2018-2019学年黑龙江省齐齐哈尔市“四校联盟”高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省齐齐哈尔市“四校联盟”高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年黑龙江省齐齐哈尔市“四校联盟”高二上学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．命题“若x＞1，则x2-2x+2＞0”的逆否命题是（　　）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】D ‎【解析】根据命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，写出它的逆否命题即可．‎ ‎【详解】‎ 解：根据命题与逆否命题之间的关系，可得： ‎ 命题“若x＞1，则x2-2x+2＞0”的逆否命题是“若x2-2x+2≤0，则x≤1”． ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了四种命题之间的关系应用问题，是基础题目．‎ ‎2．某商业集团董事长想了解集团旗下五个超市的销售情况，通知五个超市经理把最近一周每的销售金额统计上报，要求既要反映一周内每天销售金额的多少，又能反映一周内每天销售金额的变化情况和趋势，则最好选用的统计图表为（　　）‎ A．频率分布直方图 B．折线统计图 C．扇形统计图 D．统计表 ‎【答案】B ‎【解析】根据折线统计图的显著特点即得结果．‎ ‎【详解】‎ 折线统计图的一个显著特点就是能反映统计量的变化趋势，所以既要反映一周内每天销售金额的多少，又能反映一周内每天销售金额的变化情况和趋势，则最好选用的统计图表为拆线统计图． ‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查最理想的统计图表的判断，考查频率分布直方图、折线统计图、扇形统计图、‎ 统计表等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．‎ ‎3．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）‎ A． B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据抛物线的定义式得到焦点在x轴上，焦点坐标为 ，准线方程为 ，故焦点到准线的距离为1.‎ 故选项为B.‎ ‎4．某地区共有10万户居民，该地区城市住户与农村住户之比为4：6，根据分层抽样方法，调查了该地区1000居民电脑拥有情况，调查结果如表所示，那么可以估计该地区农村住户中无电脑的总户数约为（　　）‎ 城市 农村 有电脑 ‎360户 ‎450户 无电脑 ‎40户 ‎150户 A．万户 B．万户 C．万户 D．万户 ‎【答案】A ‎【解析】先求出在所有居民中农村无电脑的住户所占比例，并据此估算该地区农村住户中无电脑的总户数．‎ ‎【详解】‎ 解：∵在1000户住户中，农村住户无电脑的有150户，‎ ‎∴在所有居民中农村无电脑的住户约占，‎ ‎∴估计该地区农村住户中无电脑的总户数约为=15000（户）．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查该地区农村住户中无电脑的总户数的求法，考查分层抽样等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎5．已知m＞0，则“m=3”是“椭圆=1的焦距为4”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】通过讨论焦点的位置，得到关于m的方程，求出对应的m的值，根据充分必要条件的定义判断即可．‎ ‎【详解】‎ 解：∵2c=4，∴c=2，‎ 若焦点在x轴上，则c2=m2-5=4，又m＞0，∴m=3，‎ 若焦点在y轴上，则c2=5-m2=4，m＞0，∴m=1，‎ 故“m=3”是“椭圆的焦距为4”的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了充分必要条件，考查椭圆的定义，是一道基础题．‎ ‎6．某中学从甲、乙两个艺术班中选出7名学生参加市级才艺比赛，他们取得的成绩（满分100）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为（ ）‎ A.6 B.8 C.9 D.11‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由茎叶图可知，茎为时，甲班学生成绩对应数据只能是，，，因为甲班学生成绩众数是，所以出现的次数最多，可知．由茎叶图可知，乙班学生成绩为，，，，，，，由乙班学生成绩的中位数是，可知．所以．故选．‎ ‎【考点】统计中的众数与中位数．‎ ‎7．如图所示的程序框图输出的结果为510，则判断框内的条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得该程序的功能是计算的和．‎ ‎∵，‎ ‎∴当时， ，不合题意；‎ 当时， ，符合题意．‎ ‎∴判断框中的条件为．选D．‎ ‎8．