北京市2020届高三数学文一轮复习典型题专项训练：导数及其应用

北京市2020届高三数学文一轮复习典型题专项训练：导数及其应用

北京市2020届高三数学文一轮复习典型题专项训练 导数及其应用 ‎1、（昌平区2019届高三上学期期末）已知函数．‎ ‎(Ⅰ)若，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎(Ⅱ)若，判断函数的零点个数，并说明理由.‎ ‎2、（朝阳区2019届高三上学期期末）已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的极小值；‎ ‎（Ⅱ）当时，讨论的单调性；‎ ‎（Ⅲ）若函数在区间上有且只有一个零点，求的取值范围.‎ ‎3、（大兴区2019届高三上学期期末）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若x轴为曲线的切线，求a的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值．‎ ‎4、（东城区2019届高三上学期期末）已知函数，a∈R．‎ ‎(Ⅰ) 当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎(Ⅱ) 求的单调区间．‎ ‎5、（房山区2019届高三上学期期末）已知函数 ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点.‎ ‎6、（丰台区2019届高三上学期期末）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：当时，.‎ ‎7、（海淀2019届高三上学期期末）已知函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； ‎ ‎（Ⅱ）求证: 当时，.‎ ‎8、（石景山区2019届高三上学期期末）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，若有极小值，求实数的取值范围．‎ ‎9、（通州区2019届高三上学期期末）已知函数． ‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若是上的单调递增函数，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）若函数对任意的实数，存在唯一的实数（），使得成立，求的值．‎ ‎10、（朝阳区2019届高三第二次（5月）综合练习（二模））已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若函数在区间内有且只有一个极值点，求的取值 范围.‎ ‎11、（东城区2019届高三5月综合练习（二模））已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求证：.‎ ‎12、（丰台区2019届高三5月综合练习（二模））已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数在区间上的最小值；‎ ‎（Ⅱ）当时，求证：过点恰有2条直线与曲线相切．‎ ‎13、（海淀区2019届高三5月期末考试（二模）） 已知函数 ．‎ ‎ (I)求曲线在点 处的切线的倾斜角；‎ ‎ (Ⅱ)若函数的极大值大于1，求口的取值范围．‎ ‎14、（门头沟区2019届高三一模）已知在点处的切线与直线平行。‎ ‎(Ⅰ)求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）设.‎ ‎（）若函数在上恒成立,求的最大值；‎ ‎（）当时，判断函数有几个零点，并给出证明.‎ ‎15、（顺义区2019届高三第二次统练（一模））设函数.‎ ‎（I）若点在曲线上，求在该点处曲线的切线方程；‎ ‎（II）若恒成立，求的取值范围.‎ ‎16、（西城区2019届高三一模）设函数，其中． ‎ ‎（Ⅰ）当为偶函数时，求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围．‎ ‎17、（延庆区2019届高三一模）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）当时，求函数在上区间零点的个数.‎ ‎18、设函数，‎ ‎（1）若曲线在点处的切线斜率为，求；‎ ‎（2）若在处取得极小值，求的取值范围．‎ ‎19、已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值． ‎ ‎20、（朝阳区2018届高三3月综合练习（一模））已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程； ‎ ‎（Ⅱ）若，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若，求证：.