江西省赣州市石城中学2020届高三上学期第六次周考数学（文）（A）试卷 含答案

江西省赣州市石城中学2020届高三上学期第六次周考数学（文）（A）试卷 含答案

数学（文A）试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1.已知为虚数单位，复数满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.已知全集，集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.如图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷800个点，其中落入黑色部分的有453个点，据此可估计黑色部分的面积约为（　　）‎ A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 ‎ ‎4.如图，用与底面成45°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.一直线与平行四边形中的两边分别交于点，且交其对角线于点，若，则（　　）‎ A. B. C. D. 5‎ ‎6.下列命题错误的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”‎ B. 若：，.则：，.‎ C. 若复合命题：“”为假命题，则，均为假命题 D. “”是“”的充分不必要条件 ‎7.若.则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，其侧视图中的曲线为圆周，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：相逢时良马比驾马多行（　　）‎ A. 1125里 B. 920里 C. 820里 D. 540里 ‎10.已知函数的零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向右平移个单位，得到函数的图象．关于函数，下列说法正确的是( )‎ A. 在上是增函数 B. 其图象关于直线对称 C. 函数是偶函数 D. 在区间上的值域为 ‎11.已知定义在上的奇函数满足：，且，若函数有且只有唯一的零点，则（ ）‎ A. 1 B. -1 C. -3 D. 3‎ ‎12.已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，且抛物线上存在点与轴上一点关于直线对称，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）‎ A. 4 B. 5 C. D. 6‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13.函数（且）恒过的定点坐标为______． ‎ ‎14.已知实数满足，则的最小值为______．‎ ‎14.若曲线在点处的切线与圆相切，则__________.‎ ‎16.已知函数，且，则实数的取值范围是（　　）三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，，，成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列的前项和为，证明：.‎ ‎18.为推进“千村百镇计划”，某新能源公司开展“电动新余绿色出行”活动，首批投放200台型新能源车到新余多个村镇，供当地村民免费试用三个月.试用到期后，为了解男女试用者对型新能源车性能的评价情况，该公司要求每位试用者填写一份性能综合评分表（满分为100分）.最后该公司共收回600份评分表，现从中随机抽取40份（其中男、女的评分表各20份）作为样本，经统计得到如下茎叶图：‎ ‎（1）求40个样本数据的中位数；‎ ‎（2）已知40个样本数据平均数，记与的较大值为.该公司规定样本中试用者的“认定类型”：评分不小于的为“满意型”，评分小于的为“需改进型”.‎ ‎① 请根据40个样本数据，完成下面列联表：‎ 认定类型 满意型 需改进型 合计 性别 女性 ‎20‎ 男性 ‎20‎ 合计 ‎40‎ 并根据列联表判断能否有99%的把握认为“认定类型”与性别有关？‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎② 为做好车辆改进工作，公司先从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方法，从中抽取8人进行回访.根据回访意见改进车辆后，再从这8人中随机抽取2人进行二次试用，求这2人中至少有一位女性的概率是多少？‎ 附：‎ ‎19.如图，在三棱锥中，，，，，为线段的中点，将折叠至，使得且交平面于F.‎ ‎（1）求证：平面⊥平面PAC.‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎20.在平面直角坐标系，已知椭圆的离心率，直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于，两点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程：‎ ‎（2）已知点，连结，过点作垂直于轴的直线，设直线与直线交于点，试探索当变化时，是否存在一条定直线，使得点恒在直线上？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若函数存在两个极值点，并且恒成立，求实数a的取值范围．‎ 以下为选做题：共10分请考生从第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.‎ ‎22.已如直线的参数方程为（（为参数）.以原点为极点.轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程：‎ ‎（2）若直线（，）与曲线相交于，两点，设线段的中点为，求的最大值.‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）当时，解不等式．‎ ‎（2）若存在满足，求实数的取值范围．‎ 数学（文A）答案 一选择题：C B C A B C A B D D C D 二、填空题 13. 14. 2 14. 16. ‎ ‎17.（1）由，，成等比数列，得，‎ 即 ，又，‎ 解得，，所以.‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎18.（1）由茎叶图知中位数，‎ ‎（2）因为，，所以.‎ ‎①由茎叶图知，女性试用者评分不小于81的有15个，男性试用者评分不小于81的有5个，根据题意得列联表：‎ 认定类型 性别 满意型 需改进型 合计 女性 ‎15‎ ‎5‎ ‎20‎ 男性 ‎5‎ ‎15‎ ‎20‎ 合计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 可得：，‎ 所以有99%的把握认为“认定类型”与性别有关.‎ ‎②由①知从样本“需改进型”的试用者中按性别用分层抽样的方法，‎ 抽出女性2名，男性6名.‎ 记抽出的2名女性为；，；记抽出的6名男性为：，，，，，‎ 从这8人中随机抽取2人进行二次试用的情况有：‎ ‎，共有28种：‎ 其中2人中至少一名女性的情况有：‎ ‎，共有13种： ‎ 所以2人中至少一名女性的概率是：‎ ‎19.（1）证明：在三棱锥中，, , ‎ ‎ 又 ‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ 由已知，∥‎ ‎20.解：（1）由题意知，解得；从而，‎ 所以椭圆的标准方程为：.‎ ‎（2）令，则，或者，.‎ 当，时，：当，时，，‎ 所以，满足题意的定直线只能是.‎ 下面证明点恒在直线上.设，，由于垂直于轴，‎ 所以点的纵坐标为，从而只要证明在直线上.‎ 由得，‎ ‎ ，∴，.‎ ‎ ‎ ‎∴，即.‎ ‎∴点恒在直线上，从而直线、直线与直线三线恒过同一点，所以存在一条定直线使得点恒在直线上.‎ ‎21.（Ⅰ）函数的定义域为，． ‎ 当时，，函数在单调递增；‎ 当时，方程的两根，，且，，则当时，，单调递增；‎ 当，，单调递减． ‎ 综上：当时，函数在单调递增；‎ 当时，时，单调递增；当时，单调递减． ‎ ‎（Ⅱ），，‎ ‎∵函数存在两个极值点，， ‎ ‎∴，则，． ‎ ‎∴ ‎ 恒成立，即恒成立，‎ 即∵，∴ ‎ 令，则，令 ‎ ‎，‎ ‎∴，∴在单调递增．‎ ‎∴．‎ ‎∴在单调递增，，则．‎ ‎22.试题分析：（Ⅰ）利用求极坐标方程即可；‎ ‎（Ⅱ）设、，则，联立和即可.‎ 试题解析：‎ ‎（I）曲线C的普通方程为，‎ 由，得； ‎ ‎（II）解法1：联立和，‎ 得，‎ 设、，则，‎ 由， 得， ‎ 当时，|OM|取最大值． ‎ ‎23.（1）时，‎ ‎∴的解集为；‎ ‎（2）若存在满足等价于有解，‎ ‎∵，∴，解得，‎ 实数的取值范围是（0，4）．‎