数学卷·2018届四川省成都市龙泉中学、温江中学等五校联考高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届四川省成都市龙泉中学、温江中学等五校联考高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年四川省成都市龙泉中学、温江中学等五校联考高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是（　　）‎ A．（1，0，0） B．（1，0，1） C．（1，1，1） D．（1，1，0）‎ ‎2．双曲线=1的渐近线方程是（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x ‎3．与直线l：3x﹣5y+4=0关于原点对称的直线的方程为（　　）‎ A．3x+5y+4=0 B．3x﹣5y﹣4=0 C．5x﹣3y+4=0 D．5x+3y+4=0‎ ‎4．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的最大值和最小值分别为（　　）‎ A．3，﹣11 B．﹣3，﹣11 C．11，﹣3 D．11，3‎ ‎5．设点A（﹣2，3），B（3，2），若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点，则a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣]∪[，+∞） B．（﹣，） C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）‎ ‎6．已知圆（x+2）2+y2=36的圆心为M，设A为圆上任一点，N（2，0），线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（　　）‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 ‎7．如果椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（　　）‎ A．x﹣2y=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+3y﹣12=0 D．x+2y﹣8=0‎ ‎8．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　）‎ A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣‎ ‎9．点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．以下四个关于圆锥曲线的命题中：‎ ‎①双曲线与椭圆有相同的焦点；‎ ‎②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的；‎ ‎③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|﹣|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；‎ ‎④过定圆C上一点A作圆的动弦AB，O为原点，若则动点P的轨迹为椭圆．其中正确的个数是（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎11．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（　　）‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎12．已知圆C的方程（x﹣1）2+y2=1，P是椭圆=1上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，则的取值范围为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）‎ ‎13．若三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，则x=　　．‎ ‎14．不论k为何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是　　．‎ ‎15．已知直线L经过点P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦长为8，则直线L的方程是　　．‎ ‎16．已知A（1，2），B（﹣1，2），动点P满足，若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知直线l1：2x+y+2=0，l2：mx+4y+n=0‎ ‎（1）若l1⊥l2，求m的值，；‎ ‎（2）若l1∥l2，且它们的距离为，求m、n的值．‎ ‎18．某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载若干件新产品A、B，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体搭载安排，有关数据如下表：‎ 每件产品A 每件产品B 研制成本、搭载 费用之和（万元）‎ ‎20‎ ‎30‎ 计划最大资金额 ‎300万元 产品重量（千克）‎ ‎10‎ ‎5‎ 最大搭载重量110千克 预计收益（万元）‎ ‎80‎ ‎60‎ 分别用x，y表示搭载新产品A，B的件数．总收益用Z表示 ‎（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎（Ⅱ）问分别搭载新产品A、B各多少件，才能使总预计收益达到最大？并求出此最大收益．‎ ‎19．已知圆心在直线y=4x上，且与直线l：x+y﹣2=0相切于点P（1，1）．‎ ‎（Ⅰ）求圆的方程；‎ ‎（II）直线kx﹣y+3=0与该圆相交于A、B两点，若点M在圆上，且有向量（O为坐标原点），求实数k．‎ ‎20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），上的点M（1，m）到其焦点F的距离为2，‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；并求其准线方程；‎ ‎（II）已知A （1，﹣2），是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎21．