在区间[-3，9]上任取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则实数m的值为（　　）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】求解绝对值不等式，然后可知m＞3，再由测度比为长度比列式求得m值．‎ ‎【详解】‎ 解：区间[-3，9]的区间长度为12，若概率为则对应区间长度为=10，‎ 由|x|≤m，得-m≤x≤m且 若0m3,则[-m,m][-3，9]= [-m,m],对应区间长度小于等于6，不符合题意。‎ 若m＞3，则[-m,m][-3，9]=[-3,m]，根据对应区间长度为10，易知3+m=10，即m=7．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何概型概率的求法，考查绝对值不等式的解法，是基础题．‎ ‎9．如果命题“￢（p或q）”为假命题，则（ ）‎ A．p、q均为真命题 ‎ B．p、q均为假命题 C．p、q中至少有一个为真命题 ‎ D．p、q中至多有一个为真命题 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：¬（p或q）为假命题 既p或q是真命题，由复合命题的真假值来判断．‎ 解：¬（p或q）为假命题，‎ 则p或q为真命题 所以p，q至少有一个为真命题．‎ 故选C．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎10．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( )‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：将其方程变为标准方程为，根据题意可得，，且，解得，故A正确。‎ ‎【考点】椭圆的方程及基本性质 ‎11．当双曲线M：-=1（-2≤m＜0）的焦距取得最小值时，双曲线M的渐近线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得关于m的焦距表达式，在其取值最小时得出此时双曲线方程，‎ 遂可得渐进线方程．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意可得c2=m2+2m+6=（m+1）2+5，‎ 可得当m=-1时，焦距2c取得最小值，‎ 此时双曲线的方程为，即，‎ 其渐近线方程为y=±2x．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的渐近线的斜率的求法，注意运用二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎12．已知直线交椭圆于两点，且线段的中点为，则的斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设两点坐标分别为，则，将两式两边分别相减得 ‎，整理得，又，‎ 所以，即的斜率为。选B。‎ 二、填空题 ‎13．椭圆=1的长轴长为______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】根据题意，由椭圆的标准方程分析可得a的值，由长轴长公式即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，方程为=1的椭圆中，‎ 其中a=，‎ 则其长轴长2a=2；‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程，注意椭圆的长轴长为2a，属于基础题.‎ ‎14．某射击运动员在五次射击中，分别打出了9，8，10，8，x环的成绩，且这组数据的平均数为9，则这组数据的方差是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据这组数据的平均数，先求出x的值，并由可此求出这组数据的方差．‎ ‎【详解】‎ 解：∵某射击运动员在五次射击中，分别打出了9，8，10，8，x环的成绩，‎ 且这组数据的平均数为9，‎ ‎∴=9，‎ 解得x=10，‎ ‎∴这组数据的方差是：‎ ‎ ‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎15．若“”是真命题，则实数的最小值为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：，，当时，的最大值是1，故，即实数的最小值是1．‎ ‎【考点】全称命题的应用 ‎16．已知双曲线 的一个焦点是 ，椭圆 的焦距等于 ，则 ________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】因为双曲线的焦点是，所以双曲线的标准方程是 ，即 ，，即 ，所以椭圆方程是 ，因为焦距，所以 ，即，解得，故填：5.‎ 三、解答题 ‎17．设命题p：∃x0∈（1，+∞），使得5+|x0|=6．q：∀x∈（0，+∞），+81x≥a．‎ ‎（1）若a=9，判断命题￢p，p∨q，（￢p）∧（￢q）的真假，并说明理由；‎ ‎（2）设命题r：∃x0∈R，x02+2x0+a-9≤0判断r成立是q成立的什么条件，并说明理由．