2018版高考数学（理）（人教）大一轮复习文档讲义：第四章4-4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

2018版高考数学（理）（人教）大一轮复习文档讲义：第四章4-4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用

‎ ‎ ‎1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎(A>0，ω>0)，x∈R 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ ‎2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点 如下表所示：‎ x ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0‎ ‎3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤如下：‎ ‎【知识拓展】‎ ‎1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．‎ ‎2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．‎ ‎【思考辨析】‎ 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)y＝sin的图象是由y＝sin的图象向右平移个单位得到的．(　√　)‎ ‎(2)将函数y＝sin ωx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象．(　×　)‎ ‎(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．(　×　)‎ ‎(4)函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为T＝.(　×　)‎ ‎(5)把y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.(　×　)‎ ‎(6)若函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为 .(　√　)‎ ‎1．(教材改编)y＝2sin(x－)的振幅，频率和初相分别为(　　)‎ A．2,4π， B．2，， C．2，，－ D．2,4π，－ 答案　C 解析　由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.‎ ‎2．(2015·山东)要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)‎ A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 答案　B 解析　∵y＝sin＝sin，‎ ‎∴要得到y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象向右平移个单位．‎ ‎3．(2016·青岛模拟)将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　　)‎ A．y＝sin(2x－) B．y＝sin(2x－)‎ C．y＝sin(x－) D．y＝sin(x－)‎ 答案　C 解析　y＝sin x y＝sin(x－)y＝sin(x－)．‎ ‎4．(2016·临沂模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋θ)的图象如图所示，f()＝－，则f(－)＝________.‎ 答案　－ 解析　由题图知，函数f(x)的周期 T＝2(－)＝，‎ 所以f(－)＝f(－＋)＝f()＝－.‎ ‎5．若将函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．‎ 答案　 解析　∵函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位得到g(x)＝sin[2(x－φ)＋]＝sin(2x＋－2φ)，‎ 又∵g(x)是偶函数，∴－2φ＝kπ＋(k∈Z)，‎ ‎∴φ＝－－(k∈Z)．‎ 当k＝－1时，φ取得最小正值.‎ 题型一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 例1　(2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： ‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎－5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象．若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值．‎ 解　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x π Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎－5‎ ‎0‎ 且函数解析式为f(x)＝5sin.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝5sin，‎ 得g(x)＝5sin.‎ 因为函数y＝sin x图象的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.‎ 令2x＋2θ－＝kπ，解得x＝＋－θ，k∈Z.‎ 由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，‎ 所以令＋－θ＝，解得θ＝－，k∈Z.‎ 由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.