已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1、F2，离心率，P为椭圆E上的任意一点（不含长轴端点），且△PF1F2面积的最大值为1．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直x﹣y+m=0与椭圆E交于不同的两点A，B，且线AB的中点不在圆内，求m的取值范围．‎ ‎22．如图，O为坐标原点，椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：﹣=1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2，已知e1e2=，且|F2F4|=﹣1．‎ ‎（Ⅰ）求C1、C2的方程；‎ ‎（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年四川省成都市龙泉中学、温江中学等五校联考高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是（　　）‎ A．（1，0，0） B．（1，0，1） C．（1，1，1） D．（1，1，0）‎ ‎【考点】空间中的点的坐标．‎ ‎【分析】由正方体的棱长为1，结合题中的坐标系求出点B1在x轴、y轴、z轴上射影点的坐标，即可得到点B1的坐标．‎ ‎【解答】解：根据题意，可得 ‎∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，‎ ‎∴点B1在x轴上的射影点为A（1，0，0），可得B1的横坐标为1；点B1在y轴上的射影点为C（0，1，0），‎ 可得B1的纵坐标为1；点B1在z轴上的射影点为D1（0，0，1），可得B1的竖坐标为1．‎ 由此可得点B1的坐标是（1，1，1）．‎ 故选：C ‎　‎ ‎2．双曲线=1的渐近线方程是（　　）‎ A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线的渐近线方程的求法，直接求解即可．‎ ‎【解答】解：双曲线的渐近线方程是，即．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．与直线l：3x﹣5y+4=0关于原点对称的直线的方程为（　　）‎ A．3x+5y+4=0 B．3x﹣5y﹣4=0 C．5x﹣3y+4=0 D．5x+3y+4=0‎ ‎【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．‎ ‎【分析】令坐标（x，y）关于原点对称为（﹣x，﹣y），带入直线方程可得答案．‎ ‎【解答】解：直线l：3x﹣5y+4=0关于原点对称，‎ 设坐标（x，y）是所求直线方程上的点，‎ 那么：坐标（x，y）关于原点对称为（﹣x，﹣y）在直线l上，‎ 则有：﹣3x+5y+4=0，‎ 化简可得：3x﹣5y﹣4=0．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣4y的最大值和最小值分别为（　　）‎ A．3，﹣11 B．﹣3，﹣11 C．11，﹣3 D．11，3‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】①作出可行域②z为目标函数纵截距负四倍③画直线3x﹣4y=0，平移直线观察最值．‎ ‎【解答】解：作出满足约束条件的可行域，如右图所示，‎ 可知当直线z=3x﹣4y平移到点（5，3）时，‎ 目标函数z=3x﹣4y取得最大值3；‎ 当直线z=3x﹣4y平移到点（3，5）时，‎ 目标函数z=3x﹣4y取得最小值﹣11，故选A．‎ ‎　‎ ‎5．设点A（﹣2，3），B（3，2），若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点，则a的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣]∪[，+∞） B．（﹣，） C．[﹣，] D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）‎ ‎【考点】两条直线的交点坐标．‎ ‎【分析】直线ax+y+2=0过定点（0，﹣2），直线ax+y+2=0与线段AB没有交点转化为过定点（0，﹣2）的直线与线段AB无公共点，作出图象，由图求解即可．‎ ‎【解答】解：直线ax+y+2=0恒过点M（0，﹣2），‎ 且斜率为﹣a，‎ ‎∵kMA==﹣，‎ kMB==，‎ 由图可知：﹣a＞﹣且﹣a＜，‎ ‎∴a∈（﹣，），‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．已知圆（x+2）2+y2=36的圆心为M，设A为圆上任一点，N（2，0），线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是（　　）‎ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】根据线段AN的垂直平分线交MA于点P可知|PA|=|PN|，进而可知PM|+|PA|=6，根据椭圆的定义可知点P的轨迹为椭圆．‎ ‎【解答】解：∵|PA|=|PN|，∴|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|MA|=6＞|MN|．‎ 故动点P的轨迹是椭圆．‎ 故选B ‎　‎ ‎7．如果椭圆+=1的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（　　）‎ A．x﹣2y=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+3y﹣12=0 D．x+2y﹣8=0‎ ‎【考点】椭圆的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】设这条弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则，两式相减再变形得，又由弦中点为（4，2），可得k=，由此可求出这条弦所在的直线方程．