天津高三数学理科试题精选分类汇编5：数列

天津高三数学理科试题精选分类汇编5：数列

最新 2013 届天津高三数学试题精选分类汇编 5：数列 一、选择题 1. ．（天 津 市 十 二 区 县 重 点 中 学 2013 届 高 三 毕 业 班 联 考 （ 一 ） 数 学 （ 理 ） 试 题 ） 已 知 函 数 数列 满足 ,且 是单调递增数 列 , 则 实 数 的 取 值 范 围 是 （　　 ） A． B． C． D． 2. ．（天津市六校 2013 届高三第二次联考数学理试题（WORD 版））已知等差数列 中,a7+a9=16,S11= , 则 a12 的 值 是 （　　 ） A．15 B．30 C．31 D．64 3. ．（ 天 津 南 开 中 学 2013 届 高 三 第 四 次 月 考 数 学 理 试 卷 ） 数 列 的 前 n 项 和 为 , 则 数 列 的 前 50 项 的 和 为 （　　 ） A．49 B．50 C．99 D．100 4. ．（天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理科数学）已知正项等比数列{a }满足： ，若存在两项 使得 ，则 的最小值为 （　　） A． B． C． D．不存在 5. ．（天 津 市 新 华 中 学 2012 届 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 理 科 数 学 ） 等 差 数 列 {a } 中 ， 如 果 ， ，数列{a }前 9 项的和为 （　　） A．297 B．144 C．99 D．66 6.．（天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学理试题）若∆ABC 的三个内角成等差数列,三边 成 等 比 数 列 , 则 ∆ABC 是 （　　 5 (4 ) 4 ( 6),( ) 2 ( 6).x a x xf x a x−  − + ≤=   > ( )0, 1a a> ≠ { }na *( )( )na f n n N= ∈ { }na a [ )7,8 ( )1,8 ( )4,8 ( )4,7 { }na 2 99 }{ na )()1(,1 *2 NnabnnS n n nn ∈−=++= }{ nb n 7 6 5= 2a a a+ ,n ma a 14m na a a= nm 41 + 2 3 3 5 6 25 n 1 4 7 =39a a a+ + 3 6 9 =27a a a+ + n ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 7. ．（天 津 市 新 华 中 学 2013 届 高 三 第 三 次 月 考 理 科 数 学 ） 已 知 正 项 等 比 数 列 满 足 ： ，若存在两项 使得 ，则 的最小值为 （　　） A． B． C． D．不存在 8. ．（天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理科数学）设 是等差数列{an}的前 n 项和， ，则 的值为 （　　） A． B． C． D． 9. ．（天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考理科数学试卷）已知等比数列{an}的首项为 1，若 成等差数列，则数列 的前 5 项和为 （　　） A． B．2 C． D． 二、填空题 10. ．（天 津 市 蓟 县 二 中 2013 届 高 三 第 六 次 月 考 数 学 （ 理 ） 试 题 ）正 项 等 比 数 列 中 ， 若 ，则 等于______. 11.．（天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）某公园设计节日鲜花摆放方案, 其中一个花坛由一批花盆堆成六角垛,顶层一个,以下各层均堆成正六边形,且逐层每边增加一个 花盆(如图). 设第 层共有花盆的个数为 ,则 的表达式为_____________________. 12.．（天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理科数学）数列{a }中，若 a =1， （n≥1），则该数列的通项 a =________。 13.．（天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学理试题）等差数列{an}中, ,在 { }na 7 6 52a a a= + ,m na a 14m na a a= 1 4 m n + 3 2 5 3 25 6 nS 5 2 83( )S a a= + 5 3 a a 1 6 1 3 3 5 5 6 1 2 34 ,2 ,a a a       na 1 16 31 16 33 33 16 n 1 1 2 3n na a+ = + n 1 71, 4a a= = n )(nf )(nf 等比数列{bn}中, 则满足 的最小正整数 n 是____. 