‎ 引申探究 在本例(2)中，将f(x)图象上所有点向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，求g(x)的解析式，并写出g(x)图象的对称中心．‎ 解　由(1)知f(x)＝5sin(2x－)，‎ 因此g(x)＝5sin[2(x＋)－]＝5sin(2x＋)．‎ 因为y＝sin x的对称中心为(kπ，0)，k∈Z.‎ 令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z.‎ 即y＝g(x)图象的对称中心为(－，0)，k∈Z.‎ 思维升华　(1)五点法作简图：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．‎ ‎(2)图象变换：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：‎ ‎“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．‎ ‎　把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移个单位，得到的函数图象的解析式是(　　)‎ A．y＝cos 2x B．y＝－sin 2x C．y＝sin(2x－) D．y＝sin(2x＋)‎ 答案　A 解析　由y＝sin x图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y＝sin 2x，再向左平移个单位得y＝sin2(x＋)，即y＝cos 2x.‎ 题型二　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例2　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，|φ|<，ω>0)的图象的一部分如图所示．‎ ‎(1)求f(x)的表达式；‎ ‎(2)试写出f(x)的对称轴方程．‎ 解　(1)观察图象可知A＝2且点(0,1)在图象上，‎ ‎∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝.‎ ‎∵|φ|<，∴φ＝，‎ 又∵π是函数的一个零点且是图象递增穿过x轴形成的零点，‎ ‎∴ω＋＝2π，∴ω＝2.‎ ‎∴f(x)＝2sin(2x＋)．‎ ‎(2)设2x＋＝B，则函数y＝2sin B的对称轴方程为B＝＋kπ，k∈Z，‎ 即2x＋＝＋kπ(k∈Z)，‎ 解得x＝＋ (k∈Z)，‎ ‎∴f(x)＝2sin(2x＋)的对称轴方程为 x＝＋(k∈Z)．‎ 思维升华　求y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)解析式的步骤 ‎(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.‎ ‎(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.‎ ‎(3)求φ，常用方法如下：‎ ‎①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．‎ ‎②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”为ωx＋φ＝2π.‎ ‎　(2016·太原模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则y＝f(x＋)取得最小值时x的集合为(　　)‎ A．{x|x＝kπ－，k∈Z}‎ B．{x|x＝kπ－，k∈Z}‎ C．{x|x＝2kπ－，k∈Z}‎ D．{x|x＝2kπ－，k∈Z}‎ 答案　B 解析　根据所给图象，周期T＝4×(－)＝π，故π＝，∴ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外图象经过点(，0)，代入有2×＋φ＝kπ(k∈Z)，再由|φ|<，得φ＝－，∴f(x＋)＝sin(2x＋)，当2x＋＝－＋2kπ (k∈Z)，即x＝－＋kπ(k∈Z)时，y＝f(x＋)取得最小值．‎ 题型三　三角函数图象性质的应用 命题点1　三角函数模型的应用 例3　(2015·陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)‎ A．5 B．6‎ C．8 D．10‎ 答案　C 解析　由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5.‎ ‎∴ymax＝k＋3＝8.‎ 命题点2　函数零点(方程根)问题 例4　已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________．‎ 答案　(－2，－1)‎ 解析　方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为 m＝1－2sin2x＋sin 2x ‎＝cos 2x＋sin 2x ‎＝2sin，x∈.‎ 设2x＋＝t，则t∈，‎ ‎∴题目条件可转化为＝sin t，t∈有两个不同的实数根．‎ ‎∴y＝和y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：‎ 由图象观察知，的范围为(－1，－)，‎ 故m的取值范围是(－2，－1)．‎ 引申探究 例4中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是__________．‎ 答案　[－2,1)‎ 解析　由例4知，的范围是，‎ ‎∴－2≤m<1，‎ ‎∴m的取值范围是[－2,1)．‎ 命题点3　图象与性质的综合应用 例5　已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－≤φ<)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.