‎ ‎【解答】解：设这条弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k，‎ 则，‎ 两式相减再变形得 又弦中点为（4，2），故k=，‎ 故这条弦所在的直线方程y﹣2=（x﹣4），整理得x+2y﹣8=0；‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎8．一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　）‎ A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣‎ ‎【考点】圆的切线方程；直线的斜率．‎ ‎【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），‎ 故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．‎ ‎∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，‎ ‎∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1，‎ 化为24k2+50k+24=0，‎ ‎∴k=或﹣．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．点A是抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：（a＞0，b＞0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线C2的离心率等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】先根据条件求出店A的坐标，再结合点A到抛物线C1的准线的距离为p；得到 =，再代入离心率计算公式即可得到答案．‎ ‎【解答】解：取双曲线的其中一条渐近线：y=x，‎ 联立⇒；‎ 故A（，）．‎ ‎∵点A到抛物线C1的准线的距离为p，‎ ‎∴+=p；‎ ‎∴=．‎ ‎∴双曲线C2的离心率e===．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．以下四个关于圆锥曲线的命题中：‎ ‎①双曲线与椭圆有相同的焦点；‎ ‎②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的；‎ ‎③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|﹣|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；‎ ‎④过定圆C上一点A作圆的动弦AB，O为原点，若则动点P的轨迹为椭圆．其中正确的个数是（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【考点】曲线与方程．‎ ‎【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：①双曲线的焦点坐标为（±5，0），‎ 椭圆的焦点坐标为（±5，0），‎ 所以双曲线与椭圆有相同的焦点，正确；‎ ‎②不妨设抛物线为标准抛物线：y2=2px （p＞0 ），即抛物线位于Y轴的右侧，以X轴为对称轴． ‎ 设过焦点的弦为PQ，PQ的中点是M，M到准线的距离是d．‎ 而P到准线的距离d1=|PF|，Q到准线的距离d2=|QF|．‎ 又M到准线的距离d是梯形的中位线，故有d=，‎ 由抛物线的定义可得： ==半径．‎ 所以圆心M到准线的距离等于半径，‎ 所以圆与准线是相切，正确．‎ ‎③平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数k（k＜|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，‎ 当0＜k＜|AB|时是双曲线的一支，当k=|AB|时，表示射线，所以不正确；‎ ‎④设定圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，点A（m，n），P（x，y），‎ 由则可知P为AB的中点，则B（2x﹣m，2y﹣n），‎ 因为AB为圆的动弦，所以B在已知圆上，‎ 把B的坐标代入圆x2+y2+Dx+Ey+F=0得到P的轨迹仍为圆，‎ 当B与A重合时AB不是弦，所以点A除外，所以不正确．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（　　）‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎【考点】点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】设出抛物线上一点P的坐标，然后利用点到直线的距离公式分别求出P到直线l1和直线l2的距离d1和d2，求出d1+d2，利用二次函数求最值的方法即可求出距离之和的最小值．‎ ‎【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=﹣1的距离d2=a2+1；‎ P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离d1=‎ 则d1+d2=a2+1=‎ 当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2‎ 故选B ‎　‎ ‎12．已知圆C的方程（x﹣1）2+y2=1，P是椭圆=1上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，则的取值范围为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由圆切线的性质，即与圆心切点连线垂直设出一个角，通过解直角三角形求出PA，PB的长；利用向量的数量积公式表示出，利用三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元，再利用基本不等式求出最值．‎ ‎【解答】解：设PA与PB的夹角为2α，‎ 则|PA|=PB|=，‎ ‎∴y==||||cos2α=•cos2α ‎=•cos2α．‎ 记cos2α=u，则y==﹣3+（1﹣u）+≥2﹣3，‎ ‎∵P在椭圆的左顶点时，sinα=，∴cos2α=，‎ ‎∴的最大值为=，‎ ‎∴的范围为[2﹣3，]，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）‎ ‎13．