数学理卷·2017届山西大学附中高三3月模块诊断考试（2017

数学理卷·2017届山西大学附中高三3月模块诊断考试（2017

山西大学附属中学 2016-2017 学年高三第二学期 3 月模块诊断 数学试题（理） 第Ⅰ卷（共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.若集合    2 2| 2 2 , | logA x Z x B x y x       ，则 A B  （ ） A． 1,1 B． 1,0,1 C． 1 D． 0,1 2.若复数 z 满足 ( 2 ) 3i z i  （i 为虚数单位），则 z 的共轭复数为（ ） A． 2 i B． 2 i C．1 2i D．1 2i 3. 将函数  3cos siny x x x R   的图象向左平移  0m m  个单位长度后，所得到的图象 关于 y 轴对称，则 m 的最小值是（ ） A． 6  B． 12  C. 3  D． 5 6  4. 我们可以用随机模拟的方法估计 的值，如图程序框图表 示其基本步骤（函数 RAND 是产生随机数的函数，它能随机 产生 (0,1) 内的任何一个实数）．若输出的结果为521，则由此 可估计 的近似值为（ ） A．3.11 B．3.126 C．3.132 D．3.151 5.焦点为  6,0  且与双曲线 12 2 2  yx 有相同渐近线的双曲 线方程是( ) A. 12412 22  yx B. 12412 22  xy C. 11224 22  xy D. 11224 22  yx 6.设 ,a b R ，函数    0 1f x ax b x    ，则   0f x  恒成立的（ ）是 2 0a b  . A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件 7.已知函数    2 1 02 xf x x e x    与    2 lng x x x a   的图象上存在关于 y 轴对称的 点，则 a 的取值范围是（ ） A． 1 e     ， B．  e ， C. 1 e e     ， D． 1 e e     ， 8.已知函数   txxf  3log 是偶函数，记      tfcfbfa  2,,4log 5.1 3.0  则 cba ,, 的大小关系为（ ） A． bca  B． cba  C. bac  D． abc  9. 已知直线l 与双曲线 2 2 14 x y  相切于点 P ，l 与双曲线两条渐进线交于 M ， N 两点， 则OM ON  的值为（ ） A．3 B． 4 C．5 D．与 P 的位置有关 10.《 九章九术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方 早一千多年.例如堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三 棱柱；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵 1 1 1ABC A B C 中， AC BC ，若 1 2A A AB  ，当阳马 1 1B A ACC 体积最大时，则堑堵 1 1 1ABC A B C 的 体积为（ ） A． 8 3 B． 2 C. 2 D． 2 2 11．已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 1 1 2a  且 2 1( ) ( 1)n n na n a a n n    ，则下列四 个结论：① 1n na a  ； ② ( 1) 2n n nS  ； ③ nn a 是增数列； ④ ( 1) nn a 是等差数列，其中正确的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．设函数 ( ) lnf x x x a   ，若曲线 e 1 e 1sin2 2y x   上存在点 0 0( , )x y 使得 0 0( ( ))f f y y 成立则实数 a 的取值范围为（ ） A． 2[0,e e 1]  B． 2[0,e e 1]  C． 2[0,e e 1]  D． 2[0,e e 1]  第Ⅱ卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 如图，网格纸上每个小正方形的边长为1，若粗线画出 的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 ． 14. 已知 x y， 满足约束条件 1 0 2 0 x y x y y         ，求    2 21 1z x y    的最小值是 ． 15. 多项式   5 2 2 1124       x x 展开式中的常数项是 ． 16. 已知 ABC 的面积为 S ，内角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ，且 2sin , sin ,cosC B A 成等比数列， 22 1 3,2 183 2 2b a c ac    ，则  24 1 9 2 16 c S a   的最小值为 . 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分） 已知 cba ,, 分别是△ ABC 的三个内角 CBA ,, 的对边，且 2 sin( ) 3 .3a C b  （I）求角 A 的值； （II）若 3AB ， AC 边上的中线 BD 的长为 13 ，求△ ABC 的面积. 18. （本小题满分 12 分） 2016 年年初不合格疫苗事件震惊全国，事件发生后，涉事地的某防疫组织迅速行动，对现 存有的六类涉事疫苗进行抽样调查，从中共随机抽取了 50 支疫苗进行达标检验，并将检验 结果向社会公布如下：[来源:学#科#网 Z#X#X#K][来源:学*科*网] 疫苗名称 1 号疫苗 2 号疫苗 3 号疫苗 4 号疫苗 5 号疫苗 6 号疫苗 频数 6 10 12 12 a 4 达标数量 3 6 6 6 4 3 （I）根据上述检验结果，求 a 的值并估计该组织现存有涉事疫苗达标的概率； （II）若从 5 号、6 号样本疫苗中各随机选取 2 支调查，调查的 4 支中没有达标的支数为  ， 求随机变量  的分布列和数学期望． 