专题11 直线与圆锥曲线的位置关系备战2019年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）

专题11 直线与圆锥曲线的位置关系备战2019年高考数学二轮复习热点难点全面突破（上海地区）

专题11 直线与圆锥曲线的位置关系 专题点拨 ‎1．弦长公式：斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则截得的弦长: |AB|＝=·|x1－x2|＝·|y1－y2|(k≠0)．‎ ‎2. 涉及焦点弦问题：一般要联想圆锥曲线的轨迹定义加以分析求解.‎ ‎ 涉及中点弦及直线的斜率问题：需要利用“根与系数的关系”求解．‎ ‎3.在直线与圆锥曲线的问题中，若直线的斜率不存在且符合题意时，则需要优先考虑斜率不存在的情况．既克服遗漏，又可获得一般性解答的启示.‎ ‎4.涉及存在性问题:一方面，要结合轨迹定义和曲线性质讨论；另一方面，还要结合问题情境具体分析，并加以推理论证.‎ 真题赏析 ‎(2018·上海)设常数t＞2．在平面直角坐标系xOy中，已知点F（2，0），直线l：x=t，曲线Γ：y2=8x（0≤x≤t，y≥0）．l与x轴交于点A、与Γ交于点B．P、Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点．‎ ‎（1）用t表示点B到点F的距离；‎ ‎（2）设t=3，|FQ|=2，线段OQ的中点在直线FP上，求△AQP的面积；‎ ‎（3）设t=8，是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【解析】（1）方法一：由题意可知：设B（t，2t），‎ 则|BF|==t+2，‎ ‎∴|BF|=t+2；‎ 方法二：由题意可知：设B（t，2t），‎ 由抛物线的性质可知：|BF|=t+=t+2，∴|BF|=t+2；‎ ‎（2）F（2，0），|FQ|=2，t=3，则|FA|=1，‎ ‎∴|AQ|=，∴Q（3，），设OQ的中点D，‎ D（，），‎ kQF==﹣，则直线PF方程：y=﹣（x﹣2），‎ 联立，整理得：3x2﹣20x+12=0，‎ 解得：x=，x=6（舍去），‎ ‎∴△AQP的面积S=××=；‎ ‎（3）存在，设P（，y），E（，m），则kPF==，kFQ=，‎ 直线QF方程为y=（x﹣2），∴yQ=（8﹣2）=，Q（8，），‎ 根据+=，则E（+6，），‎ ‎∴（）2=8（+6），解得：y2=，‎ ‎∴存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ，使得点E在Γ上，且P（，）．‎ 例题剖析 ‎【例1】椭圆．‎ ‎（1）若抛物线的焦点与的焦点重合，求的标准方程；‎ ‎（2）若的上顶点、右焦点及轴上一点构成直角三角形，求点的坐标；‎ ‎（3）若为的中心，为上一点（非的顶点），过的左顶点，作，交轴于点，交于点，求证：．‎ ‎【解析】（1）椭圆中，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的焦点坐标为，，，，‎ 抛物线的焦点与的焦点重合，‎ ‎，且抛物线的焦点在轴上，‎ 的标准方程；‎ 设直线的方程为，直线的方程为，‎ 由，消可得，‎ 解得，或，‎ 则 则点的坐标为， ，‎ 对于直线方程，令，可得 ‎，‎ ‎，， ‎ 由，解得，‎ 解得或，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎【例2】对于双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，定义C1：＋＝1为其伴随曲线，记双曲线C的左、右顶点为A、B.‎ ‎(1)当a>b时，记双曲线C的半焦距为c，其伴随椭圆C1的半焦距为c1，若c＝2c1，求双曲线C的渐近线方程； ‎ ‎（3）在（1）的条件下，且，点与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线分别相交于点和，试问：以线段为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由．‎ ‎【解析】（1）双曲线的渐近线方程为：‎ 即，所以，‎ 从而，，‎ 所以．‎ ‎（2）设，，则由条件知：，，即．‎ 所以，，‎ 代入双曲线方程知：‎ 双曲线的方程： ‎ ‎（3）因为，所以，由（1）知，，所以的方程为：，‎ 令，，所以，，令，所以，，令，所以，‎ 故以为直径的圆的方程为：，‎ 即，‎ 即，‎ 若以为直径的圆恒经过定点 于是 所以圆过轴上两个定点和.‎ ‎9.设椭圆的两个焦点是和，．‎ ‎（1）若椭圆与圆有公共点，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若椭圆上的点到焦点的最短距离为，求椭圆的方程；‎ ‎（3）对（2）中的椭图，直线与交于不同的两点、，若线段的垂直平分线恒过点，求实数的值．‎ ‎【解析】（1）由已知，，‎ 方程组有实数解，从而，‎ 故，所以，即的取值范围是，‎ ‎（2）设椭圆上的点到一个焦点的距离为 ‎．．‎ 当时，，（可以直接用结论）‎ 于是，，解得，．‎ 所求椭圆方程为．‎ ‎（3）由得，‎ 设，、，，‎ ‎，‎ 线段的中点为，，‎ 又线段的垂直平分线恒过点，‎ ‎，‎ 整理可得，‎ 解得，或，‎ 故实数的值为或．‎ ‎10.已知椭圆的中心为原点，长轴在轴上，左顶点为，上、下焦点分别为，，线段，的中点分别为，，且△是斜边长为2的直角三角形．‎ ‎（1）若点在椭圆上，且为锐角，求的取值范围；‎ ‎（2）过点作直线交椭圆于点，且，求直线的方程．‎ ‎【解析】（1）设椭圆方程为，，由题意可得，，‎ 则，‎ 故椭圆的方程为，‎ 由，，‎ 由为锐角，‎ ‎，且与不共线，‎ ‎，且，‎ ‎，‎ ‎，且，‎ 故的取值范围为，，；‎ ‎11.已知椭圆的长轴长为，右顶点到左焦点的距离为直线与椭圆交于两点. ‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若为椭圆的上顶点，为中点，为坐标原点，连接并延长交椭圆于，,求的值；‎ ‎（3）若原点到直线的距离为，，当时， 求的面积的范围.‎ ‎【解析】（1） ‎ 又， ‎ ‎ ‎ 故椭圆方程为 ‎ ‎（2）过， ‎ ‎， ‎ ‎，则 ‎ ‎,,代入椭圆方程， ‎ 得，即，所以 ‎ ‎（3）原点到直线的距离为1， ‎ 设 联立 由式知， ‎ ‎，得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 令 ‎ ‎ . ‎