若三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，则x=　3　．‎ ‎【考点】向量的共线定理．‎ ‎【分析】三点共线等价于以三点为起点终点的两个向量共线，利用向量坐标公式求出两个向量的坐标，利用向量共线的充要条件列出方程求出x．‎ ‎【解答】解：三点P（1，1），A（2，﹣4），B（x，﹣9）共线，‎ ‎，，‎ ‎⇒1×（﹣10）=﹣5（x﹣1）⇒x=3‎ 故答案为3‎ ‎　‎ ‎14．不论k为何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是　（2，3）　．‎ ‎【考点】恒过定点的直线．‎ ‎【分析】直线方程即 k（2x+y﹣1）+（﹣x+3y+11）=0，一定经过2x﹣y﹣1=0和﹣x﹣3y+11=0 的交点，联立方程组可求定点的坐标．‎ ‎【解答】解：直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0 ‎ 即 k（2x﹣y﹣1）+（﹣x﹣3y+11）=0，‎ 根据k的任意性可得，‎ 解得，‎ ‎∴不论k取什么实数时，直线（2k﹣1）x+（k+3）y﹣（k﹣11）=0都经过一个定点（2，3）．‎ 故答案为：（2，3）．‎ ‎　‎ ‎15．已知直线L经过点P（﹣4，﹣3），且被圆（x+1）2+（y+2）2=25截得的弦长为8，则直线L的方程是　x=﹣4和4x+3y+25=0　．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离、半径、半弦长满足勾股定理，求出弦心距，通过直线的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离求解，求出直线的方程即可．‎ ‎【解答】解：圆心（﹣1，﹣2），半径r=5，弦长m=8‎ 设弦心距是d 则由勾股定理 r2=d2+（）2‎ d=3‎ 若l斜率不存在，是x=﹣4‎ 圆心和他距离是﹣3，符合 y+3=k（x+4）‎ kx﹣y+4k﹣3=0‎ 则d==3‎ ‎9k2﹣6k+1=9k2+9‎ k=﹣所以x+4=0和4x+3y+25=0‎ 故答案为：x=﹣4和4x+3y+25=0‎ ‎　‎ ‎16．已知A（1，2），B（﹣1，2），动点P满足，若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是　（1，2）　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设P（x，y），由动点P满足AP⊥BP，即有x2+（y﹣2）2=1，求出双曲线的渐近线方程，运用圆心到直线的距离大于半径，得到3a2＞b2，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到范围．‎ ‎【解答】解：设P（x，y），由于点A（1，2）、B（﹣1，2），‎ 动点P满足，‎ 则（x﹣1，y﹣2）•（x+1）（y﹣2）=0，‎ 即（x﹣1）（x+1）+（y﹣2）2=0，‎ 即有x2+（y﹣2）2=1，‎ 设双曲线﹣=1的一条渐近线为y=x，‎ 由于这条渐近线与动点P的轨迹没有公共点，‎ 则d=＞1，‎ 即有3a2＞b2，由于b2=c2﹣a2，‎ 则c2＜4a2，即c＜2a，则e=＜2，‎ 由于e＞1，则有1＜e＜2．‎ 故答案为：（1，2）．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．已知直线l1：2x+y+2=0，l2：mx+4y+n=0‎ ‎（1）若l1⊥l2，求m的值，；‎ ‎（2）若l1∥l2，且它们的距离为，求m、n的值．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；两条平行直线间的距离．‎ ‎【分析】（1）求出直线的斜率，根据直线垂直的关系，得到关于m的方程，求出m的值即可；（2）根据直线平行，求出m的值，根据点到直线的距离求出n的值即可．‎ ‎【解答】解：（1）直线l1：y=﹣2x﹣2，斜率是﹣2，‎ 直线l2：y=﹣x﹣，斜率是：﹣，‎ 若l1⊥l2，则﹣2•（﹣）=﹣1，解得：m=﹣2；‎ ‎（2）若l1∥l2，则﹣2=﹣，解得：m=8，‎ ‎∴直线l1：y=﹣2x﹣2，直线l2：y=﹣2x﹣，‎ 在直线l1上取点（0，﹣2），‎ 则（0，﹣2）到l2的距离是：‎ d==，‎ 解得：n=28或﹣12．‎ ‎　‎ ‎18．某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载若干件新产品A、B，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体搭载安排，有关数据如下表：‎ 每件产品A 每件产品B 研制成本、搭载 费用之和（万元）‎ ‎20‎ ‎30‎ 计划最大资金额 ‎300万元 产品重量（千克）‎ ‎10‎ ‎5‎ 最大搭载重量110千克 预计收益（万元）‎ ‎80‎ ‎60‎ 分别用x，y表示搭载新产品A，B的件数．总收益用Z表示 ‎（Ⅰ）用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；‎ ‎（Ⅱ）问分别搭载新产品A、B各多少件，才能使总预计收益达到最大？并求出此最大收益．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由题意，列出关于x，y的不等式组，由不等式组得到平面区域即可；‎ ‎（Ⅱ）列出目标函数，根据（Ⅰ）的约束条件以及可行域，结合目标函数的几何意义求最大值即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）解：由已知x，y满足的数学关系式为，且x∈N，y∈N，‎ 该二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分．…‎ ‎（Ⅱ）解：设最大收益为z万元，则目标函数z=80x+60y．‎ 作出直线la：4x+3y=0并平移，由图象知，‎ 当直线经过M点时，z能取到最大值，‎ 由解得且满足x∈N，y∈N，即M（9，4）是最优解，‎ 所以zmax=80×9+60×4=960（万元），‎ 答：搭载A产品9件，B产品4件，能使总预计收益达到最大值，最大预计收益为960万元．…‎ ‎　‎ ‎19．