14.．（天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理科数学）在数列 中， ，则数列 中的最大项是第 项。 15.．（天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理科数学）设数列 满足 ，(n∈N﹡)， 且 ，则数列 的通项公式为 . 16.．（天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理科数学）若 ， 则 . 17.．（天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考理科数学试卷）对于各数互不相等的整数数组 （n 是不小于 3 的正整数），若对任意的 p， ，当 时有 ，则称 是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆 序 数 ”，如 数 组 （ 2,3,1 ） 的 逆 序 数 等 于 2. 若 数 组 的 逆 序 数 为 n ， 则 数 组 的逆序数为_________； 18.．（天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考理科数学试卷）设{an}是等比数列，公比 ，Sn 为{an}的前 n 项和.记 ， ，设 为数列{Tn}的最大项，则 n0=__________； 三、解答题 19.．（天津市蓟县二中 2013 届高三第六次月考数学（理）试题）　已知 A( , )，B( , )是函数 的图象上的任意两点（可以重合），点 M 在 直线 上，且 . 　　（1）求 + 的值及 + 的值 　　（2）已知 ，当 时， + + + ，求 ； 　　（3）在（2）的条件下，设 = ， 为数列{ }的前 项和，若存在正整数 、 ， 1 2 36,b b a= = 26 1nb a < { }na 7( 1)( )8 n na n= + { }na { }na 1 3 2n n na a+ = + 1 1a = { }na 1 1 1 1 3 3 5 (2 1)(2 1)S n n = + +⋅⋅⋅+× × − + S = ),,,,( 321 niiii … },,3,2,1{ nq …∈ qp < qp ii > qp ii , ),,,,( 321 niiii … ),,,( 11 iii nn …− 2=q 1 217 + −= n nn n a SST *Nn ∈ 0nT 使得不等式 成立，求 和 的值. 20.．（天津市蓟县二中 2013 届高三第六次月考数学（理）试题）设等差数列 的首项 及公差 d 都 为整数，前 n 项和为 Sn. 　　（1）若 ，求数列 的通项公式； 　　（2）若 　求所有可能的数列 的通项公式. 21.．（天津市十二区县重点中学 2013 届高三毕业班联考（一）数学（理）试题）设等比数列 的前 项和为 ,已知 . (Ⅰ)求数列 的通项公式; (Ⅱ)在 与 之间插入 个数,使这 个数组成公差为 的等差数列, 设数列 的前 项和 ,证明: . 22.．（天津市六校 2013 届高三第二次联考数学理试题（WORD 版））已知数列{an}中,a1=1,若 2an+1-an= ,bn=an- (1)求证:{ bn }为等比数列,并求出{an}的通项公式; (2)若 Cn=nbn+ ,且其前 n 项和为 Tn,求证:Tn<3. { }na n nS 1 2 2( )n na S n N ∗ + = + ∈ { }na na 1na + n 2n + nd 1 nd     n nT 15 16nT < ）2n）（1n（n 2-n ++ ）1n（n 1 + ）1n（n 1 + 23.．（天津市新华中学 2013 届高三寒假复习质量反馈数学（理）试题）已知数列 的前 项和 ( 为正整数) (Ⅰ)令 ,求证:数列 是等差数列,并求数列 的通项公式; (Ⅱ)令 ,试比较 与 的大小,并予以证明 24. ．（ 天 津 南 开 中 学 2013 届 高 三 第 四 次 月 考 数 学 理 试 卷 ） 已 知 数 列 满 足 , (1)证明:数列 是等比数列,并求出 的通项公式 (2)设数列 的前 n 项和为 ,且对任意 ,有 成立,求 25.．（2012-2013-2 天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷（理））设数列 的前 项和为 .