‎ 参考答案：‎ ‎1、解：函数的定义域为.‎ ‎.‎ ‎（I）若，，且,‎ 所以曲线在点处的切线方程为，即.……5分 ‎（Ⅱ）令，得，（舍）.‎ 变化情况如下表：‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎.‎ ①当，即时，无零点.‎ ②当，即时，只有一个零点.‎ ③当，即时，‎ 因为，,且在上单调递减，‎ 所以在上存在唯一零点；‎ 在上，，.‎ 因为，所以，即.‎ 又，且在上单调递增，‎ 所以在上存在唯一零点；‎ 所以当时，有两个零点.‎ 综上：时，无零点；‎ 时，只有一个零点；‎ 时，有两个零点. ……13分 ‎2、解：（Ⅰ）当时：，令解得，‎ 又因为当，，函数为减函数；‎ ‎ 当，，函数为增函数.‎ 所以，的极小值为. ……………3分 ‎（Ⅱ）. 当时，由，得或.‎ ‎(ⅰ)若，则.故在上单调递增；‎ ‎（ⅱ）若，则.故当时，；‎ ‎ 当时，.‎ ‎ 所以在，单调递增，在单调递减.‎ ‎(ⅲ)若，则.故当时，；‎ ‎ 当时，.‎ ‎ 所以在，单调递增，在单调递减.‎ ‎ …………………8分 ‎（Ⅲ）（1）当时，，令，得.‎ 因为当时，，当时，，‎ 所以此时在区间上有且只有一个零点.‎ ‎（2）当时：‎ ‎ （ⅰ）当时，由（Ⅱ）可知在上单调递增，且，，此时在区间上有且只有一个零点.‎ ‎ （ⅱ）当时，由（Ⅱ）的单调性结合，又，‎ ‎ 只需讨论的符号：‎ 当时，，在区间上有且只有一个零点；‎ 当时，，函数在区间上无零点.‎ ‎ (ⅲ)当时，由（Ⅱ）的单调性结合，，，此时在区间上有且只有一个零点.‎ ‎ 综上所述，. …………………13分 ‎ ‎3、解：（Ⅰ）由于x轴为的切线，设切点坐标为， ……1分 则，……① ……2分 又，即， ……② ……3分 ‎②代入①，解得，‎ 所以． ……4分 ‎（Ⅱ），‎ ‎　　（1）当时，，在单调递增， ……1分 ‎　　 所以时，取得最小值．‎ ‎　　 时，取得最大值． ……3分 ‎　　（2）当时，，在单调递减， ……4分 ‎　　 所以，时，取得最小值．‎ 时，取得最大值． ‎ ‎（3）当时，令，解得， ……5分 ‎，，在区间的变化情况如下：‎ ‎0‎ 单调递减↗‎ 极小值 单调递增↘‎ ‎ ‎ ‎ 由上表可知，当时，取得最小值；……7分 由于，，‎ 当时，在处取得最大值， ……8分 当时，在处取得最大值． ……9分 ‎4、解：（Ⅰ）的定义域为,‎ ‎． ‎ 当时，，，‎ 所以曲线在点处的切线方程为．………………………..7分 ‎(Ⅱ) .‎ (1) 当时，，‎ 所以当时，；当时，.‎ 所以的单调递增区间为(–∞，–1)，单调递减区间为(–1，+∞).‎ ‎(2) 当时，令，得，.‎ ‎①当，即时，，‎ 所以的单调递增区间为(–∞，+∞)，无单调递减区间；‎ ‎②当，即时，‎ 当时，；当时，.‎ 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，；‎ ‎③当，即时，‎ 当时，；当时，.‎ 所以的单调递减区间为，单调递增区间为，. …………………………………………………………………………………………13分 ‎5、‎ ‎6、解：（Ⅰ）因为. ‎ 所以，，‎ 所以曲线在点处的切线方程. ‎ 整理得： ………………5分 ‎（Ⅱ）先证.‎ 因为，，‎ 所以.‎ 所以函数在上单调递增，‎ 所以，‎ 即.① ………………8分 再证.‎ 设，‎ 则， ‎ 设，‎ 则，由①可知，‎ 所以在上单调递减， .‎ 所以时，.‎ 所以在上单调递减，.‎ 即.② ‎ 综合①②可知:当时，. ………………13分 ‎7、解：（Ⅰ）因为 ‎ 所以 ‎ 当时，‎ 所以，而 ‎ 曲线在处的切线方程为 ‎ ‎（Ⅱ）法一：‎ 因为，令 得 ‎ 显然当时，‎ 所以，，在区间上的变化情况如下表:‎ ‎0‎ 极小值 ‎ ‎ 所以在区间上单调递减，在单调递增，‎ 所以在上的最小值为，所以只需证明 ‎ 因为，所以 ‎ 设，其中 ‎ 所以 ‎ 当时，，所以在区间单调递增，‎ 因为 ，所以，问题得证 ‎ 法二：‎ 因为，所以当时， ‎ ‎ 设，其中 ‎ 所以 ‎ 所以，，的变化情况如下表: ‎ ‎0‎ 极小值 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以在区间上单调递减，在上单调递增，‎ 所以函数在时取得最小值，而 ‎ 所以时 ‎ 所以，问题得证 ‎ 法三：‎ ‎ 因为“对任意的，”等价于“对任意的，”‎ ‎ 即“，”，故只需证“时，” ‎ 设，其中 ‎ 所以 ‎ 设，,‎ 令，得 所以，，的变化情况如下表: ‎ ‎0‎ 极小值 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以在处取得极小值，而 ‎ 所以 ‎ 所以时，，所以在上单调递增，得 ‎ 而，所以 问题得证 ‎ ‎8、解：（Ⅰ）当时，，. ‎ ‎ ， ‎ ‎ 所以在处的切线方程为. ‎ ‎ （Ⅱ）有极小值函数有左负右正的变号零点. ‎ ‎ ‎ 令，则 令，解得.