2017-2018学年河南省辉县市第一高级中学高二下学期第一次阶段性测试理科数学试题（Word版）

2017-2018学年河南省辉县市第一高级中学高二下学期第一次阶段性测试理科数学试题（Word版）

辉县市一中 2017——2018 学年下期第一次阶段性考试 高二数学（理科）试卷 命题人：庾晓燕 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟. 第 I 卷（选择题，共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的） 1．复数 z＝2－i 2＋i(i 为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为(　　) A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．函数 f(x)＝x3＋4x＋5 的图象在 x＝1 处的切线在 x 轴上的截距为(　　) A．10 B．5 C．－1 D．－3 7 3．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数 ，如果 ，那么 是函数 的 极值点，因为函数 在 处的导数值 ，所以， 是函数 的极值 点.以上推理中（ ） A．大前提错误 B． 小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确 4．函数 y＝x3－3x2－9x(－21，则实数 a 的值是(　　) A．2 B．3 C．5 D．6 9．用数学归纳法证明 1 n＋1＋ 1 n＋2＋…＋ 1 3n＋1>1(n∈N＋)时，在验证 n＝1 时，左边的代数式为(　　) A．1 2＋1 3＋1 4 B．1 2＋1 3 C．1 2 D．1 10．若 z1，z2∈C，则 z1z2＋z1z2 是(　　) A．纯虚数 B．实数 C．虚数 D．不能确定 11．若点 P 在曲线 y＝x3－3x2＋(3－ 3)x＋3 4上移动，经过点 P 的切线的倾斜角为 α，则角 α 的取值 范围是(　　) A．[0，π 2) B．[0，π 2)∪[2π 3 ，π) C．[2π 3 ，π) D．[0，π 2)∪(π 2，2π 3 ] 12．函数 f(x)的定义域为 R，f(－1)＝2，对任意 x∈R， ，则 f(x)>2x＋4 的解集为(　) A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) 第 II 卷（共 90 分） 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卷中横线上） 13．垂直于直线 2x－6y＋1＝0 并且与曲线 y＝x3＋3x2－5 相切的直线方程是________． 14． ＝________. 15．通过类比长方形，由命题“周长为定值 l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为 l2 16 ”，可 2 10 4 1 12a x dxx       +∫ ( ) 2f x >′ 1 2 0 1 x x dx    − +∫ 猜想关于长方体的相应命题为_____________． 16．若函数 f(x)＝x3＋x2＋mx＋1 是 R 上的单调函数，则实数 m 的取值范围是_______． 三、解答题（本大题 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 10 分） 已知曲线 y＝5 x，求： （1）曲线上与直线 y＝2x－4 平行的切线方程； （2）求过点 P（0,5）且与曲线相切的切线方程． 18．（本小题满分 12 分） 已知函数 f（x）＝x3＋ax2＋bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线 y＝0 在原点处相切，此 切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为27 4 ，求 a 的值． 19．（本小题满分 12 分） 已知函数 f（x）＝ax3＋bx＋1 的图象经过点（1，－3）且在 x＝1 处，f（x）取得极值．求： （1）函数 f（x）的解析式； （2）f（x）的单调递增区间． 20．（本小题满分 12 分） 若复数 z＝1＋i，求实数 a，b 使得 az＋2bz＝（a＋2z）2. 21．（本小题满分 12 分） 用总长 14.8 m 的钢条做一个长方体容器的框架．