数学文卷·2017届福建省漳州市八校高三下学期2月联考（2017

数学文卷·2017届福建省漳州市八校高三下学期2月联考（2017

学校： 班级： 姓名： 座位号： ‎ ‎………………………………密………………………………………封………………………………………………线……………………………‎ ‎2017届高三年漳州八校2月联考数学（文）试题 ‎（考试时间：120分钟 总分：150分）‎ ‎ ‎ 一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 ‎ 符合题目要求的.）‎ ‎ ‎ ‎ (第6题）‎ ‎1.已知集合P={x|x-1≤0}，Q={x|0＜x≤2}，则（CRP）∩Q=（　　） A.（0，1）    B.（0.2]     C.[1，2]     D.（1，2]‎ ‎2.若i为虚数单位，且复数z满足（1+i）z=3-i，则复数z的模是（　　） A.        B.        C.2         D.5‎ ‎3.设θ为第四象限的角，cosθ=，则sin2θ=（　　） A.  B.  C.-  D.-‎ ‎4.三个数0.32，log20.3，20.3的大小顺序是（　　） A.log20.3＜20.3＜0.32           B.0.32＜log20.3＜20.3 C.log20.3＜0.32＜20.3           D.0.32＜20.3＜log20.3‎ ‎5.已知两条直线a，b和平面α，若a⊥b，bα，则“a⊥α”是“b∥α”‎ 的（　　） A.充分不必要条件             B.必要不充分条件 C.充要条件                 D.既不充分也不必要条件 ‎ （第7题）‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（　　） A.3        B.4        C.5        D.6‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示，其中正视图和左视图的上半部分均为边长为2‎ 的等边三角形，则该几何体的体积为（　　） A. B. C. D.‎ 8. 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论。主要用于 解释中国传统文化中的太极衍生原理。数列中的每一项，都代表太极衍生过程 中，曾经经历过的两仪数量总和。是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第 一道数列题。其前10项依次是０、２、４、８、１２、１８、２４、３２、‎ ４０、 ‎５０……　，则此数列第20项为（ ）‎ A.180      B.200        C.128        D.162‎ ‎9.函数y=的图象大致为（　　） A. B. C. D.‎ ‎10.定义：若椭圆的方程为+=1（a＞b＞0），则其特征折线为+=1（a＞b＞0）．设椭圆的 两个焦点为F1、F2，长轴长为10，点P在椭圆的特征折线上，则下列不等式成立的是（　　） A.|PF1|+|PF2|＞10  B.|PF1|+|PF2|＜10  C.|PF1|+|PF2|≥10  D.|PF1|+|PF2|≤10‎ 11. 已知定义在R上的函数f（x）的对称轴为x=-5，且当x≥-5时，f（x）=2x-3．若函数f（x）在区间 ‎（k，k+1）（k∈Z）上有零点，则k的值为（　　） A.2或-11     B.2或-12     C.1或-12     D.1或-11‎ ‎12.已知曲线与在x=x0处切线的斜率的乘积为3，则x0的值为（　　） A.-2       B.2        C.       D.1‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13.数x，y满足不等式组，则z=2x+y的最大值是 ______ ．‎ ‎14.已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（λ+）⊥，则λ的值为 ______ ．‎ ‎15.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠A=60°，b=2，c=3，则的值为 ______ ．‎ ‎16.已知实数a，b满足a＞b，且ab=2，则的最小值是 ______ ．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分)‎ ‎17.