一级品的概率为，‎ 二级品的概率，三级品的概率为，若从乙型号节排器随机抽取3件，‎ 则二级品数所有可能的取值为，且，‎ 所以,‎ ‎,‎ 所以的分布列为 所以数学期望（或）..................（10分）‎ ‎②由题意知，甲型号节排器的利润的平均值，‎ 乙型号节排器的利润的平均值，‎ ‎，又，‎ 所以投资乙型号节排器的平均利润率较大. ...................（12分）‎ ‎20.解：（Ⅰ）设焦点，以为直径的圆，即．‎ 由，得，所以，解得，即．.................（5分）‎ ‎（Ⅱ）由（1）知，圆．‎ 设直线．‎ 由得．设，，‎ 则，‎ 所以，中点，‎ ①若以为直径的圆与圆内切，则，‎ 解得．直线或．.................（10分）‎ ②若以为直径的圆与圆外切，则，解得．所以直线．‎ 所以直线或或.................（12分）‎ ‎21. （Ⅰ）因为，所以过点的直线的斜率为，‎ 而，由导数的几何意义可知，， ‎ 所以，所以．则，‎ 当时，，函数在上单调递减；当时，由得，‎ 当时，，函数单调递减，当时，‎ ‎，函数单调递增．.................6分 ‎（Ⅱ）不等式恒成立，即不等式恒成立，设，‎ 若，则，函数单调递增且不存在最小值，不满足题意；当时，由得，‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增，‎ 所以，要使得恒成立，只需恒成立，由于，所以有，解得，即当时，恒成立，即恒成立，也即不等式恒成立，所以实数的取值范围为．...........（12分）‎ ‎22. （Ⅰ）将曲线：（为参数）化为，‎ 由伸缩变换化为，代入圆的方程得，‎ 即，可得参数方程为（为参数）.................（5分）‎ ‎（Ⅱ）曲线的极坐标方程，化为直角坐标方程：，‎ 点到的距离，‎ ‎∴点到的距离的最小值为.................（10分）‎ ‎23.（Ⅰ）由，可得，两边同时平方化简得 解得 ，即 不等式 的解集为 ................（5分）‎ ‎（Ⅱ）由不等式 有解，即 有解设，而 ，由可得 或 ..............（10分）‎