2018-2019学年西藏自治区拉萨中学高二第六次月考数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年西藏自治区拉萨中学高二第六次月考数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年西藏自治区拉萨中学高二第六次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明，有5位同学只会用综合法证明，有3位同学只会用分析法证明，现任选1名同学证明这个问题，不同的选法种数有（　　）种．‎ A．8 B．15 C．18 D．30‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题是一个分类计数问题，解决问题分成两个种类，根据分类计数原理知共有3+5＝8种结果．‎ ‎【详解】‎ 由题意知本题是一个分类计数问题，‎ 解决问题分成两个种类，一是可以用综合法证明，有5种方法，‎ 一是可以用分析法来证明，有3种方法，‎ 根据分类计数原理知共有3+5＝8种结果，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分类计数问题，本题解题的关键是看清楚完成这个过程包含两种方法，看出每一种方法所包含的基本事件数，相加得到结果．‎ ‎2．已知为虚数单位，，则在复平面上复数对应的点位于( )‎ A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 ‎【答案】A ‎【解析】利用复数的运算法则化简z，再利用复数的几何意义即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 由题知，则在复平面上复数对应的点为（1，-2），‎ 位于第四象限，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．‎ ‎3．从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除,则得到的结果有(　　)‎ A．6个 B．10个 C．12个 D．16个 ‎【答案】C ‎【解析】利用排列定义即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 从2,3,5,7四个数中任选两个数分别相除,所得结果有=4×3=12个.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查了排列数公式的应用问题，是基础题．‎ ‎4．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由排列组合及简单的计数原理得：不同选法的种数是56，得解．‎ ‎【详解】‎ 每一位同学有5种不同的选择，则6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，‎ 每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是56.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了排列组合及简单的计数问题，属于基础题．‎ ‎5．从5名男生和4名女生中选出4人参加比赛，如果4人中须既有男生又有女生，选法有（　　）种 A．21 B．120 C．60 D．91‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，先计算从9人中选出4人的选法数目，再排除其中“只有男生没有女生的选法”和“只有女生没有男生的选法”，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，从5名男生和4名女生共9人中选出4人去参加辩论比赛，有C94＝126种选法，‎ 其中只有男生没有女生的选法有C54＝5种，只有女生没有男生的选法有C44＝1种，‎ 则4人中既有男生又有女生的不同选法共有126﹣5﹣1＝120种；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列、组合的实际应用，灵活利用间接法，属于基础题．‎ ‎6．从6本不同的书中选出4本，分别发给4个同学，已知其中两本书不能发给甲同学，则不同分配方法有 A．180 B．220 C．240 D．260‎ ‎【答案】C ‎【解析】分两步，第一步，先确定甲分到书，第二步，再确定；另外3人的分到的书，根据分步计数原理可得．‎ ‎【详解】‎ 因为其中两本书不能发给甲同学，所以甲只能从剩下的4本中分一本，然后再选3本分给3个同学，故有．‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分步计数原理及排列问题，属于基础题.‎ ‎7．的展开式中的的系数为（ ）‎ A．1 B． C．11 D．21‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据二项式定理展开即可，可先求出的x3和x5的项.‎ 详解：由题可得的x3项为：，x5项为：，然后和相乘去括号得项为：，故的展开式中的的系数为11，选C.‎ 点睛：考查二项式定理的展开式计算，属于基础题.‎ ‎8．一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为( )．‎ A．8 B．12 C．16 D．24‎ ‎【答案】D ‎【解析】两名女生站一起有种站法，她们与两个男生站一起共有 种站法，老师站在他们的中间有 ＝24种站法，故应选D.‎ ‎9．若且 ‎，则实数m的值为（　　）‎ A．1或﹣3 B．﹣1 C．﹣3 D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】分别令和，即可结合题中条件，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为 令，则；‎ 令则，‎ 又，所以，即，因此，‎ 解得或 .‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项式定理的应用，熟记二项式定理即可求解，属于基础题型.‎ ‎10．函数的部分图像大致为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数的表达式确定函数的性质，运用导数求出极值，从而利用数形结合确定函数的图象的形状．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 函数是偶函数，‎ 的图象关于轴对称，‎ 故排除B，‎ 又，‎ 故排除D.‎ ‎ 在时取最小值，即时取最小值，解得x=，此时 故排除C.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数性质的判断与数形结合的思想应用，同时考查了排除法以及导数在函数极值判断中的应用,属于中档题.