(12分)已知函数f（x）=2sincos+2cos2． （I）求f（x）的最小正周期和单调递减区间； （II）若f（B）=3，在△ABC中，角 A，B，C的对边分别是a，b，c，若b=3，sinC=2sin A，求a，c的值． ‎ ‎ ‎ 18. ‎(12分)已知等差数列{an}的通项公式为an=4n-2，各项都是正数的等比数列{bn}满足b1=a1，b2+b3=a3+2． （1）求数列{bn}的通项公式； （2）求数列{an+bn}的前n项和Sn． ‎ 19. ‎(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC=45°，‎ AD= AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD的中点． （1）证明：PB∥平面ACM； （2）证明：AD⊥平面PAC； （3）求四面体PACM的体积． ‎ ‎ ‎ ‎20. (12分)已知点（1，）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上，椭圆离心率为． （Ⅰ ‎）求椭圆C的方程； （Ⅱ）过椭圆C右焦点F的直线l与椭圆交于两点A、B，在x轴上是否存在点M，使得•为定值？‎ 若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)已知函数，m∈R． （Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为函数f（x）的图象上任意不同两点，若过A，B两点的直线l的斜率恒大于-3，求m的取值范围． ‎ ‎ 请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号 ‎22.(10分)（选修4-4：坐标系与参数方程）直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 ‎，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2． （1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程； （2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值． ‎ ‎23.(10分)(选修4-5：不等式选讲)设函数f（x）=|2x+3|+|x-1|． （Ⅰ）解不等式f（x）＞4； ‎ ‎ 数学（文）试题 ‎ 答案和解析 【答案】 1.D    2.B    3.D    4.C    5.A    6.C    7.C    8.B    9.B    10.D    11.C    12.D     13.6 14. 15. 16. 17.(12分）解：（I）由已知可得：， 所以f（x）的最小正周期为2π． 由，k∈Z，得，k∈Z． 因此函数f（x）的单调递减区间为，k∈Z． （II）在△ABC中，若f（B）=3，求得sin（B+）=1，故． 由sinC=2sinA及，得c=2a． 由b=3及余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得9=a2+c2-ac，将c=2a代入得， 求得，故． 18.(12分）解：（1）设各项都是正数的等比数列{bn}的公比为q， 由题意可得b1=2，b2+b3=12， 即有2q+2q2=12，解得q=2（-3舍去）， 即有bn=2•2n-1=2n， （2）an+bn=4n-2+2n， 前n项和Sn=（2+6+…+4n-2）+（2+4+…+2n） =（2+4n-2）n+ =2n2+2n+1-2． ‎ ‎19.(12分）（1）证明：连接MO，∵底面ABCD是平行四边形，且O为AC的中点，∴O为BD的中点， 又M为PD的中点，∴PB∥OM， ∵PB⊄平面ACM，OM⊂平面ACM，∴PB∥平面ACM； （2）证明：在△ADC中，∵∠ADC=45°，AD=AC，∴∠DAC=90°，即DA⊥AC， 又PO⊥平面DAC，∴PO⊥AD，PO∩AC=O， ∴DA⊥平面PAC； （3）解：在△PAC中，∵AC=1，PO=2，∴， ∵AD=1，且M为PD的中点，∴M到平面PAC的距离d=． 则． 20.(12分）解：（Ⅰ）∵点（1，）在椭圆C：+=1（a＞b＞0）上，椭圆离心率为， ∴，解得a=， ∴椭圆C的方程为． （Ⅱ）假设存在点M（x0，0），使得•为定值， 设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程为x=my+1， 联立，得（m2+2）y2+2my-1=0， ，， =（x1-x0，y1）=（my1+1-x1，y1），=（x2-x0，y2）=（my2+1-x0，y2）， ∴=（my1+1-x0）（my2+1-x0）+y1y2 =（m2+1）y1y2+m（1-x0）（y1+y2）+（1-x0）2 =++（1-x0）2 =， 要使上式为定值，即与m无关，应有=， ‎ 解得．∴存在点M（，0），使得•为定值-恒成立． 21.