已 知 ， ， ． （Ⅰ）求数列 的通项公式；（Ⅱ）记 为数列 的前 项和，求 ． 26.．（天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理科数学）设数列{a }的前 n 项和为 S ，且满足 S =2-a ，n=1，2，3，… （1）求数列{a }的通项公式；（4 分） （2）若数列{b }满足 b =1，且 b =b +a ，求数列{b }的通项公式；（6 分） （3）设 C =n（3- b ），求数列{ C }的前 n 项和 T 。（6 分） }{ na ( )2,34,3,1 * 1121 ≥∈−=== −+ nNnaaaaa nnn }{ 1 nn aa −+ }{ na }{ nb nS *Nn ∈ 122 2 2 1 1 +=+++ nna b a b a b n n  nS n n n n n n n 1 1+n n n n n n n n { }na n 11( ) 22 n n nS a −= − − + n 2n n nb a= { }nb { }na 1 2 1 ,n n n n nC a T C C Cn += = + + + nT 5 2 1 n n + { }na nS 1 1a = 1 3 1n na S+ = + n ∗∈N { }na nT { }nna n nT 27.．（天津市滨海新区五所重点学校 2013 届高三联考试题数学（理）试题）已知数列 的前 项和 为 ,且 , 数列 满足 ,且点 在直线 上. (Ⅰ)求数列 、 的通项公式; (Ⅱ)求数列 的前 项和 ; (Ⅲ)设 ,求数列 的前 项和 . 28.．（天津市天津一中 2013 届高三上学期第二次月考数学理试题）对 n∈N∗ 不等式 所表示 的平面区域为 Dn,把 Dn 内的整点(横坐标与纵坐标均为整数的点)按其到原点的距离从近到远排 成 点 列 (x1,y1),(x2,y2),⋯,(xn,yn), 求 xn,yn;(2) 数 列 {an} 满 足 a1=x1, 且 n≥2 时 an=yn2 证明:当 n≥2 时, ;(3)在(2)的条件下,试比较 与 4 的大小关系. 29. ．（ 天 津 市 天 津 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 第 二 次 月 考 数 学 理 试 题 ） 数 列 {an} 满 足 4a1=1,an-1=[(-1)nan-1-2]an(n≥2),(1)试判断数列{1/an+(-1)n}是否为等比数列,并证明;(2)设 an2∙bn=1,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 30.．（天津市天津一中 2013 届高三上学期第三次月考数学理试题）已知 ,点 在函数 的图象上,其中 (1)证明数列 是等比数列; (2)设 ,求 及数列 的通项; (3)记 ,求数列 的前 项和 . { }na n nS *2 2 ( )n nS a n N= − ∈ { }nb 1 1b = * 1( , ) ( )n nP b b n N+ ∈ 2y x= + { }na { }nb { }n na b⋅ n nD 2 2 *sin cos ( )2 2n n n n nc a b n N π π= ⋅ − ⋅ ∈ { }nc 2n 2nT    +−≤ > > nnxy y x 2 ,0 ,0 ).111( 2 1 2 2 2 1 − +++ nyyy  222 1 1 )1( nn a n a nn =−+ + )11()11()11()11( 321 naaaa +⋅⋅+⋅+⋅+  1 2a = 1( , )n na a + 2( ) 2f x x x= + 1,2,3n =  { }lg(1 )na+ 1 2(1 ) (1 ) (1 )n nT a a a= + ⋅ + ⋅ ⋅ + nT { }na 1 1 2n n n b a a = + + { }nb n nS 31.．（天津市新华中学 2013 届高三第三次月考理科数学）设数列{ }的前 项和为 ，且满足 =2- ，( =1，2，3，…) (Ⅰ)求数列{ }的通项公式； (Ⅱ)若数列{ }满足 =1，且 ，求数列{ }的通项公式； (Ⅲ) ,求 的前 项和 32.．