2020学年高二数学上学期第二次阶段性考试试题 理（含解析）

2020学年高二数学上学期第二次阶段性考试试题 理（含解析）

‎2017～2019年度高二年级第一学期第二次阶段检测 数学试卷（理科）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是( )‎ A. B. C. D. a|c|>b|c|‎ ‎【答案】C ‎【解析】A．取a=1，b=﹣2，则不成立；‎ B．取a=1，b=﹣2，则a2＞b2不成立；‎ C．∵a＞b，c2+1＞0，∴，成立．‎ D．取c=0时，a|c|＞b|c|不成立．．‎ 故选：C．‎ ‎2. 已知p:，q： >O，则p是g的( )‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】由得x2﹣3x＞4，即x2﹣3x﹣4＞0，得x＞4或x＜﹣1，即p：x＞4或x＜﹣1，‎ 由得：x＞4或x＜﹣1，即q：x＞4或x＜﹣1，‎ 则p是q的充要条件，‎ 故选：C ‎3. 下列说法正确的是( )‎ A. ，yR，若x+y0，则x且y B. aR，“”是“a>1”的必要不充分条件 C. 命题“aR，使得”的否定是“R，都有”‎ D. “若，则a1，y>1，且lgx，2，lg y成等差数列，则x+y有（ ）‎ A. 最小值20 B. 最小值200 C. 最大值20 D. 最大值200‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：由题意可知： ，且： ，‎ 由均值不等式有： ，当且仅当 时等号成立.‎ 本题选择B选项.‎ ‎5. 在等差数列{}中，若a3，a7是函数f(x)=的两个零点，则{}的前9项和等于（ ）‎ A. -18 B. 9 C. 18 D. 36‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵等差数列{an}中，a3，a7是函数f（x）=x2﹣4x+3的两个零点，‎ ‎∴a3+a7=4，‎ ‎∴{an}的前9项和S9=．‎ 故选：C．‎ ‎6. 设点(a,b)为区域 内任意一点，则使函数f(x)=在区间[，+）上是增函数的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示：‎ - 14 -‎ 若f（x）=在区间[，+）上是增函数，‎ 则，即，‎ 则A（0，4），B（4，0），由得，‎ 即C（，），‎ 则△OBC的面积S==．‎ ‎△OAB的面积S=．‎ 则使函数f(x)=在区间[，+）上是增函数的概率为P==，‎ 故选：A．‎ ‎7. 祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积问题，意思是两个等高的几何体，如在同高处的截面积恒相等，则体积相等，设A，B为两个等高的几何体，p：A,B的体积相等，q：A,B在同高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，q是-p的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】的体积相等，在同高处的截面积相等，由于A、B体积相等，A、B在同高处的截面积不恒相等，譬如一个为柱体另一个为椎体，所以条件不充分；反之成立，条件是必要的，因此是的必要不充分条件.选B.‎ - 14 -‎ ‎8. 已知等比数列{}中， =2，则其前三项的和的取值范围是( )‎ A. (-，-2] B. ( -,0)(1,+∞) C. [6, +) D. (-,-2][6，+)‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵等比数列{an}中，a2=2，设公比为,‎ ‎∴其前三项和S3=，‎ 当q＞0时，S3= ≥2+2=6；‎ 当q＜0时，S3=≤2﹣2=2﹣4=﹣2．‎ ‎∴其前三项和S3的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．‎ 故选：D．‎ 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误 ‎9. 已知一元二次方程x2+(1+a)x+a+b+1=0的两个实根为x1，x2，且01,则的取值范围是( )‎ A. （—2，一） B. （—2，一） C. （一1，一） D. （一1，一）‎ ‎【答案】A ‎【解析】由方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的二次项系数为1＞0，‎ 故函数f（x）=x2+（1+a）x+1+a+b图象开口方向朝上，‎ 又∵方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜1＜x2，‎ 代入方程可得：‎ 其对应的平面区域如下图阴影示：‎ - 14 -‎ 表示阴影区域上一点与原点边线的斜率，‎ 由图可知，‎ 故选：A．‎ 点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎10. 已知|| =3，A，B分别在x轴和yp轴上运动，O为原点，，则点P的轨迹方程为( )．