(12分）解：（Ⅰ）∵函数，m∈R， ∴f（x）的定义域为（0，+∞）， ∴==， ①若m≤0，则当x＞3时，f'（x）＞0， ∴f（x）为（3，+∞）上的单调递增函数； ②若m=3， ∵恒成立， ∴当x＞0时，f（x）为增函数， ∴f（x）为（0，+∞）上的单调递增函数； ③若0＜m＜3， 当0＜x＜m时，f'（x）＞0，则f（x）为（0，m）上的单调递增函数， 当x＞3时，f'（x）＞0，则f（x）为（3，+∞）上的单调递增函数； ④若m＞3， 当0＜x＜3时，f'（x）＞0，则f（x）为（0，3）上的单调递增函数， 当x＞m时，f'（x）＞0，则f（x）为（m，+∞）上的单调递增函数． 综合①②③④可得， 当m≤0时，函数f（x）的单调递增区间是（3，+∞）， 当0＜m＜3时，函数f（x）的单调递增区间是（0，m），（3，+∞）， 当m=3时，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）， 当m＞3时，函数f（x）的单调递增区间是（0，3），（m，+∞）； （Ⅱ）依题意，若过A，B两点的直线l的斜率恒大于-3，则有， 当x1＞x2＞0时，f（x1）-f（x2）＞-3（x1-x2），即f（x1）+3x1＞f（x2）+3x2， 当0＜x1＜x2时，f（x1）-f（x2）＜-3（x1-x2），即f（x1）+3x1＜f（x2）+3x2， 设函数g（x）=f（x）+3x， ∵对于两个不相等的正数x1，x2，恒成立， ∴函数在（0，+∞）恒为增函数， ∴在（0，+∞）上恒成立， 解法一： ①若m＜0时，=‎ ‎， ∴g'（x）≥0不恒成立； ②若m=0时，g'（x）=x＞0在（0，+∞）上恒成立； ③若m＞0时， ∵在（0，+∞）上恒成立， 又∵当x＞0时，，（当且仅当时取等号） ∴成立， ∴，解得，即0＜m≤12， ∴m=12符合题意． 综上所述，当0≤m≤12时，过A，B两点的直线l的斜率恒大于-3． 解法二： ∵在（0，+∞）上恒成立， ∴在（0，+∞）上恒成立，即在（0，+∞）上恒成立， ①当x=3时，0≤3恒成立，符合题意； ②当0＜x＜3时，在（0，+∞）上恒成立，等价于， 设， ∵h（x）为减函数，h（x）∈（-∞，0），只需m≥0； （ⅲ）当x＞3时，上式等价于，设，则h（x）==，当x＞3时，h（x）≥12（当且仅当x=6时等号成立）． 则此时m≤12． 在（0，+∞）上，当0≤m≤12时，成立．过A，B两点的直线l的斜率恒大于-3． 解法三： 在（0，+∞）上，恒成立，等价于h（x）=x2-mx+3m≥0在x∈（0，+∞）恒成立，则有 （1）△≤0时，即m2-12m≤0，所以 0≤m≤12 或（2）△＞0时，需且h（x）＞3m，即3m≥0显然不成立．‎ ‎ 综上所述，0≤m≤12．…（14分） 22.(10分）解：（1）参数方程为消去参数，得 +y2=1． ρsin（θ+）=2，即为ρ（cosθ+sinθ）=2，化为直角坐标方程为x+y-4=0； （2）由题意可得当直线x+y-4=0的平行线与椭圆相切时， |PQ|取得最值． 设与直线x+y-4=0平行的直线方程为x+y+t=0， 联立 可得4x2+6tx+3t2-3=0， 由直线与椭圆相切，可得△=36t2-16（3t2-3）=0， 解得t=±2， 显然t=-2时，|PQ|取得最小值， 即有|PQ|==． 23.(10分）解：（Ⅰ）∵f（x）=|2x+3|+|x-1|， ∴f（x）=    …（2分） ∴f（x）＞4⇔或或 …（4分） ⇔x＜-2或0＜x≤1或x＞1   …（5分） 综上所述，不等式的解集为：（-∞，-2）∪（0，+∞） …（6分） （Ⅱ）若存在使不等式a+1＞f（x）成立 ⇔a+1＞（f（x））min…（7分） 由（Ⅰ）知，时，f（x）=x+4， ∴x=-时，（f（x））min=   …（8分） a+1＞⇔a＞ …（9分） ∴实数a的取值范围为（，+∞） …（10分）．‎ ‎ 【解析】 1. 解：集合P={xǀx-1≤0}={x|x≤1}， CRP={x|x＞1}， Q={xǀ0＜x≤2}， 则（CRP）∩Q={x|1＜x≤2}． 故选：D． 求得P的补集，再由交集的定义，即可得到所求集合． 本题考查集合的运算：交集和补集，考查运算能力，属于基础题． 2. 解：由（1+i）z=3-i，得， ∴|z|=． 故选：B． 把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，代入复数模的公式得答案． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题． 3. 解：∵θ为第四象限的角，cosθ=，∴sinθ=-=-， 则sin2θ=2sinθcosθ=-， 故选：D． 由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得sin2θ的值． 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题． 4. 解：∵0＜0.32＜0.30=1，log20.3＜log21=0，1=20＜20.3， ∴， 故选C． 