（天津耀华中学 2013 届高三年级第三次月考理科数学试卷）（本小题满分 14 分）已知数列{an}的 前 n 项和 ，数列{bn}满足 . （1）求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式； （2）设数列 的前 n 项和为 Tn，证明： 且 时， ； （3）设数列{cn}满足 （ 为非零常数， ），问是否存在整数 ， 使得对任意 ，都有 . na n nS nS na n na nb 1b 1n n nb b a+ = + nb 2 )b-n(3 n=nc nc n nT )(2)2 1( *1 NnaS n nn ∈+−−= − n n n ab 2=   + nan n 1 *Nn ∈ 3≥n 12 5 +> n nTn nca nn nn λ1)1()3( −−=− λ *Nn ∈ λ *Nn ∈ nn cc >+1 最新 2013 届天津高三数学试题精选分类汇编 5：数列参考答案 一、选择题 1. C 2. A 3. A 4. 【答案】A 【解析】因为 ，所以 ，即 ，解得 。若存在两项 ， 有 ， 即 ， ， 即 ， 所 以 ， 即 。 所 以 ， 当 且 仅 当 即 取等号，此时 ，所以 时取最小值，所以最小值为 ，选 A. 5. 【答案】C 【解析】由 ，得 。由 ，德 。所 以 ，选 C. 6. 【答案】C 解:设三个内角 为等差数列,则 ,所以 .又 为等比数列,所以 , 即 , 即 , 所 以 ,所以三角形为等边三角形,选 C. 7. 【答案】A 【解析】因为 ，所以 ，即 ，解得 。若存在两项 ， 有 ， 即 ， ， 即 ， 所 以 ， 即 。 所 以 7 6 5= 2a a a+ 2 5 5 5= 2a q a q a+ 2 2 0q q− − = 2q = ,n ma a 14m na a a= 2 116m na a a= 2 2 2 1 116m na q a+ − = 22 16m n+ − = 2 4, 6m n m n+ − = + = 16 m n+ = 1 4 1 4 1 4 1 4 3( )( ) (5 ) (5+2 )=6 6 6 2 m n m n m n m n m n n m n m ++ = + = + + ≥ × 4 =m n n m 2 24 , 2n m n m= = 6 3m n m+ = = 2, 4m n= = 3 2 1 4 7 =39a a a+ + 4 43 =39 =13a a， 3 6 9 =27a a a+ + 6 63 =27 =9a a， 1 9 4 6 9 9( ) 9( ) 9 (13 9)= = =9 11=992 2 2 a a a aS + + × += × , ,A B C 2A C B+ = 60B =  , ,a b c 2ac b= 2 2 2 2 22 cos60b a c ac a c ac ac= + − = + − = 2 2 2 0a c ac+ − = 2( ) 0,a c a c− = = 7 6 5= 2a a a+ 2 5 5 5= 2a q a q a+ 2 2 0q q− − = 2q = ,n ma a 14m na a a= 2 116m na a a= 2 2 2 1 116m na q a+ − = 22 16m n+ − = 2 4, 6m n m n+ − = + = 16 m n+ = ， 当 且 仅 当 即 取等号，此时 ，所以 时取最小值，所以最小值为 ，选 A. 8. 【答案】D 【解析】由 得， ，即 ，所以 ，选 D. 9. 【答案】A 解 ： 因 为 成 等 差 数 列 ， 所 以 ， 即 ， 所 以 ，即 ，所以 ，所以 ，所以 的前 5 项和 ，选 A. 二、填空题 10. 【答案】16 【解析】在等比数列中， ，所以由 ，得 ，即 。 11. 12. 【答案】 【 解 析 】 因 为 ， 所 以 ， 即 数 列 是 以 为首项，公比 的等比数列，所以数列的通项 。所以 13. 【答案】6 解:在等差数列中, ,所以 , .所以在等比数列中 1 4 1 4 1 4 1 4 3( )( ) (5 ) (5+2 )=6 6 6 2 m n m n m n m n m n n m n m ++ = + = + + ≥ × 4 =m n n m 2 24 , 2n m n m= = 6 3m n m+ = = 2, 4m n= = 3 2 5 2 83( )S a a= + 1 5 5 5( ) 3 22 a a a + = × 3 55 6a a= 5 3 5 6 a a = 1 2 34 ,2 ,a a a 1 3 24 4a a a+ = 2 1 1 14 4a a q a q+ = 2 4 4 0q q− + = 2( 2) 0 2q q− = =， 1 1 1 2n n na a q − −= = 11 1( )2 n na −=       na 1 5 5 5 11(1 ( ) ) 1 312 2[1 ( ) ]1 2 161 2 S − = = − = − 2 98 40 60a a a a= 2 2 98log ( ) 4a a = 4 2 98 2 16a a = = 40 60 16a a = 12 3, 1n na n+= − ≥ 1 2 3n na a+ = + 1 3 2 3 3 2( 3)n n na a a+ + = + + = + { 3}na + 1 3 4a + = 2q = 1 13 4 2 2 , 1n n na n− ++ = × = ≥ 12 3, 1n na n+= − ≥ 7 1 6 4a a d= + = 1 2d = 3 1 2 1 1 2a a d= + = + = 2( ) 3 3 1f n n n= − + , 即 . 