‎ ‎11．将正整数排列如图：则图中数2019出现在（　　）‎ A．第44行第84列 B．第45行第84列 C．第44行第83列 D．第45行第83列 ‎【答案】D ‎【解析】经过观察，第n行的最后一个数为n2，令n2≤2019，得n≤44，所以2019在第45行，2019﹣442＝83，故可得2019 的位置．‎ ‎【详解】‎ 依题意，经过观察，第n行的最后一个数为n2，而令n2≤2019得，n≤44，‎ 所以2019在第45行，2019﹣442＝83，所以2019 在第45行，第83列．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的通项，前n项和，考查观察、分析、归纳的能力，属于基础题．‎ ‎12．设0＜m≤2，已知函数，对于任意，都有，则实数m的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，设，求出其导数，得到函数的单调性，结合m的范围分析可得在上为减函数，进而可得函数在上也为减函数，据此求出在 上的最大值与最小值；结合题意分析可得必有，即，变形解可得m的取值范围，即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，设，其导数，‎ 当时，，即函数在上为增函数，‎ 当时，，即函数在上为减函数，‎ 当时，，即函数在上为增函数，‎ 又由，则，则在上，为减函数，‎ 又由，则函数在上也为减函数，‎ 则，，‎ 若对于任意，，都有，则有，‎ 即，‎ 变形可得：，可得：或，‎ 又由，则m的取值范围为；‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎ 二、填空题 ‎13．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项是_____．‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】由题意利用二项式系数的性质求得n的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．‎ ‎【详解】‎ 若展开式的二项式系数之和为64，则 2n＝64，∴n＝6．‎ 则展开式中的通项公式为Tr+1•（﹣1）r•26﹣r•x12﹣3r，令12﹣3r＝0，求得r＝4，‎ 可得常数项为•22＝60，‎ 故答案为：60．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．‎ ‎14．已知有7把椅子摆成一排，现有3人随机就座，那么任何两人不相邻的坐法种数为________.（请用数字作答）‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】利用“插空法“，先把没有人坐的4把椅子排好，形成5个间隔，然后插入有人坐的3把椅子即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 第一步先把没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，共种，即60种坐法.‎ 故答案为：60‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列知识的运用，考查乘法原理，先排空座位，再插入是关键．‎ ‎15．对于大于或等于2的自然数m的n次幂进行如图方式的“分裂”．仿此，52的“分裂”中最大的数是______，若m3的“分裂”中最小的数是211，则m的值为______．‎ ‎【答案】9 15 ‎ ‎【解析】根据所给的数据，不难发现：在n2中所分解的最大的数是2n-1；在n3中，所分解的最小数是n2-n+1．再根据发现的规律求结果．‎ ‎【详解】‎ 解：根据所给的数据，不难发现：在n2中所分解的最大的数是2n-1；在n3中，所分解的最小数是n2-n+1． ‎ 根据发现的规律可求52分裂中，最大数是5×2-1=9； ‎ 若m3的“分裂”中最小数是211，则n2-n+1=211 ‎ n=15或-14（负数舍去）． ‎ 故答案为：9；15．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查归纳推理，考查综合分析与判断能力，属中档题.‎ ‎16．已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】，令函数有两个极值点，则在区间上有两个实数根，，当时，，则函数在区间单调递增，因此在区间上不可能有两个实数根，应舍去，当时，令，解得，令，解得，此时函数单调递增，令，解得，此时函数单调递减，当时，函数取得极大值，当近于与近于时，，要使在区间有两个实数根，则，解得实数的取值范围是，故答案为.‎ 三、解答题 ‎17．已知复数（其中且为虚数单位），且为纯虚数．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若，求复数的模．‎ ‎【答案】（1）2；（2）2．‎ ‎【解析】【详解】试题分析：（1）直接把代入化简，再根据为纯虚数，且 求解即可得答案； （2）直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案.‎ 试题解析：（1）,因为为纯虚数，所以，解得：． ‎ ‎（2），，‎ ‎．‎ ‎18．已知，函数．‎ ‎（1）当时，求函数在上的最值；‎ ‎（2）若函数在上单调递增，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1)见解析；(2)a≥ .‎ ‎【解析】(1) 当a＝2时，求得函数的导数，利用导数得出函数的单调性，即可求解函数的最值；‎ ‎(2)根据函数f(x)在(－1,1)上单调递增，转化为在(－1,1)上恒成立，再利用分离参数，转化为函数的最值问题，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎(1) 当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，f′(x)＝(－x2＋2)ex.‎ 令f′(x)=0，则x=－或x=‎ 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：‎ x ‎0‎ ‎(0， )‎ ‎(，2)‎ ‎2‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ f(0)=0‎ ‎↗‎ 极大值f()‎ ‎↘‎ f(2)=0‎ 所以，f(x)max= f()=(-2+2),f(x)min= f(0)=0.‎ ‎(2)因为函数f(x)在(－1,1)上单调递增，所以f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立．