利用指数函数和对数函数的单调性即可比较出大小． 熟练掌握对数函数和指数函数的单调性是解题的关键．注意与数0、1的比较． 5. 解：若a⊥b，b⊄α，a⊥α，则b∥α，是充分条件， 若a⊥b，b⊄α，b∥α，推不出a⊥α，不是必要条件， 则“a⊥α”是“b∥α”的充分不必要条件， 故选：A． 分别判断出充分性和不必要性即可． 本题考查了充分必要条件，考查线面、线线的位置关系，是一道基础题． 6. 解：模拟执行程序，可得： k=1，s=1， 第1次执行循环体，s=1，‎ ‎ 不满足条件s＞15，第2次执行循环体，k=2，s=2， 不满足条件s＞15，第3次执行循环体，k=3，s=6， 不满足条件s＞15，第4次执行循环体，k=4；s=15， 不满足条件s＞15，第5次执行循环体，k=5；s=31， 满足条件s＞31，退出循环，此时k=5． 故选：C． 根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，一旦满足条件就退出循环，输出结果． 本题给出程序框图，要我们求出最后输出值，着重考查了算法语句的理解和循环结构等知识，属于基础题． 7. 解：由三视图可知，该几何体的上部分为四棱锥，下部分为半个圆柱． 则圆柱的高为2，底面圆的半径为1，∴半圆柱的体积为， ∵正视图和左视图的上半部分均为边长为2的等边三角形， ∴四棱锥底面正方体的边长为2，四棱锥的高为， ∴四棱锥的体积为， ∴该几何体的体积为， 故选：C． 由三视图确定该几何体的构成，利用相应的体积公式进行求解即可． 本题主要考查三视图的应用，利用三视图得到该几何体的结构是解决本题的关键，要求掌握常见几何体的体积公式． 8. 解：由题意可得：　，　 　‎ 所以. 故选：B． 9. 解：函数的定义域为{x|x≠0且x≠±1}， 故排除A， ∵f（-x）==-=-f（x）， ∴排除C， 当x=2时，y=＞0， 故排除D， 故选：B． 观察四个图象知，A与B、C、D不同（在y 轴左侧没有图象），故审定义域；同理审B、C、D的不同，从而利用排除法求解． 本题考查了数形结合的思想应用及排除法的应用． 10. 解：作出椭圆与其特征折线的图象，如图所示： 由图可知点P在+=1（a＞b＞0）上， ∴P必然在椭圆+=1（a＞b＞0）内或上， 即当P为椭圆的顶点时，|PF1|+|PF2|=10， ∴|PF1|+|PF2|≤10， 故选D． 由椭圆的方程画出：特征折线+=1（a＞b＞0）的图形，由图可知P必然在椭圆内或椭圆上，则由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|≤10． 本题考查椭圆的定义，考查含绝对值的直线方程的图象，考查数形结合思想，属于中档题． 11. 解：当x≥-5时，f（x）=2x-3， ∵f（1）=2-3=-1＜0，f（2）=22-3=1＞0， 由函数零点存在性定理，可得函数f（x）=2x-3有一个零点在（1，2）内，此时k=1； 又定义在R上的函数f（x）的对称轴为x=-5， 由对称性可知，函数f（x）=2x-3有另一个零点在（-12，-11）内，此时k=-12． ∴k的值为1或-12． 故选：C． 利用函数零点判定定理求出x≥-5时函数f（x）=2x-3的一个零点所在区间，再由对称性求出另一个零点所在区间得答案． 本题考查函数零点判定定理，考查了由对称性求对称点的坐标的方法，是中档题． 12. 解：∵曲线与 ∴y′1=与=3x2-2x+2， ∵曲线与在x=x0处切线的斜率的乘积为3，‎ ‎ ∴×（3x02-2x0+2）=3， 解得x0=1， 故选D． 对曲线与进行求导，把x=x0代入，根据已知条件进行求解； 此题主要考查导数的几何意义及其求导问题，要知道导数与斜率的关系，此题是一道基础题． 13. 解：由约束条件得如图所示的三角形区域， 三个顶点坐标为A（1，1），B（0，1），C（3，0） 将三个代入得z的值分别为3，1，6． 直线z=2x+y过点 C（3，0）时，z取得最大值为6； 故答案为：6． 先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z=2x+y的最大值． 在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解． 14. 解：由题意可得λ+=（1+λ，2λ） ∵（λ+）⊥，∴（λ+）•=0， 代入数据可得3（1+λ）+4×2λ=0， 解之可得λ=- 故答案为：‎ ‎． 由题意可得λ+的坐标，利用（λ+）⊥，数量积为0，代入数据可得关于λ的方程，解之可得． 本题考查平面向量数量积的运算，涉及向量的垂直于数量积的关系，属中档题． 15. 解：∵A=60°，b=2，c=3， ∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=4+9-2×=7，解得：a=， ∴cosC===，解得：sinC==， ∴由正弦定理可得：sinB===， ∴===． 故答案为：． 