2018届二轮复习导数与函数的极值、最值学案（全国通用）
第2课时 导数与函数的极值、最值
题型一 用导数求解函数极值问题
命题点1 根据函数图象判断极值
典例 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是________．(填序号)
①函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)；
②函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)；
③函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)；
④函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)．
答案 ④
解析 由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；
当－2
2时，f′(x)>0.
由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，
在x＝2处取得极小值．
命题点2 求函数的极值
典例 已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解 (1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－.
又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，
得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e.
(2)f′(x)＝1－，
①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的单调增函数，所以函数f(x)无极值．
②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝ln a，
当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；
当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，
在(ln a，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝ln a处取得极小值且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．
命题点3 根据极值求参数
典例 (1)若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为________________．
答案 ∪
解析 f′(x)＝3x2－4cx＋1，
由f′(x)＝0有两个不同的根，
可得Δ＝(－4c)2－12>0，
∴c>或c<－.
(2)若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间上有极值点，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 函数f(x)在区间上有极值点等价于f′(x)＝0有2个不相等的实根，且在内有根．f′(x)＝x2－ax＋1，由f′(x)＝0有2个不相等的实根，得Δ＝a2－4>0，即a<－2或a>2.由f′(x)＝0在内有根，得a＝x＋在内有解．
又x＋∈，所以2≤a<.
综上，a的取值范围是.
思维升华 函数极值的两类热点问题
(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤
①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．
(2)根据函数极值情况求参数的两个要领
①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
②验证：求解后验证根的合理性．
跟踪训练 (1)函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点的个数为________．
答案 3
解析 ∵f(x)＝x4－2x2＋3，
∴由f′(x)＝4x3－4x＝4x(x＋1)(x－1)＝0，得
x＝0或x＝1或x＝－1.
又当x<－1时，f′(x)<0，
当－10，
当01时，f′(x)>0，
∴x＝0,1，－1都是f(x)的极值点．
(2)若函数f(x)＝－(1＋2a)x＋2ln x(a>0)在区间内有极大值，则a的取值范围是________．
答案 (1,2)
解析 f′(x)＝ax－(1＋2a)＋＝ (a>0，x>0)，若f(x)在区间内有极大值，
即f′(x)＝0在内有解．
则f′(x)在区间内先大于0，再小于0，
则即
解得10，由k<，
得>e，则x－<0在上恒成立，
所以<0，
所以f(x)在上单调递减．
综上，当k<时，f(x)在上单调递减，
所以f(x)min＝f(e)＝＋k－1，f(x)max＝f＝e－k－1.
引申探究
本例中若函数为“f(x)＝ln x－x2”，则函数f(x)在上的最大值如何？
解 由f(x)＝ln x－x2，
则f′(x)＝－x＝，
因为当≤x≤e时，令f′(x)>0，得≤x<1；
令f′(x)<0，得1a，则实数a的取值范围是________________．
答案
解析 由题意知，f′(x)＝3x2－x－2，
令f′(x)＝0，得3x2－x－2＝0，
解得x＝1或x＝－，
又f(1)＝，f＝，
f(－1)＝，f(2)＝7，
故f(x)min＝，∴a<.
题型三 函数极值和最值的综合问题
典例 已知函数f(x)＝(a>0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．
解 (1)f′(x)＝
＝.
令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，
因为ex>0，所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点且f′(x)与g(x)符号相同．
又因为a>0，所以当－30，即f′(x)>0，
当x<－3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0，
所以f(x)的单调递增区间是(－3,0)，
单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．
(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，
所以有
解得a＝1，b＝5，c＝5，
所以f(x)＝.
因为f(x)的单调递增区间是(－3,0)，
单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，
所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，
故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者，而f(－5)＝＝5e5>5＝f(0)，
所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5.
思维升华 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．
(2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论．
(3)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
跟踪训练 若函数f(x)＝x3＋x2－在区间(a，a＋5)上存在最小值，则实数a的取值范围是________．
答案 [－3,0)
解析 由题意，得f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，
故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，
在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，
令x3＋x2－＝－，得
x＝0或x＝－3，则结合图象可知，
解得a∈[－3,0)．
利用导数求函数的最值
典例 (16分)已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当a>0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值．
思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′(x)>0，f′(x)<0的解区间，并注意定义域．
(2)先研究f(x)在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值．
(3)两小问中，由于解析式中含有参数a，要对参数a进行分类讨论．
规范解答
解 (1)f′(x)＝－a(x>0)，
①当a≤0时，f′(x)＝－a>0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．[2分]
②当a>0时，令f′(x)＝－a＝0，可得x＝，
当00；
当x>时，f′(x)＝<0，
故函数f(x)的单调递增区间为，
单调递减区间为.[6分]
综上可知，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.[7分]
(2)①当≤1，即a≥1时，函数f(x)在区间[1,2]上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)＝ln 2－2a.[8分]
②当≥2，即00，f(x)单调递增，
∴f(x)min＝f(1)＝e.
2．函数f(x)＝x3－4x＋4的极大值为________．
答案
解析 f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，
f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，
在(2，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的极大值为f(－2)＝.