19．（本小题满分 12 分） 在如图所示的空间几何体中，平面 ACD  平面 ,ABC ABC 与 ACD 是边长为 2 的等边 三角形， 2,BE BE 和平面 ABC 所成的角为 60 ，且点 E 在平面 ABC 上的射影落在 ABC 的平分线上. （I）求证: //DE 平面 ABC ； （II）求二面角 E BC A  的余弦值. 20. （本小题满分 12 分） 已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x y a ba b      ，过点 2 ,12Q       作圆 2 2 1x y  的切线，切点分别为 ,S T .直线 ST 恰好经过  的右顶点和上顶点. （I）求椭圆  的方程； （II）如图，过椭圆  的右焦点 F 作两条互相垂直的弦 ,AB CD ，若直线 ,AB CD 的斜率均 存在时，求由 , , ,A C B D 四点构成的四边形面积的取值范围. 21.（本小题满分 12 分）[来源:学+科+网 Z+X+X+K] 已知函数 2 ( ) 2ln ,( ).2 xf x ax x a R    在 2x 处取得极值.源:学科网 ZXXK] （I）求实数 a 的值及函数 ( )f x 的单调区间； （II）已知方程 mxf )( 有三个实根 1 2 3 1 2 3, , ( ),x x x x x x  求证： 213  xx . 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 2 4cos sin   ，直线 l 的参数方程为 cos 1 sin x t y t       （t 为参数， 0    ）. （I）把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线 C 的形状； （II）若直线 l 经过点  1 0， ，求直线 l 被曲线 C 截得的线段 AB 的长. 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数  f x x a  . （I）若  f x m 的解集为 1 5x x   ，求实数 a m， 的值； （II）当 2a  且 0t  时，解关于 x 的不等式    2f x t f x t   . 山西大学附属中学 2016-2017 学年高三第二学期 3 月模块诊断 数学答案（理） 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.A 2.D 3.A 4.B 5. B 6. B 7. B 8. A 9.A 10.C 11.C 12. C 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 10 14. 1 2 15. 18 16. 3 4 三、解答题 17. 试 题 解 析 ： ( Ⅰ ) 由 bCa 33sin2        ， 变 形 为 BCCA sin33sincos3cossinsin2        ，   CACACA  sin3cossin3sinsin ， 即  CACACA  sin3cossin3sinsin 即 CACACACA sincos3cossin3cossin3sinsin  ，即 CACA sincos3sinsin  . 因 为 0sin C ， 所 以 AA cos3sin  ， 3tan A . 又   3,0   AA --6 分 （ Ⅱ ） 在 ABD 中 ， 3AB ， 13BD ， 3 A ， 利 用 余 弦 定 理 ， 222 cos2 BDAADABADAB  得 4AD ，又 D 是 AC 的中点 8 AC ， 36sin2 1  AACABS ABC .--12 分 18. 19． 解：(1) 由题意知， ,ABC ACD  都是边长为 2 的等边三角形，取 AC 中点O ， 连接 ,BO DO ，则 ,BO AC DO AC  .又平面 ACD  平面 ABC ，平面 ACD  平面 ,ABC AC DO  平面 ACD ，所以 DO  平面 ABC .作 EF  平面 ABC 于 F .由题意，点 F 落在 BO 上，且 60EBF   .在 Rt BEF 中， 3sin 2 32EF BE EBF     .在 Rt DOC 中， 3sin 2 32DO DC DCO     .因为 DO  平面 ,ABC EF 平面 ABC ，所以 DO EF ，又 DO EF ，所以四 边形 DEFO 是平行四边形.所以 DE OF .又 DE  平面 ,ABC OF  平面 ABC ，所以 DE  平面 ABC .---6 分 (2) 作 FG BC ，垂足为G ，连接 EG , EF  平面 ,ABC EF BC  .又 , ,EF FG F FG BC BC    平面 EFG .所以 BC EG .所以 EGF 就是二面角 E BC A  的一个平面角.在 Rt BGF 中， 1sin 1 sin30 2FG FB FBG     .在 Rt EFB 中， sin 2 sin 60 3EF EB EBF     .在 Rt EFG 中， 2 2 1 13 132.cos2 1313 2 FGEG EF FG EGF EG        ,即二面角 E BC A  的余 弦值为 13 13 .---12 分 20. 解：(1)过 2 ,12       作圆 2 2 1x y  的切线，一条切线为直线 1y  ，切点  0,1S .设另一条切线为 21 2y k x        ，即 2 2 2 2 0kx y k    .