‎ ‎(1)求ω和φ的值；‎ ‎(2)当x∈[0，]时，求函数y＝f(x)的最大值和最小值．‎ 解　(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.‎ 又因为f(x)的图象关于直线x＝对称，‎ 所以2·＋φ＝kπ＋，k∈Z，‎ 由－≤φ<，得k＝0，‎ 所以φ＝－＝－.‎ 综上，ω＝2，φ＝－.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin(2x－)，‎ 当x∈[0，]时，－≤2x－≤，‎ ‎∴当2x－＝，即x＝时，f(x)最大值＝；‎ 当2x－＝－，即x＝0时，f(x)最小值＝－.‎ 思维升华 ‎　(1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题．‎ ‎(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．‎ ‎(3)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．‎ ‎　已知函数f(x)＝cos(3x＋)，其中x∈[，m]，若f(x)的值域是[－1，－]，则m的取值范围是__________．‎ 答案　[，]‎ 解析　画出函数的图象．‎ 由x∈[，m]，可知≤3x＋≤3m＋，‎ 因为f()＝cos ＝－且f()＝cos π＝－1，要使f(x)的值域是[－1，－]，只要≤m≤，即m∈[，]．‎ ‎4．三角函数图象与性质的综合问题 典例　(12分)已知函数f(x)＝2sin(＋)·cos(＋)－sin(x＋π)．‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若将f(x)的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值．‎ 思维点拨　(1)先将f(x)化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式再求周期；‎ ‎(2)将f(x)解析式中的x换成x－，得g(x)，然后利用整体思想求最值．‎ 规范解答 解　(1)f(x)＝2sin(＋)·cos(＋)－sin(x＋π)＝cos x＋sin x[3分]‎ ‎＝2sin(x＋)，[5分]‎ 于是T＝＝2π.[6分]‎ ‎(2)由已知得g(x)＝f(x－)＝2sin(x＋)，[8分]‎ ‎∵x∈[0，π]，∴x＋∈[，]，‎ ‎∴sin(x＋)∈[－，1]，[10分]‎ ‎∴g(x)＝2sin(x＋)∈[－1,2]．[11分]‎ 故函数g(x)在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[12分]‎ 解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤：‎ 第一步：(化简)将f(x)化为asin x＋bcos x的形式；‎ 第二步：(用辅助角公式)构造f(x)＝·(sin x·＋cos x·)；‎ 第三步：(求性质)利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质；‎ 第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．‎ ‎1．为了得到函数y＝cos(2x＋)的图象，可将函数y＝sin 2x的图象(　　)‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 答案　C 解析　由题意，得y＝cos(2x＋)＝sin(2x＋＋)＝sin 2(x＋)，则它是由y＝sin 2x向左平移个单位得到的，故选C.‎ ‎2．若f(x)＝sin(2x＋φ)＋b，对任意实数x都有f＝f(－x)，f＝－1，则实数b的值为(　　)‎ A．－2或0 B．0或1‎ C．±1 D．±2‎ 答案　A 解析　由f ＝f(－x)可得f(x)的图象关于直线x＝对称，∴2×＋φ＝＋kπ，k∈Z.当直线x＝经过最高点时，φ＝；当直线x＝经过最低点时，φ＝－π.若f(x)＝sin＋b，由f ＝－1，得b＝0；若f(x)＝sin＋b，由f＝－1，得b＝－2.所以b＝－2或b＝0.‎ ‎3．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y ‎＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f(x)的最小正周期为(　　)‎ A. B. C．π D．2π 答案　C 解析　f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin(ωx＋)(ω>0)．‎ 由2sin(ωx＋)＝1，得sin(ωx＋)＝，‎ ‎∴ωx＋＝2kπ＋或ωx＋＝2kπ＋π(k∈Z)．‎ 令k＝0，得ωx1＋＝，ωx2＋＝π，‎ ‎∴x1＝0，x2＝.‎ 由|x1－x2|＝，得＝，∴ω＝2.‎ 故f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎4．函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (x∈R，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，如果x1，x2∈(－，)且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)等于(　　)‎ A. B. C. D．1‎ 答案　B 解析　观察图象可知，A＝1，T＝π，‎ ‎∴ω＝2，f(x)＝sin(2x＋φ)．‎ 将(－，0)代入上式得sin(－＋φ)＝0，‎ 由|φ|<，得φ＝，则f(x)＝sin(2x＋)．‎ 函数图象的对称轴为x＝＝.‎ 又x1，x2∈(－，)，‎ 且f(x1)＝f(x2)，∴＝，‎ ‎∴x1＋x2＝，‎ ‎∴f(x1＋x2)＝sin(2×＋)＝.故选B.