2018届二轮复习专题09威力无穷的函数图像学案（全国通用）

2018届二轮复习专题09威力无穷的函数图像学案（全国通用）

专题09 威力无穷的函数图像 考纲要求:‎ ‎1．考查函数图象的识辨．‎ ‎2．考查函数图象的变换．‎ ‎3．利用函数图象研究函数性质或求两函数的图象的交点个数．‎ 基础知识回顾:‎ ‎1．应掌握的基本函数的图象有：一次函数、二次函数、三次函数、幂函数、指数函数、对数函数等．‎ ‎2．利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；④画出函数的图象．‎ ‎3、图象变换包括图像的平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等。‎ ‎（1）平移变换（左加右减，上加下减）‎ 把函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，‎ 把函数的图像向右平移个单位，得到函数的图像，‎ 把函数的图像向上平移个单位，得到函数的图像，‎ 把函数的图像向下平移个单位，得到函数的图像。‎ ‎（2）伸缩变换 ‎①把函数图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得(0<<1)‎ ‎②把函数图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的倍得(>1)‎ ‎③把函数图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍得(>1)‎ ‎④把函数图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍得(0<<1)‎ ‎(3)对称变换 ‎①y＝f(x)； ②y＝f(x)；‎ ‎ ③y＝f(x)； ④y＝ax (a>0且a≠1). (a>0且a≠1)‎ ‎⑤对于函数(),恒成立,则函数的对称轴是 ‎（4）翻折变换：‎ ‎①把函数y=f(x)图像上方部分保持不变，下方的图像对称翻折到轴上方，得到函数的图像；‎ ‎②保留轴右边的图像，擦去左边的图像，再把右边的图像对称翻折到左边，得到函数的图像。‎ ‎4．等价变换 例如：作出函数y＝的图象，可对解析式等价变形 y＝⇔⇔⇔x2＋y2＝1(y≥0)，可看出函数的图象为半圆．此过程可归纳为：(1)写出函数解析式的等价组；(2)化简等价组；(3)作图．‎ 应用举例:‎ 类型一、由图象研究函数的性质 ‎【例1】【2017江西省新余市第一中学高三开学考试】对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题：①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确的个数为(　　)‎ A．1 B．‎2 C．3 D．0‎ ‎【答案】B ‎【例2】【2017江苏省南通市如东县一中高三月考】已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)‎ A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)‎ C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1) D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)‎ ‎【答案】C ‎【解析】将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．‎ 类型二、由式定图，即由函数的解析式确定函数的图象 ‎【例3】【江西省赣州厚德外国语学校2018届高三上学期第一次阶段测试】‎ 函数的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【例4】【2017山西省长治二中等四校高三联考】函数的图象大致是（ ） ‎ ‎【答案】C ‎【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究. 学科@网 点评：由解析式确定函数图像．此类问题往往化简函数解析式，利用函数的性质(单调性、奇偶性、过定点等)判断，常用排除法．‎ 类型三、由图定式，即由函数的图象去求函数的解析式 ‎【例5】【2017贵州七校高三联考】已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是(　　)‎ A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝－1‎ D．f(x)＝x－ ‎【答案】A ‎【解析】由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C.若函数为f(x)＝x－，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D. 学科@网 ‎【例6】【2017河北省沧州市高三月考】如图1，定义在上的函数的图像由一条线段及抛物线的一部分组成，求的解析式．‎ 图1‎ ‎【答案】 ‎ ‎ 点评：由函数图象求函数解析式的步骤：（1）定型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数类型； （2）设式：设出函数解析式；（3）列方程：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式；（4）定论：最后用表示出各段解析式，注意对应的自变量取值范围。‎ 类型四、由图定图 图2‎ A B C D ‎【例7】【2017山东省枣庄八中高三月考】 已知定义在区间[0,2]上的函数y＝f(x)的图像如图2所示，则y＝－f(2－x)的图像为(　　)‎ ‎　　‎ ‎ ‎ ‎【答案】B ‎ 点评：已知函数图像确定相关函数的图像．此类问题主要考查函数图像的变换(如平移变换、对称变换等)，要注意函数y＝f(x)与y＝f(－x)、y＝－f(x)、y＝－f(－x)、y＝f(|x|)、y＝|f(x)|等的相互关系．‎ 类型五、由函数图象研究方程的根 ‎【例8】【山西省孝义市2018届高三上学期入学摸底考试】‎ 已知函数 ，对于任意，且，均存在唯一实数，使得，且，若关于的方程有4个不相等的实数根，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得示意图,‎ 所以 ,选C.‎ 点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 ‎(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.‎ ‎(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.‎ ‎(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.‎ ‎【例9】函数是定义在上的偶函数，且满足.当时，.若在区间上方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A[来源:Z|xx|k.Com]‎ ‎ ‎ 点睛：‎ 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．学科@网 类型五、由图研究函数的零点 ‎【例10】【广东省惠东县惠东高级中学2018届高三适应性考试】‎ 定义域为R的偶函数满足，当时， ；函数，则在上零点的个数为 A. 4 B. ‎3 C. 6 D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得偶函数周期为2，作图可知交点个数为5，所以零点的个数为5，选D.‎ 点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.‎ ‎【例11】【2017安徽省合肥市高三模拟考试】已知f(x)＝则函数y＝‎2f2(x)－‎3f(x)＋1的零点个数是________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】方程‎2f2(x)－‎3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或1.作出y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为5.‎ 类型五、由图象求参数的取值范围 ‎【例12】已知函数．若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】(0,1)[来源:Z|xx|k.Com]‎ ‎【解析】试题分析：由题意作出函数的图象，‎ 关于关于的方程有两个不同的实根等价于 函数，与有两个不同的公共点，‎ 由图象可知当时，满足题意，故答案为：学科@网 ‎【例13】【2017湖北省襄阳四中高三月考】已知函数，若函数有且只有两个零点，则k的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【思路点晴】零点问题一种解法是变为两个函数图象的交点，如本题中的 的零点问题，转化为左右两边函数图象有两个交点．我们只需要画出函数图象，就可以解决这个问题．在函数的第一段中，，由此可知该图象为双曲线的一支，其渐近线方程为．另一段求取其过的切线方程，的范围就在这两条直接的斜率之间．学科@网 类型六、由图象求不等式的解 ‎【例14】【2017河北正定一中高三月考】设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　)‎ A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)‎ C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)‎ ‎【答案】D ‎【例15】【2017大连市一中高三摸底考试】如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是(　　)‎ A．{x|－10,B，D错。若当，分子为正，分母，所以，与图中不符，所以A错，经检验C符合，选C.‎ ‎8．已知且，若函数在区间上是增函数，则函数的图象是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ ‎【解析】∵函数在区间上是增函数，∴‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增 故选：A ‎9．将函数图像绕点（1,0）顺时针旋转角得到曲线C，若曲线C仍是一个函数的图像，则的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 点睛：解答本题的难点在于如何理解旋转后的图像是函数。依据函数的定义可知当函数的图像上的每一点处的切线存在时，旋转后的图像是函数。因此在解答本题时，先考虑两个特殊点处的切线是否存在，考虑到点旋转起点，所以当点处的导函数值存在时，即为旋转角的最大值，从而求出最大旋转角使得问题获解。学科@网 ‎10．已知函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]的图象如下图所示：[来源:Z.xx.k.Com]‎ 则方程f[g(x)]＝0有且仅有________个根．‎ ‎【答案】6‎ 点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.‎ ‎(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.‎