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设动点P坐标为P（x，y），A（a，0），B（0，b），‎ ‎........................‎ ‎∴a=3x．b=y，‎ ‎∵|| =3，∴a2+b2=9，‎ ‎∴，‎ - 14 -‎ 即．‎ 故选：A．‎ ‎11. 如图，在直角坐标系xoy中，其中A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1),图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动.若，其中，则 的取值范围是（ ）‎ A. [2,3+] B. [2,3+] C. [3-, 3+] D. [3-, 3+]‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 以A为坐标原点，AB为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系则 A（0，0），D（0，1），C（1，1），B（2，0）‎ 直线BD的方程为x+2y﹣2=0，C到BD的距离d=；‎ ‎∴以点C为圆心，以为半径的圆方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=，‎ 设P（m，n）则 =（m，n），=（2，0），=（﹣1，1）；‎ ‎∴（m，n）=（2x﹣y，y）‎ ‎∴m=2x﹣y，n=y，‎ ‎∵P在圆内或圆上 ‎∴（2x﹣y﹣1）2+（y﹣1）2≤，‎ 设4x﹣y=t，则y=4x﹣t，代入上式整理得 ‎80x2﹣（48t+16）x+8t2+7≤0，‎ - 14 -‎ 设f（x）=80x2﹣（48t+16）x+8t2+7，x∈[，]，‎ 则，‎ 解得2≤t≤3+，‎ ‎∴4x﹣y的取值范围是[2，3+]．‎ 故选：B．‎ ‎12. 已知函数f(x)= （a为常数），对于定义域内的任意两个实数x1,x2，恒有|f(x1)-f(x2)|<1成立，则正整数a可以取的值有（ ）个 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意,=cosα,=sinα(α∈[0,],f(x)=cosα+sinα=sin(α +)，‎ 从而有f(x)max= ,f(x)min=,∴ −<1解得a<3+2,∵a∈N∗，∴a=1，2，3，4，5，‎ 故选B.‎ 点睛：本题巧用了三角换元的方法，把函数的最值转化为三角函数的最值问题，对于定义域内的任意两个实数x1,x2，恒有|f(x1)-f(x2)|<1成立等价于,所以本题的关键是如何求函数的最值.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13. 命题：“若ab=0，则a=0或b=0”的逆命题是 ______.‎ ‎【答案】若a≠0且b≠0，则ab≠0‎ ‎【解析】“若ab=0，则a=0或b=0”的逆否命题是：若a≠0且b≠0，则ab≠0‎ ‎14. 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知A为钝角，且2a，若，则△ABC的面积的最大值为 ______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵a，‎ ‎∴由正弦定理可得：2sinAsinA=(sinCcoB+sinBcosC)=sin(B+C)=sinA，‎ ‎∵A为钝角，sinA>0，‎ - 14 -‎ ‎∴sinA=,可得：cosA=−，‎ ‎∴由余弦定理可得：a2=b2+c2+bc，①‎ ‎∵，②‎ ‎∴由①②联立可得：b+c=2,可得：b+c=2⩾2,(当且仅当b=c时等号成立)，可得：bc⩽1，‎ ‎∴S△ABC=bcsinA⩽×1×=.‎ 故答案为：.‎ 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.‎ ‎15. 已知函数f(x)=，若正数a，b满足f(4a)+f(b-9)=0，则的最小值为 ______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可知：f(x)=为奇函数且单调递增 由f(4a)+f(b-9)=0可得：4a+ b-9=0‎ 即4a+ b=9，又a，b均为正数，‎ ‎∴‎ ‎∴的最小值为1‎ 故答案为：1‎ ‎16. 已知函数f(x)=，若对任意xR，f[f(x)]恒成立，则实数a的取值范围是 ______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当a=0时,函数f(x)=2x+1,f[f(x)]=4x+3，‎ 不满足对任意x∈R,f[f(x)]⩾0恒成立，‎ 当a>0时,f(x)⩾=1−，‎ - 14 -‎ 解a−+1⩾0得：a⩽,或a⩾，‎ 故a⩾，‎ 当a<0时,f(x)⩽=1−，‎ 不满足对任意x∈R,f[f(x)]⩾0恒成立，‎ 综上可得：a⩾‎ 故答案为：a⩾‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 已知命题p：和命题q：方程有两个不等的负实根，若p∨q为真，p∧q为假，求实数c的取值范围.