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析 ‎【解析】（1）命题p根据不等式定义即可得出真假；命题q可根据均值不等式进行判断. ‎ ‎（2）根据一元二次方程属性判断a值范围，并与命题q进行比较,遂可得解．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）若，则＞1，则5+＞6，即命题p为假，￢p为真，‎ 当x＞0时，由均值不等式得：+81x≥2=9（当且仅当=81x即x=时取等号）‎ 又a=9，即命题q为真，￢q为假，‎ 故￢p为真命题，p∨q为真命题，（￢p）∧（￢q）为假命题.‎ ‎（2）由命题r：∃x0∈R，x02+2x0+a-9≤0为真，‎ 即△=4-4（a-9）≥0，‎ 解得：a≤10，‎ 由（1）得，当q为真时，a≤9，‎ 又“a≤10“是”a≤9“的必要不充分条件，‎ 故r成立是q成立的必要不充分条件．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了均值不等式、二次不等式的解集及复合命题及其真假，属简单题．‎ ‎18．2017年交警统计了某路段过往车辆的车速大小与发生交通事故的次数，得到如表所示的数据：‎ 车速x（km/h）‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎90‎ ‎100‎ 事故次数y ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎（1）请画出上表数据的散点图；‎ ‎（2）请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；‎ ‎（3）根据（2）所得速度与事故发生次数的规律，试说明交管部门可采取什么措施以减少事故的发生．‎ 附：=，=-‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）=0.26x-14.8（3）交管部门可在此路段采取限速措施.‎ ‎【解析】（1）根据表格中数据描点作图；‎ ‎（2）根据表格中数据和回归方程定义分边求出的值，遂可得出所需线性回归方程.‎ ‎（3）根据速度与事故发生次数的线性相关关系采取措施．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）散点图如图所示：‎ ‎（2）由已知可得xi2=33000，xiyi=2660，=80，=6‎ 所以==0.26，‎ ‎=-=6-0.26×80=-14.8‎ 因此，所求的线性回归方程为=0.26x-14.8‎ ‎（3）由（2）所求的回归方程得知，速度与事故发生次数是正相关的，为减少事故，交管部门可在此路段采取限速措施．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性回归方程，属中档题．‎ ‎19．某市统计局就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画出样本的 频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000,‎ ‎1 500))．‎ ‎(1)求居民收入在[3 000,3 500)的频率；‎ ‎(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；‎ ‎(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中按分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2 500,3 000)的这段应抽取多少人？‎ ‎【答案】（1）.‎ ‎(2)2400.‎ ‎(3)25.‎ ‎【解析】试题分析：解 (1)月收入在[3 000,3 500)的频率为0．000 3×(3 500－3‎ ‎ 000)＝0.15.‎ ‎(2)∵0.000 2×(1 500－1 000)＝0.1，‎ ‎0．000 4×(2 000－1 500)＝0.2，‎ ‎0．000 5×(2 500－2 000)＝0.25，‎ ‎0．1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5，‎ ‎∴样本数据的中位数为＝2 000＋400＝2 400(元)．‎ ‎(3)居民月收入在[2 500,3 000)的频数为0.25×10 000＝2 500(人)，再从10 000人中用分层 抽样方法抽出100人，则月收入在[2 500,3 000)的这段应抽取 ‎【考点】抽样方法和中位数 点评：主要是考查了频率和抽样方法，以及中位数的求解，属于基础题。‎ ‎20．求适合下列条件的椭圆的标准方程：‎ ‎（1）长轴长是10，离心率是；‎ ‎（2）在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6．‎ ‎【答案】（1）+=1或+=1；（2）+=1‎ ‎【解析】（1）设出椭圆的方程，根据a，c的值求出b的值，求出椭圆的标准方程即可；‎ ‎（2）设椭圆的标准方程为，a＞b＞0，由已知条件推导出c=b=3，由此能求出椭圆的标准方程．