如果所做容器的底面的一边长比另一边长多 0.5 m，那么高是多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积． 22．（本小题满分 12 分） 已知函数 f（x）＝x3＋ax2－3x（a∈R）． （1）若 x＝1 3是函数 f（x）的极值点，求函数 f（x）在[－a,1]上的最大值； （2）在（1）的条件下，是否存在实数 b，使得函数 g（x）＝bx 的图象与函数 f（x）的图象恰 有 3 个交点？若存在，请求出 b 的取值范围；若不存在，请说明理由． 辉县市一中 2017——2018 学年下期第一次阶段性考试 高二数学（理科）试卷 参考答案 一、选择题 1-5 DDACB 6-10 BAAAB 11-12 BB[来源:Z&xx&k.Com] 二、填空题 13．3x＋y＋6＝0 14．1 4π＋1 2 15．表面积为定值 S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为 16．m≥1 3 三、解答题 17.解析：　(1)设切点为(x0，y0)，由 y＝5 x， 得 y′|x＝x0＝ 5 2 x0. ∵切线与 y＝2x－4 平行， ∴ 5 2 x0＝2，∴x0＝25 16，∴y0＝25 4 ， 则所求切线方程为 y－25 4 ＝2(x－25 16)，即 2x－y＋25 8 ＝0. (2)∵点 P(0,5)不在曲线 y＝5 x上， 故需设切点坐标为 M(x1，y1)，则切线斜率为 5 2 x1. 又∵切线斜率为y1－5 x1 ，∴ 5 2 x1＝y1－5 x1 ＝5 x1－5 x1 ， ∴2x1－2 x1＝x1，得 x1＝4. ∴切点为 M(4,10)，斜率为5 4， ∴切线方程为 y－10＝5 4(x－4)，即 5x－4y＋20＝0. 18.解析：　由题意可知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(0)＝0 ∴b＝0， ∴f(x)＝x2(x＋a)，有27 4 ＝∫－a0 [0－(x3＋ax2)]dx＝－(x4 4＋ax3 3 )Error!－a0 ＝a4 12，∴a＝±3. 又－a>0⇒a<0，得 a＝－3. 2 3 6      S 19.解析：　(1)由 f(x)＝ax3＋bx＋1 的图象过点(1，－3)得 a＋b＋1＝－3， ∵f′(x)＝3ax2＋b， 又 f′(1)＝3a＋b＝0， ∴由Error!得Error!， ∴f(x)＝2x3－6x＋1. (2)∵f′(x)＝6x2－6， ∴由 f′(x)>0 得 x>1 或 x<－1， ∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)． 20.解析： 由 z＝1＋i，可知z＝1－i，代入 az＋2bz＝(a＋2z)2，得 a(1＋i)＋2b(1－i)＝[a＋2(1＋i)]2，即 a＋ 2b＋(a－2b)i＝(a＋2)2－4＋4(a＋2) i. 所以 解得Error!或Error! 21.解析：设该容器底面的一边长为 x m，则另一边长为(x＋0.5)m，此容器的高为 h＝14.8 4 －x－(x ＋0.5)＝3.2－2x(00，函数 V(x)单调递增；x∈(1,1.6)时， V′(x)<0，函数 V(x)单调递减． 所以，当 x＝1 时，函数 V(x)有最大值 V(1)＝1×(1＋0.5)×(3.2－2×1)＝1.8(m 3)，h＝3.2－2＝ 1.2(m)．[来源:学|科|网] 即当高为 1.2 m 时，长方体容器的容积最大，最大容积为 1.8 m3. 22.解析：　 (1)由题意知 ＝0，即1 3＋2a 3 －3＝0， ∴a＝4. ∴f(x)＝x3＋4x2－3x. 令 f′(x)＝3x2＋8x－3＝0 得 x＝1 3或 x＝－3. ∵f(－4)＝12，f(－3)＝18， ＝－14 27，f(1)＝2， ∴f(x)在[－a,1]上的最大值是 f(－3)＝18. ( ) ( ) 22 2 4 2 4 2 a b a a b a  + = + − − = +     ′ 3 1f      3 1f (2)若函数 g(x)＝bx 的图象与函数 f(x)的图象恰有 3 个交点，即方程 x3＋4x2－3x＝bx 恰有 3 个不 等实根． ∵x＝0 是其中一个根， ∴方程 x2＋4x－(3＋b)＝0 有两个非零不等实根． ∴ ∴b>－7 且 b≠－3. ∴满足条件的 b 存在，其取值范围是(－7，－3)∪(－3，＋∞)． ( ) ( )16 4 3 0 3 0 b b ∆ = + + >− + ≠