已知圆心在直线y=4x上，且与直线l：x+y﹣2=0相切于点P（1，1）．‎ ‎（Ⅰ）求圆的方程；‎ ‎（II）直线kx﹣y+3=0与该圆相交于A、B两点，若点M在圆上，且有向量（O为坐标原点），求实数k．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出圆心与半径，即可求圆的方程；‎ ‎（II）直线与圆联立：得：（1+k2）x2+6kx+7=0，利用韦达定理，M代入圆方程：，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣4a）2=r2‎ 因为直线相切，圆心到直线的距离，且圆心与切点连线与直线l垂直 可得a=0，r=，所以圆的方程为：x2+y2=2…‎ ‎（II）直线与圆联立：得：（1+k2）x2+6kx+7=0，‎ ‎△=8k2﹣28＞0，解得．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），，‎ M代入圆方程：，求得k=…‎ ‎　‎ ‎20．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），上的点M（1，m）到其焦点F的距离为2，‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；并求其准线方程；‎ ‎（II）已知A （1，﹣2），是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】（I）由抛物线的定义可知：|MF|=1﹣（﹣）=2，解得p=2，则抛物线方程可得，进而根据抛物线的性质求得其准线方程．‎ ‎（II）先假设存在符合题意的直线，设出其方程，与抛物线方程联立，根据直线与抛物线方程有公共点，求得t的范围，利用直线AO与L的距离，求得t，则直线l的方程可得．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，‎ 由抛物线的定义可知：|MF|=1﹣（﹣）=2，解得p=2，‎ 因此，抛物线C的方程为y2=4x；其准线方程为x=﹣1．…‎ ‎（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=﹣2x+t，（OA的方程为：y=﹣2x）‎ 由，得y2+2 y﹣2 t=0．…‎ 因为直线l与抛物线C有公共点，所以得△=4+8 t，解得t≥﹣1/2．…‎ 另一方面，由直线OA与l的距离d=，可得，解得t=±1．…‎ 因为﹣1∉[﹣，+∞），1∈[﹣，+∞），所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x+y﹣1=0．…‎ ‎　‎ ‎21．已知椭圆E：的左、右焦点分别为F1、F2，离心率，P为椭圆E上的任意一点（不含长轴端点），且△PF1F2面积的最大值为1．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）已知直x﹣y+m=0与椭圆E交于不同的两点A，B，且线AB的中点不在圆内，求m的取值范围．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由已知列关于a，b，c的方程，联立方程求得a，b的值，则椭圆方程可求；‎ ‎（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，利用一元二次方程的根与系数的关系求得AB的中点坐标，再由AB的中点不在圆内结合判别式可得m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由，得，‎ 又a2=b2+c2，且，‎ 联立解得：，c=1．‎ ‎∴椭圆的标准方程为；‎ ‎（Ⅱ）联立，消去y整理得：3x2+4mx+2m2﹣2=0．‎ 则△=16m2﹣12（2m2﹣2）=8（﹣m2+3）＞0，解得．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则，‎ ‎，即AB的中点为（）．‎ 又AB的中点不在圆内，‎ ‎∴，解得：m≤﹣1或m≥1．‎ 综上可知，或1．‎ ‎　‎ ‎22．如图，O为坐标原点，椭圆C1： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：﹣=1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2，已知e1e2=，且|F2F4|=﹣1．‎ ‎（Ⅰ）求C1、C2的方程；‎ ‎（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．‎ ‎【考点】圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由斜率公式写出e1，e2，把双曲线的焦点用含有a，b的代数式表示，结合已知条件列关于a，b的方程组求解a，b的值，则圆锥曲线方程可求；‎ ‎（Ⅱ）设出AB所在直线方程，和椭圆方程联立后得到关于y的一元二次方程，由根与系数的关系得到AB中点M的坐标，并由椭圆的焦点弦公式求出AB的长度，写出PQ的方程，和双曲线联立后解出P，Q的坐标，由点到直线的距离公式分别求出P，Q到AB的距离，然后代入代入三角形面积公式得四边形APBQ的面积，再由关于n的函数的单调性求得最值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，，且．‎ ‎∵e1e2=，且|F2F4|=﹣1．‎ ‎∴，且．‎ 解得：．‎ ‎∴椭圆C1的方程为，双曲线C2的方程为；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F1（﹣1，0）．‎ ‎∵直线AB不垂直于y轴，‎ ‎∴设AB的方程为x=ny﹣1，‎ 联立，得（n2+2）y2﹣2ny﹣1=0．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），‎ 则，．‎ 则 ‎==．‎ ‎∵M在直线AB上，‎ ‎∴．‎ 直线PQ的方程为，‎ 联立，得．‎ 解得，代入得．‎ 由2﹣n2＞0，得﹣＜n＜．‎ ‎∴P，Q的坐标分别为，‎ 则P，Q到AB的距离分别为：，．‎ ‎∵P，Q在直线A，B的两端，‎ ‎∴．‎ 则四边形APBQ的面积S=|AB|．‎ ‎∴当n2=0，即n=0时，四边形APBQ面积取得最小值2．‎ ‎　‎ ‎2016年12月9日