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设椭圆的方程为：+=1（a＞b＞0）或+=1（a＞b＞0），‎ 由已知得：2a=10，a=5，e==，故c=4，‎ 故b2=a2-c2=25-16=9，‎ 故椭圆的方程是：+=1或+=1；‎ ‎（2）设椭圆的标准方程为+=1，a＞b＞0，‎ ‎∵在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，如图所示，‎ ‎∴△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线（高），且OF=c，A1A2=2b，‎ ‎∴c=b=3．∴a2=b2+c2=18．‎ 故所求椭圆的方程为+=1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用,属于基础题．‎ ‎21．2017年10月18日至10月24日，中国共产党第十九次全国代表大会简称党的“十九大”在北京召开一段时间后，某单位就“十九大”精神的领会程度随机抽取100名员工进行问卷调查，调查问卷共有20个问题，每个问题5分，调查结束后，发现这100名员工的成绩都在内，按成绩分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知甲、乙、丙分别在第3，4，5组，现在用分层抽样的方法在第3，4，5组共选取6人对“十九大”精神作深入学习．‎ 求这100人的平均得分同一组数据用该区间的中点值作代表；‎ 求第3，4，5组分别选取的作深入学习的人数；‎ 若甲、乙、丙都被选取对“十九大”精神作深入学习，之后要从这6人随机选取2人再全面考查他们对“十九大”精神的领会程度，求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率．‎ ‎【答案】（1）87.25；（2）3，2，；（3）‎ ‎【解析】（1）利用频率分布直方图的性质能求出这100人的平均得分（2）第3组的人数为30，第4组的人数为20，第5组的人数为10，用分层抽样能求出在这三个组选取的人数（3）记其他人为甲、乙、丙、丁、戊、己，从这6人随机选取2人，利用列举法能写出甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率.‎ ‎【详解】‎ 这100人的平均得分为：‎ ‎.‎ 第3组的人数为，‎ 第4组的人数为，‎ 第5组的人数为，故共有60人，‎ 用分层抽样在这三个组选取的人数分别为：3，2，‎ 记其他人为甲、乙、丙、丁、戊、己，‎ 则所有选取的结果为甲、乙、甲、丙、甲、丁、甲、戊、甲、己、‎ 乙、丙、乙、丁、乙、戊、乙、己 、丙、丁、丙、戊、丙、己、‎ 丁、戊、丁、己 、戊、己共15种情况，‎ 其中甲、乙、丙这3人至多有一人被选取有12种情况，‎ 故甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了频率分布直方图，分层抽样，古典概率，属于中档题.‎ ‎22．已知抛物线x2=4y．‎ ‎（1）求抛物线在点P（2，1）处的切线方程；‎ ‎（2）若不过原点的直线l与抛物线交于A，B两点（如图所示），且OA⊥OB，|OA|=|OB|，求直线l的斜率．‎ ‎【答案】（1）y=x-1; （2）‎ ‎【解析】（1）方法一，利用导数的几何意义即可求出切线方程； 方法二，利用判别式即可求出切线方程； ‎ ‎（2）设直线l方程以及AB两点坐标，根据根与系数的关系，以及相似三角形即可求出．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）方法一：点P（2，1）在抛物线上，即y=x2，‎ ‎∴y′=x，‎ ‎∴切线的斜率k=y′|=×2=1，‎ ‎∴抛物线在点P（2，1）处的切线方程为y=x-1，‎ 方法二：设抛物线在点P（2，1）处的切线方程为y-1=k（x-2），（k＞0），即y=kx+1-2k，‎ 代入到x2=4y，可得x2-4kx+8k-4=0，‎ 由△=16k2-4（8k-4）=0，‎ 解得k=1，‎ ‎∴抛物线在点P（2，1）处的切线方程为y=x-1，‎ ‎（2）设直线l方程为：y=kx+m，（k＞0，m＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 由，消去y得x2-4kx-4m=0，‎ ‎∴x1+x2=4k，x1x2=-4m，‎ ‎∵OA⊥OB，‎ ‎∴•=0，‎ ‎∴x1x2+y1y2=0，‎ ‎∴x1x2+=0，‎ 解得x1x2=-16，或x1x2=0（舍去）‎ ‎∴-4m=-16，‎ ‎∴m=4，‎ 过点A，B两点分别作x轴的垂线，垂足为A1，B1，‎ ‎∵OA⊥OB，‎ ‎∴∠AOB=90°，‎ ‎∵∠AOB+∠AOA1+∠BOB1=180°，‎ ‎∴∠AOA1+∠BOB1=90°，‎ ‎∵∠OBB1+∠BOB1=90°，‎ ‎∴∠AOA1=∠OBB1，‎ ‎∴Rt△AA1O∽Rt△OB1B，‎ ‎∴==，‎ ‎∴y2=-8x1，x22=-32x1，‎ ‎∵x1x2=-16，‎ ‎∴x1=-2，x2=8，‎ ‎∴x1+x2=6=4k，‎ 解得k=，‎ ‎∴直线l的斜率为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的应用和抛物线与直线的关系．考查了学生综合分析和解决问题的能力，属于中档题．‎