‎ 的变化情况如下表：‎ ‎–‎ ‎0‎ ‎+‎ 减 极小值 增 ‎ ‎ ① 若，即，则，所以不存在变号零点，不合题意. ‎ ② 若，即时，，.‎ 所以，使得；‎ 且当时，，当时，.‎ 所以当时，的变化情况如下表：‎ ‎–‎ ‎0‎ ‎+‎ 减 极小值 增 所以. ‎ ‎9、解：（Ⅰ）当时，，‎ 所以，，．‎ 所以曲线在处的切线方程为．　…………………………………3分 ‎（Ⅱ）因为在上为单调递增函数，‎ 所以恒成立，即的最小值．‎ 令，则．‎ 在，，单调递减；在，，单调递增．‎ 所以．‎ 所以，即．‎ 所以若是上的单调递增函数，则的取值范围是．……………………7分 ‎（Ⅲ）当时，，‎ 因为，，‎ 所以在单调递减，且；‎ 当时，，‎ 由（Ⅱ）知在递增，且．‎ 若对任意的实数，存在唯一的实数（），使得成立，则 ‎（ⅰ）当时，．所以，即；‎ ‎（ⅱ）当时，．所以，即．‎ 综合（ⅰ）（ⅱ）可得．……………………………………………………13分 ‎10、解：（Ⅰ）当时，，‎ ‎ 所以，．‎ ‎ 又，‎ 所以曲线在处的切线方程为．‎ ‎………….4分 ‎ ‎（Ⅱ）函数的定义域为． ，‎ （1） 当即时，‎ 因为时，，‎ 所以的单调增区间为．‎ （2） 当，即时，令，得．‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 所以的单调增区间为，减区间为．‎ 综上，当时，的单调增区间为；‎ 当时，的单调增区间为，减区间为．‎ ‎ ………….9分 ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅲ）因为，‎ 所以.‎ 令，.‎ 若函数在区间内有且只有一个极值点,‎ 则函数在区间内存在零点.‎ 又，‎ 所以在内有唯一零点.‎ 且时，‎ 时，‎ 则在内为减函数，在内为增函数.‎ 又因为且在内存在零点,‎ 所以 解得.‎ 显然在内有唯一零点，记为.‎ 当时，，时，，所以在点两侧异号，即在点两侧异号，为函数在区间内唯一极值点.‎ 当时，‎ 又在内成立,‎ 所以在内单调递增，故无极值点.‎ 当时，易得时,故无极值点.‎ 所以当且仅当时，函数在区间内有且只有一个极值点. …….14分 ‎ ‎11、解：（Ⅰ）定义域为，.‎ ‎. .‎ 所以曲线在处的切线方程为.‎ 即.…………….5分 ‎（Ⅱ）记.‎ ‎.‎ 由解得．‎ 与在区间上的情况如下：‎ ‎↘‎ 极小 ‎↗‎ 所以在时取得最小值． ‎ 所以.所以.‎ 所以在上单调递增.‎ 又由知，‎ 当时，，，所以；‎ 当时，，，所以.‎ 所以. ………………………………13分 ‎12、解：（Ⅰ）当时， ， ‎ ‎． …………………2分 当时，，‎ 所以在区间上单调递减． …………………4分 所以在区间上的最小值为． …………………5分 ‎（Ⅱ）设过点的曲线的切线切点为，‎ ‎，，‎ 所以 所以．‎ 令，‎ 则 ‎，‎ ‎ 令得或，‎ ‎ 因为，所以．‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 的极大值为， ‎ 的极小值为， ‎ 所以在上有且只有一个零点．‎ 因为，‎ 所以在上有且只有一个零点．‎ 所以在上有且只有两个零点．‎ 即方程有且只有两个不相等实根，‎ 所以过点恰有2条直线与曲线相切． …………………13分 ‎13、解：（Ⅰ）因为，‎ 所以 ‎ 所以， ‎ 所以切线的倾斜角为 ‎ ‎（Ⅱ）因为 ‎ 当时，令，得 ‎ ‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎ ‎ 极小值 ‎ 由上表函数只有极小值，没有极大值，不合题意，舍去 ‎ ‎ 当时，令，得 ‎ 当时， ‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 极小值 极大值 由上表函数的极大值，满足题意 ‎ 当时，，‎ 所以函数单调递增，没有极大值，舍去 ‎ 当时，当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 极大值 极小值 由上表函数的极大值，‎ 解得 ‎ 当时，当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 极大值 极小值 由上表函数的极大值，不合题意 ‎ 综上，的取值范围是 ‎ ‎14、解：(Ⅰ)由题意得：‎ ‎（Ⅱ）（）‎ 当时，若，递增，则 当时，若，在递减，则不恒成立，所以，的最大值为1.