3．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则下列说法正确的是________．(填序号)
①当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极小值；
②当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极大值；
③当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极小值；
④当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极大值．
答案 ③
解析 当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0，
∴x＝1不是f(x)的极值点．
当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，
显然f′(1)＝0，且在x＝1附近的左侧f′(x)<0，
当x>1时，f′(x)>0，
∴f(x)在x＝1处取得极小值．
4．函数f(x)＝x2－ln x的最小值为________．
答案
解析 f′(x)＝x－＝且x>0.
令f′(x)>0，得x>1.
令f′(x)<0，得00，得x2，
由f′(x)<0，得b0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是________．
答案
解析 f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，
由f′(x)＝0得x＝±a，
当－aa或x<－a时，f′(x)>0，函数单调递增，
∴f(x)的极大值为f(－a)，极小值为f(a)．
∴f(－a)＝－a3＋3a3＋a>0且f(a)＝a3－3a3＋a<0，
解得a>.
∴a的取值范围是.
9．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝ln x－ax ，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a＝________.
答案 1
解析 由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.
令f′(x)＝－a＝0，得x＝，
当00；
当x>时，f′(x)<0.
∴f(x)max＝f＝－ln a－1＝－1，解得a＝1.
10．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m∈[－1,1]，则f(m)的最小值为________．
答案 －4
解析 f′(x)＝－3x2＋2ax，由f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，即－3×4＋2a×2＝0，故a＝3.
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4.
f′(x)＝－3x2＋6x，由此可得f(x)在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，
∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
11．(2017·北京)已知函数f(x)＝excos x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．
解 (1)因为f(x)＝excos x－x，
所以f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，所以f′(0)＝0，
又因为f(0)＝1，
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－1＝0.
(2)设h(x)＝ex(cos x－sin x)－1，则
h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)＝－2exsin x.
当x∈时，h′(x)＜0，
所以h(x)在区间上单调递减．
所以对任意x∈有h(x)＜h(0)＝0，
即f′(x)＜0.
所以函数f(x)在区间上单调递减．
因此f(x)在区间上的最大值为f(0)＝1，最小值为f＝－.
12．已知函数f(x)＝
(1)求f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；
(2)求f(x)在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值．
解 (1)当x<1时，f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，
令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
极小值
极大值
故当x＝0时，函数f(x)取得极小值f(0)＝0，
函数f(x)的极大值点为x＝.
(2)①当－1≤x＜1时，由(1)知，函数f(x)在[－1,0]和上单调递减，在上单调递增．
因为f(－1)＝2，f＝，f(0)＝0，
所以f(x)在[－1,1)上的最大值为2.
②当1≤x≤e时，f(x)＝aln x，
当a≤0时，f(x)≤0；
当a>0时，f(x)在[1，e]上单调递增，
则f(x)在[1，e]上的最大值为f(e)＝a.
故当a≥2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为a；
当a<2时，f(x)在[－1，e]上的最大值为2.
13．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是________．
答案 20
解析 因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，
令f′(x)＝0，得x＝±1，可知－1,1为函数的极值点．
又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，
所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19.
由题设知在区间[－3,2]上，f(x)max－f(x)min≤t，
从而t≥20，所以t的最小值是20.
14．设直线x＝t与函数h(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当MN最小时，t的值为________．
答案
解析 由已知条件可得MN＝t2－ln t，
设f(t)＝t2－ln t(t>0)，则f′(t)＝2t－，
令f′(t)＝0，得t＝，
当0时，f′(t)>0，
∴当t＝时，f(t)取得最小值．
15．若函数f(x)＝mln x＋(m－1)x存在最大值M，且M>0，则实数m的取值范围是____________．
答案
解析 f′(x)＝＋(m－1)＝(x>0)，
当m≤0或m≥1时，f(x)在(0，＋∞)上单调，此时函数f(x)无最大值．当00，∴mln－m>0，解得m>，
∴m的取值范围是.
16．已知函数f(x)＝xln x－x2(a∈R)．
(1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若g(x)＝f(x)＋(a－1)x在x＝1处取得极小值，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝2时，f(x)＝xln x－x2，
f′(x)＝ln x＋1－2x，f(1)＝－1，f′(1)＝－1，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x＋y＝0.
(2)由已知得g(x)＝xln x－x2＋(a－1)x，
则g′(x)＝ln x－ax＋a，
记h(x)＝g′(x)＝ln x－ax＋a，则h(1)＝0，h′(x)＝－a＝(x>0)．
①当a≤0，x∈(0，＋∞)时，h′(x)>0，函数g′(x)单调递增，所以当x∈(0,1)时，g′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，所以g(x)在x＝1处取得极小值，满足题意；
②当01，当x∈时，h′(x)>0，故函数g′(x)单调递增，
可得当x∈(0,1)时，g′(x)<0，当x∈时，g′(x)>0，所以g(x)在x＝1处取得极小值，满足题意；
③当a＝1，x∈(0,1)时，h′(x)>0，g′(x)在(0,1)内单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，g′(x)在(1，＋∞)内单调递减，
所以当x∈(0，＋∞)时，g′(x)≤0，g(x)单调递减，不合题意；
④当a>1，即0<<1时，当x∈时，h′(x)<0，g′(x)单调递减，g′(x)>0，
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，g′(x)单调递减，g′(x)<0，
所以g(x)在x＝1处取得极大值，不合题意．
综上可知，实数a的取值范围为{a|a<1}．