‎ ‎【答案】c<0 或 ‎ ‎【解析】试题分析：若p或q为真命题，p且q为假命题，则p与q一真一假．进而可得满足条件的c的取值范围．‎ 试题解析：‎ 由不等式p：<1，得c<0或c>l，‎ 所以命题-p：0 ，得命题q:c> ‎ 所以命题-q：c . ‎ 由题知：p和q必有一个为真，一个为假 当p真q假时，c<0 ‎ 当q真p假时， ‎ 故的取值范围是：c<0或 .‎ ‎18. 设数列{}的前n项和为，且，(nN+).‎ ‎（1）求数列{}的通项公式；‎ - 14 -‎ ‎（2）若，求数列{}的前n项和.‎ ‎【答案】（1）；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：(1)由题意得：当时，，①，②，①-②得，，易知：数列{}是等比数列，从而得到数列{}的通项公式；(2)利用错位相减法求数列{}的前n项和.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当n=1时，，当时，，①，②，①-②得，，又，所以，所以数列{}是首项为2，公比为2的等比数列，所以. ‎ ‎（2）由（1）得，所以 ‎，①，‎ ‎，②， ‎ ‎①-②得 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎ ‎19. 已知动点P(x,y)(其中y)到x轴的距离比它到点F(0,1)的距离少1.‎ ‎(1)求动点P的轨迹方程；‎ ‎(2)若直线l：x-y+1=0与动点P的轨迹交于A、B两点，求△OAB的面积.‎ ‎【答案】(1)；（2）‎ ‎【解析】试题分析：(1)由题意易得：|y|+1=|PF| 坐标化后化简即可得到动点P的轨迹方程；(2)联立方程，得到：，借助韦达定理表示△OAB的面积.‎ - 14 -‎ 试题解析：‎ ‎（1）由已知，|y|+1=|PF|即：，‎ 又∵，∴y=.‎ ‎（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，不妨令x1<0，x2>0，‎ ‎∵l：x-y+1=0过点F(0,1)，‎ ‎∴ ‎ 联立， x-y+1=0‎ 则满足△>0，且x1-x2= ‎ ‎∴‎ ‎20. 某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x万元时，销售量t万件满足t=5-（其中0xa，a为正常数），现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品t万件还需投入成本(10+2t)万元（不含促销费用），产品的销售价格定为5+万元/万件.‎ ‎(1)将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；‎ ‎(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．‎ ‎【答案】（1）y=25-(+x)，（， a为正常数）;（2）当a≥3时，促销费用投入3万元时，厂家的利润最大；当OO，a≥恒成立，即a≥（）max；‎ ‎ , ∴a≥ ‎ ‎(2)①若a=O，则原不等式为-x≥0，故不等式的解集为{x|x≤0}． ‎ ‎②若a>0，△=1- 4a2‎ 当时，即时，原不等式的解集为R.‎ 当，即时，方程的两根为，，‎ - 14 -‎ ‎∴原不等式的解集为{x|x ,或x }. ‎ ‎③若a<0，△=1-4.‎ 当，即，原不等式的解集为{x| x }.‎ 当时，时，原不等式化为，‎ ‎∴原不等式的解集为{x|x=1}.当，即时，原不等式的解集为 综上所述，当时，原不等式的解集为R；‎ 当时，原不等式的解集为{x|x ,或x }；‎ 当a=0，原不等式为{x|x≤0}‎ 当时，原不等式的解集为{x| x }；‎ 当a=时，原不等式的解集为{x|x=1}；‎ 当a时，原不等式的解集为.‎ ‎22. 已知函数y=f(x)，f(0)=-2，且对，yR，都有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x.‎ ‎（1）求f(x)的表达式；‎ ‎（2）已知关于x的不等式f(x)-ax+a+1的解集为A，若A⊆[2,3]，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）已知数列{}中，，，记，且数列{的前n项和为，‎ 求证：.‎ ‎【答案】（1）f(x)=；（2）；（3）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用赋值法得到f(x)的表达式；（2）令g(x)=，数形结合抓住开口方向，判别式，对称轴，端点值即可；（3），裂项相消法求和易证不等式.‎ 试题解析：‎ ‎（1）取y=0，可得f(x)=(x+1)x-2=； ‎ - 14 -‎ ‎（2）令g(x)=，由题意可知 ‎，，g(2)，g(3). ‎ 可得 ;‎ ‎（3）∵ ,‎ ‎∴‎ 即 ‎ ‎∵， ‎ ‎∴ ‎ ‎,‎ ‎,‎ 即证.‎ 点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有：‎ ‎（1）已知数列的通项公式为，求前项和： ；‎ ‎（2）已知数列的通项公式为，求前项和：‎ ‎；‎ ‎（3）已知数列的通项公式为，求前项和:.‎ ‎ ‎ - 14 -‎