‎ ‎（），显然有一个零点0；‎ 设 当时，无零点；所以只有一个零点0‎ 当时，有，所以在上单增，‎ 又，由零点存在定理可知，‎ 所以在上有唯一一个零点，所以有二个零点 综上所述，时，只有一个零点0，时，有二个零点.‎ ‎15、解：（I）因为点在曲线上，‎ 所以，. ---------------------------------------1分 又， ---------------------------------------3分 所以. ---------------------------------------4分 在该点处曲线的切线方程为即 ---------------------------------------5分 ‎（II）定义域为，-------------------------------6分 讨论：（1）当时，‎ 此时在上单调递减，又，不满足-------------8分 ‎（2）当时，令可得 ‎ 列表可得 ‎0‎ 单调递减 单调递增 所以在上单调递减，在上单调递增----------------------10分 所以=，所以令解得 所以的取值范围为. ---------------------------------------13分 或法二：定义域为，恒成立即恒成立，又 所以恒成立。令，‎ 则，由，‎ 所以在单调递增，在上单调递减，‎ 所以 ‎16、解：（Ⅰ）由函数是偶函数，得，‎ 即对于任意实数都成立，‎ 所以. ……………… 2分 此时，则.‎ 由，解得. ……………… 3分 当x变化时，与的变化情况如下表所示： ‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 所以在，上单调递减，在上单调递增. …………… 5分 ‎ 所以有极小值，有极大值. ……………… 6分 ‎ ‎ （Ⅱ）由，得.‎ ‎ 所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线，有且只有两个公共点”. ……………… 8分 ‎ 对函数求导，得. ……………… 9分 ‎ 由，解得，. ……………… 10分 ‎ 当x变化时，与的变化情况如下表所示： ‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎ 所以在，上单调递减，在上单调递增. …………… 11分 ‎ ‎ 又因为，，，，‎ ‎ 所以当或时，直线与曲线，有且只有两个公共点. ‎ ‎ 即当或时，函数在区间上有两个零点. …… 13分 ‎17、（Ⅰ）当时，，……………1分 ‎， ……………2分 ‎，切点，‎ 切线方程是.……………3分 ‎（Ⅱ），……………4分 令， ……………5分 ‎、及的变化情况如下 ‎0‎ 增 减 所以，在区间上单调递增，‎ 在区间上单调递减………7分 ‎（Ⅲ）法一：由（Ⅱ）可知的最大值为 ……8分 ‎（1）当时，在区间单调递增，在区间上单调递减 由，故在区间上只有一个零点 ……………10分 ‎ （2）当时，，，‎ ‎ 且 ……………12分 ‎ 因为 ，所以，在区间上无零点……13分 ‎ 综上，当时，在区间上只有一个零点 ‎ 当时，在区间上无零点 ‎ ‎（Ⅲ）法二：‎ ‎ 令，‎ ‎ 令 ……………8分 ‎ ‎ ‎ ……………10分 ‎0‎ 减 极小值1‎ 增 ‎ ……………11分 ‎ 由已知 所以，当时，在区间上只有一个零点……12分 ‎ 当时，在区间上无零点 ……………13分 ‎18、（1）解：函数定义域为，‎ 若函数在处切线与轴平行，则 ‎，即．‎ ‎（2）由（1）可知，‎ ‎①当时，令，，‎ 极大值 不满足题意；‎ 当时，令，或，‎ ‎②当时，即，‎ 极小值 极大值 不满足题意；‎ ‎③当时，‎ ‎1）当，即时，，函数无极值点；‎ ‎2）当，即时，‎ 极大值 极小值 满足题意；‎ ‎3）当，即时，‎ 极大值 极小值 不满足题意．‎ 综上所述，若在处取得极小值，．‎ ‎19、‎ ‎20、解：（Ⅰ）若，则，，，‎ 所以在点处的切线方程为． ……………… 3分 ‎（Ⅱ），.‎ 令，则．‎ 令，得．（依题意）‎ 由，得；由，得．‎ 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增 所以，．‎ 因为，所以，．‎ 所以，即．‎ 所以函数的单调递增区间为． ……………… 8分 ‎（Ⅲ）由，，等价于，等价于.‎ ‎ 设，只须证成立.‎ ‎ 因为，，‎ ‎ 由，得有异号两根.‎ ‎ 令其正根为，则.‎ ‎ 在上，在上.‎ ‎ 则的最小值为 ‎ ‎ ‎ .‎ ‎ 又，，‎ ‎ 所以.‎ ‎ 则.‎ 因此，即.所以 ‎ 所以. ……………13分