‎ 又f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0，注意到ex>0，‎ 因此－x2＋(a－2)x＋a≥0在(－1,1)上恒成立，‎ 也就是a≥＝x＋1－在(－1,1)上恒成立．‎ 设y＝x＋1－，则y′＝1＋>0，‎ 即y＝x＋1－在(－1,1)上单调递增，‎ 则y<1＋1－＝，故a≥.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．‎ ‎19．已知函数及函数g（x）＝﹣bx（a，b，c∈R），若a＞b＞c且a+b+c＝0．‎ ‎（1）证明：f（x）的图象与g（x）的图象一定有两个交点；‎ ‎（2）请用反证法证明：；‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】(1)根据判别式大于零论证结果，(2)先假设，再根据假设推出矛盾，否定假设即得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明由得 ① ‎ ‎∵,∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∴①有两个不相等的实数根，即两函数图像一定由两个交点,‎ ‎（2）证明：若结论不成立，则≤-2或≥-‎ ‎（I）由≤-2，结合（1）a>0，得c≤-2a，即a+c≤-a，∴-b≤-a ‎ ∴a≤b 这与条件中a>b矛盾 ‎（II）再由≥-，得2c≥-a，即c≥-(a+c)=b ‎∴b≤c 这与条件中b>c矛盾 ‎ 故假设不成立，原不等式成立 ‎【点睛】‎ 本题考查反证法与函数与方程，考查基本分析论证能力，属中档题.‎ ‎20．已知函数，．‎ Ⅰ讨论函数在定义域上的单调性；‎ Ⅱ当时，求证：恒成立．‎ ‎【答案】Ⅰ见解析；（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】Ⅰ求出函数导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；Ⅱ代入a的值，令，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，，从而证明结论．‎ ‎【详解】‎ Ⅰ，‎ 当时，，在递减，‎ 当时，时，，‎ 时，，‎ 故在递减，在递增.‎ Ⅱ当时，，‎ 令，‎ 则，‎ 令，解得：，‎ 令，解得：，‎ 故在递减，在递增，‎ 故，显然成立，‎ 故恒成立．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．‎ ‎21．已知函数在x与x＝1时都取得极值．‎ ‎（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1），递增区间是（﹣∞，）和（1，+∞），递减区间是（，1）；（2）或 ‎【解析】（1）求出f（x），由题意得f（）＝0且f（1）＝0联立解得与b的值，然后把、b的值代入求得f（x）及f（x），讨论导函数的正负得到函数的增减区间；‎ ‎（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈[﹣1，2]恒成立求出函数的最大值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范围即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），f（x）＝3x2+2ax+b 由解得，‎ f（x）＝3x2﹣x﹣2＝（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：‎ x ‎（﹣∞，）‎ ‎ ‎ ‎（，1）‎ ‎1‎ ‎（1，+∞）‎ f（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎﹣‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ ‎↑‎ 极大值 ‎↓‎ 极小值 ‎↑‎ 所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，）和（1，+∞），递减区间是（，1）．‎ ‎（2）因为，根据（1）函数f（x）的单调性，‎ 得f（x）在（﹣1，）上递增，在（，1）上递减，在（1，2）上递增，‎ 所以当x时，f（x）为极大值，而f（2）＝，所以f（2）＝2+c为最大值．‎ 要使f（x）＜对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需＞f（2）＝2+c．‎ 解得c＜﹣1或c＞2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题．‎ ‎22．已知函数．‎ ‎（1）当时，直线与相切，求的值；‎ ‎（2）若函数在内有且只有一个零点，求此时函数的单调区间；‎ ‎（3）当时，若函数在上的最大值和最小值的和为1，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）； （2）单调递增区间为，,单调递减区间为； （3）.‎ ‎【解析】（1）由求出切点坐标，代入切线方程即可得结果；（2）先证明当时不合题意，当时，根据单调性可得，要使函数在内有且只有一个零点，则须，求得，进而可得结果；（3）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，极大值为，极小值为，且,，分类讨论求出最大值与最小值，解方程即可得结果. ‎ ‎.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）,‎ 则,所以，，‎ 当，所以，解得. ‎ ‎（2），‎ 由，得到，， ‎ 当时，在区间上恒成立，‎ 即函数在区间上单调递增，‎ 又因为函数的图象过点，即，‎ 所以函数在内没有零点，不合题意， ‎ 当时，由得，即函数在区间上单调递增，‎ 由得，即函数在区间在上单调递减， ‎ 且过点，要使函数在内有且只有一个零点，则须，‎ 即，解得， ‎ 综上可得函数在内有且只有一个零点时，‎ 此时函数的单调递增区间为，,单调递减区间为.‎ ‎（3）当时，函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 此时函数有两个极值点，极大值为，极小值为，‎ 且,. ‎ ‎①当即时，在上单调递增，在上单调递减，，‎ 又即 ‎ 所以，解得（舍）.‎ ‎②当即时，在上单调递增，在上单调递减，‎ 在上单调递增 即，所以. ‎ 若，即时，，所以，‎ 解得（舍）. ‎ 若，即时，，所以，‎ 解得.‎ 综上，.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的几何意义以及利用导数判断函数的单调性、求函数的极值与最值，属于难题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小.‎