‎ ‎5．函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f(x)在上的最小值为(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 答案　A 解析　由函数f(x)的图象向左平移个单位得g(x)＝sin的图象，‎ 因为是奇函数，所以φ＋＝kπ，k∈Z，‎ 又因为|φ|＜，所以φ＝－，‎ 所以f(x)＝sin.‎ 又x∈，所以2x－∈，‎ 所以当x＝0时，f(x)取得最小值为－.‎ ‎6．(2016·太原模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的最小正周期是π，若将f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象(　　)‎ A．关于直线x＝对称 B．关于直线x＝对称 C．关于点对称 D．关于点对称 答案　B 解析　由题意知＝π，∴ω＝2；‎ 又由f(x)的图象向右平移个单位后得到y＝sin[2＋φ]＝sin，此时关于原点对称，‎ ‎∴－＋φ＝kπ，k∈Z，‎ ‎∴φ＝＋kπ，k∈Z，‎ 又|φ|＜，‎ ‎∴φ＝－，‎ ‎∴f(x)＝sin.‎ 当x＝时，‎ ‎2x－＝－，‎ ‎∴A、C错误；‎ 当x＝时，‎ ‎2x－＝，‎ ‎∴B正确，D错误．‎ ‎7．(2016·全国丙卷)函数y＝sin x－cos x的图象可由函数y＝sin x＋cos x的图象至少向右平移________个单位长度得到．‎ 答案　 解析　y＝sin x－cos x＝2sin，y＝sin x＋cos x＝2sin，因此至少向右平移个单位长度得到．‎ ‎8.(2017·长春质检)设偶函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则f()的值为________．‎ 答案　 解析　由题意知，点M到x轴的距离是，根据题意可设f(x)＝cos ωx，‎ 又由题图知·＝1，所以ω＝π，‎ 所以f(x)＝cos πx，‎ 故f()＝cos ＝.‎ ‎9．(2015·天津)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．‎ 答案　 解析　f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin，‎ 因为f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x＝ω对称，所以f(ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋＝2kπ＋，k∈Z，所以ω2＝＋2kπ，k∈Z.又ω－(－ω)≤，即ω2≤，即ω2＝，所以ω＝.‎ ‎10.电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<)的图象如图所示，则当t＝秒时，电流强度是________安．‎ 答案　－5‎ 解析　由图象知A＝10，＝－＝，‎ ‎∴ω＝＝100π，∴I＝10sin(100πt＋φ)．‎ ‎∵图象过点，‎ ‎∴10sin(100π×＋φ)＝10，‎ ‎∴sin(＋φ)＝1，＋φ＝2kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴φ＝2kπ＋，k∈Z，‎ 又∵0<φ<，∴φ＝.‎ ‎∴I＝10sin，‎ 当t＝秒时，I＝－5安．‎ ‎11．已知函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象过点P(，0)，图象上与点P最近的一个最高点是Q(，5)．‎ ‎(1)求函数的解析式；‎ ‎(2)求函数f(x)的递增区间．‎ 解　(1)依题意得A＝5，周期T＝4(－)＝π，‎ ‎∴ω＝＝2.‎ 故y＝5sin(2x＋φ)，又图象过点P(，0)，‎ ‎∴5sin(＋φ)＝0，‎ 由已知可得＋φ＝0，∴φ＝－，‎ ‎∴y＝5sin(2x－)．‎ ‎(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，‎ 故函数f(x)的递增区间为[kπ－，kπ＋] (k∈Z)．‎ ‎12．已知函数f(x)＝cos2x＋sin x·cos x－.‎ ‎(1)求函数f(x)的最小正周期T和函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)若函数f(x)的对称中心为(x,0)，求x∈[0,2π)的所有x的和．‎ 解　(1)由题意得f(x)＝sin(2x＋)，∴T＝＝π，‎ 令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z.‎ 可得函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z.‎ ‎(2)令2x＋＝kπ，k∈Z，可得x＝－＋，k∈Z.‎ ‎∵x∈[0,2π)，∴k可取1,2,3,4.‎ ‎∴所有满足条件的x的和为＋＋＋＝.‎ ‎*13.(2016·潍坊模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示．‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)设g(x)＝[f(x－)]2，求函数g(x)在x∈[－，]上的最大值，并确定此时x的值．‎ 解　(1)由题图知A＝2，＝，‎ 则＝4×，∴ω＝.‎ 又f(－)＝2sin[×(－)＋φ]‎ ‎＝2sin(－＋φ)＝0，‎ ‎∴sin(φ－)＝0，‎ ‎∵0<φ<，∴－<φ－<，‎ ‎∴φ－＝0，即φ＝，‎ ‎∴f(x)的解析式为f(x)＝2sin(x＋)．‎ ‎(2)由(1)可得 f(x－)＝2sin[(x－)＋]‎ ‎＝2sin(x＋)，‎ ‎∴g(x)＝[f(x－)]2＝4× ‎＝2－2cos(3x＋)，‎ ‎∵x∈[－，]，∴－≤3x＋≤，‎ ‎∴当3x＋＝π，即x＝时，g(x)max＝4.‎