因为直线与圆 2 2 1x y  相切，则 2 2 2 1 4 4 k k    .解得 2 2k   .所以切线方程为 2 2 3y x   . 由 2 2 2 2 3 1 y x x y       ，解得 2 2 1,3 3T       ，直线 ST 的方程为：   1 131 0 2 2 03 y x      ,即 21 2y x  .令 0x  ，则 1y  所以上顶点的坐标为 0,1 ， 所以 1b  ；令 0y  ，则 2x  ，所以右顶点的坐标为 2,0 ，所以 2a  ，所以椭 圆 的方程为 2 2 12 x y  . (2) 若直线 ,AB CD 斜率均存在，设直线      1 1 2 2: 1 , , , ,AB y k x A x y B x y  , 则由   2 2 1 2 2 0 y k x x y       得 2 2 2 21 2 4 2 2 0k x k x k     .可知判别式 0  恒成立. 由韦达 定理，得 2 1 2 2 4 1 2 kx x k    ，当直线 ,AB CD 的斜率均存在且不为0 时，   22 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 4 2 21 1 4 1 41 2 1 2 k kAB k x x k x x x x k k k                  22 2 2 2 2 2 12 2 11 1 2 1 2 kkk k k     .同理，  22 2 2 12 2 1 2 2 1 2 21 kkCD k k        ，    22 22 2 2 4 2 2 2 1 4 11 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 5 k kkS AB CD k k k k          四边形 2 2 2 2 2 2 1 14 4 222 1 12 5 2 1 2 1 k kk k k k kk k k                              ，因为 221 12 1 2 2 1 9k kk k                ，当且仅当 1k   时取等号，所以 2 2 2 2 16 20 , 2 29 91 12 1 2 1k kk k                   ，即16 29 S 四边形 . 所以，由 , , ,A C B D 四点构成的四边形面积的取值范围为 16 ,29     . 21.试题解析：：(Ⅰ)由已知 2( )f x x a x     ， 2(2) 2 02f a     ， 3a   所以 22 3 2 ( 2)( 1)( ) 3 x x x xf x x x x x          ， 0x  由 ( ) 0f x  ，得 0 1,x  或 2x  ； 由 ( ) 0f x  ，得1 2x  ， 所以函数的单调递增区间是(0,1),(2, ) ，单调递减区间是(1,2). （Ⅱ）由（1）可知极小值  2 2ln 2 4f   ；极大值为   51 2f   ，可知方程 ( )f x m 三 个实根满足 1 2 30 1 2x x x     ， 设    1 ( ) 2h x f x f x   ， (0,1)x  ，     2 1 4( 1)( ) 2 0(2 ) xh x f x f x x x        ，则    1 1( ) (1) 1 2 1 0h x h f f     ， 即    2 , (0,1)f x f x x   ，所以      2 1 12f x f x f x   ， 由（1）知函数  f x 在 1 2, 上单调递减，从而 2 12x x  ，即 1 2 2x x  ① 同理设    2 ( ) 4 , (1,2)h x f x f x x    ，     2 2 2( 2)( ) 4 0(4 ) xh x f x f x x x        ，    2 2( ) (2) 2 4 2 0    h x h f f ， 即    4 , (1,2)f x f x x   ，      3 2 24f x f x f x   ，由（1）知函数  f x 在  2, 上单调递增，从而 3 24x x  ，即 3 2 4x x  ②， 由①②可得 3 1 2x x  得证. 22.解：（1）曲线 C 的直角坐标方程为 2 4y x ，故曲线 C 是顶点为  0 0O ， ，焦点为  1 0F ， 的抛物线. （2）直线 l 的参数方程为 cos 1 sin x t y t       （t 为参数， 0    ），故 l 经过点  0 1， ，若直 线l 经过点  1 0， ，则 3 4   . ∴直线 l 的参数方程为 3 2cos 4 2 3 21 sin 14 2 x t t y t t            （ t 为参数） 代入 2 4y x ，得 2 2 6 2 0t t   ， 设 A B， 对应的参数分别为 1 2 t t， ，则 1 2 2 6t t   ， 1 2 2t t  ， ∴  2 1 2 1 2 1 24 8AB t t t t t t      . 23.解：（1）由 x a m  得 a m x a m    ， 所以 1 5 a m a m       ，解得 2 3 a m    为所求. （2）当 2a  时，   2f x x  ， 所以    2 2 2 2f x t f x t x t x t         ， 当 0t  时，不等式①恒成立，即 x R ； 当 0t  时，不等式   2 2 2 2 2 x t t x x t         或   2 2 2 2 2 2 t x x t x t         或   2 2 2 2 x x t x t       解得 2 2x t  或 2 2 2 2 tt x    或 x ，即 2 2 tx   ； 综上，当 0t  时，原不等式的解集为 R ，当 0t  时，原不等式的解集为 2 2 tx x      .