由已知及余弦定理可解得a，cosC的值，利用同角三角函数关系式可求sinC，由正弦定理可得sinB的值，从而利用二倍角的正弦函数公式即可求值得解． 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，二倍角的正弦函数公式的应用，考查了计算能力，熟练掌握相关公式及定理是解题的关键，属于中档题． 16. 解：∵实数a，b满足a＞b，且ab=2， ∴==（a-b）+≥2=2，当且仅当，a=时取等号． ∴的最小值是2． 故答案为：2． 实数a，b满足a＞b，且ab=2，变形为==（a-b）+，再利用基本不等式的性质即可得出． 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 17. （I）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性得出结论． （II）在△ABC中，由f（ B）=3，求得B的值，由由sinC=2sinA及正弦定理求得c=2a；再根据b=3及余弦定理求得a的值，可得c的值．‎ ‎ 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题． 18. （1）设各项都是正数的等比数列{bn}的公比为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得q=2，即可得到所求通项公式； （2）求得an+bn=4n-2+2n，运用数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和． 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于基础题． 19. （1）连接MO，由已知可得O为BD的中点，又M为PD的中点，利用三角形中位线定理可得PB∥OM，再由线面平行的判定可得PB∥平面ACM； （2）在△ADC中，由已知可得∠DAC=90°，即DA⊥AC，又PO⊥平面DAC，得PO⊥AD，由线面垂直的判定可得DA⊥平面PAC； （3）由M为PD的中点得到M到平面PAC的距离，然后利用等积法求得四面体PACM的体积． 本题考查直线与平面平行的判断，考查直线与平面垂直的判定，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题． 20. （Ⅰ）由点（1，）在椭圆上，椭圆离心率为，列出方程组求出a，b，能求出椭圆C的方程． （Ⅱ）假设存在点M（x0，0），使得•为定值，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程为x=my+1，联立，得（m2+2）y2+2my-1=0，由此利用韦达定理、向量的数量积、椭圆性质，结合已知条件能求出存在点M（，0），使得•为定值-恒成立．本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的定点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、向量的数量积、椭圆性质的合理运用． 21. （Ⅰ）求出f（x）的定义域，求出导函数f′（x），根据导函数的表达式，对m和x进行分类讨论，分别研究导函数f′（x）＞0的取值情况，从而得到f（x）的单调递增区间； （Ⅱ）根据斜率公式，得到恒成立，构造函数g（x）=f（x）+3x，则将问题转化成在（0，+∞）上恒成立．‎ ‎ 解法一：对m的取值分m＞0，m=0，m＜0三种情况分别研究函数的恒成立问题，分析即可求得m的取值范围． 解法二：将问题转化为在（0，+∞）上恒成立，对x的取值分类讨论，然后利用参变量分离法，转化成求最值问题， 本题考查了利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数问题时，经常会运用分类讨论的数学思想方法．本题同时还考查了函数的恒成立问题，对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．属于难题． 22. （1）根据sin2+cos2θ=1，x=ρcosθ，y=ρsinθ．将参数方程和极坐标方程化成直角坐标方程； （2）由题意可得当直线x+y-4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y-4=0平行的直线方程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值． 本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 23. （Ⅰ）先求出f（x）的表达式，得到关于x的不等式组，解出即可；（Ⅱ）问题转化为：a+1＞（f（x））min，求出f（x）的最小值，从而求出a的范围即可． 本题考察了绝对值不等式的解法，考察转化思想，是一道中档题． ‎