所 以 , . 则 由 ,得 ,即 ,所以 的最小值为 6. 14. 【答案】6 或 7 【解析】假设 最大，则有 ，即 ，所以 ， 即 ，所以最大项为第 6 或 7 项。 15. 【答案】 【 解 析 】 设 ， 即 ， 所 以 ，即 ，所以数列 是以 为首项，公比 的等比 数列，所以 ，所以 . 16. 【答案】 【解析】 ，所以 ， 。 17. 18. 【答案】4 解 ： 设 首 项 为 ， 则 ， ， ， 所 以 ， 因 为 2 1b b q= 2 1 2 1 6 3 bq b = = = 26 1 25 2725 1 2 2a a d= + = + = 1 1 1 16( )3 n n nb b q − −= = 1 5 26 1 276( ) 3 13 2 n n nb a − −= × = < 5 0n− < 5n > n na 1 1 n n n n a a a a + − ≥  ≤ 1 1 7 7( 1)( ) ( 2)( )8 8 7 7( 1)( ) ( )8 8 n n n n n n n n + −  + ≥ +  + ≥  7( 1) ( 2) 8 7( 1) 8 n n n n  + ≥ + ×  + ≥ 6 7n≤ ≤ 3 2 ,n n na n N= − ∈  1 1 2 3( 2 )n n n na x a x+ + + = +  1 1 3 3 2 2 3 2n n n n n na a x x a x+ + = + − = +   1x = 1 1 2 3( 2 )n n n na a+ + + = + { 2 }n na + 1 2 3a + = 3q = 12 3 3 3n n n na −+ = × = 3 2 ,n n na n N= − ∈  2 1 n n + 1 1 1 1( )(2 1)(2 1) 2 2 1 2 1n n n n = −− + − + 1 1 1 1 1 1(1 )2 3 3 5 2 1 2 1S n n = − + − + + −− + 1 1(1 )2 2 1 2 1 n n n = − =+ + 2 32 nn − 1a 1[1 ( 2) ] 1 2 n n aS −= − 2 1 2 [1 ( 2) ] 1 2 n n aS −= − 1 1( 2)n na a+ = 1 217 + −= n nn n a SST 2 1 1 1 17 [1 ( 2) ] [1 ( 2) ] 1 2 1 2 ( 2) n n n a a a − −− − −= 21 ( 2) 17( 2) 16 1 2 ( 2) n n n − += −  1 1[( 2) 17] 1 2 ( 2) n n = + − −  ，当且仅当 ，即 ， 时 取等号，此时 ,有最大值，所以 . 三、解答题 19.　解：（Ⅰ）∵点 M 在直线 x= 上，设 M . 　　　　　又 ＝ ，即 ， ， 　　　　　∴ + =1. 　　　　　① 当 = 时， = ， + = ； 　　　　　② 当 时， ， 　 　 　 　 　 + = + = = = 　　　　　综合①②得， + . 　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 + =1 时, + 　　　　　∴ ，k= . 　　　　　n≥2 时， + + + 　，　　　　　 ① 　　　　　 　，　　　 　　② 　　　　　①＋②得，2 =-2(n-1),则 =1-n.　　 　　　　　当 n=1 时， =0 满足 =1-n. ∴ =1-n. 　　（Ⅲ） = = ， =1+ + = . 16 16( 2) 2 ( 2) 8 ( 2) ( 2) n n n n + ≥ × = 16( 2) ( 2) n n = ( 2) 4n = 4n = 1 1 1 9[( 2) 17] (8 17) 1 2 ( 2) 1 2 2 1 n n nT = + − ≤ × − = − − − 0 4n = 　　　　　 . 　　　　　 =2- ， = -2+ =2- ， 　　　　　∴ ， 、m 为正整数，∴c=1， 　　　　　当 c=1 时， ， 　　　　　∴1< <3， 　　　　　∴m=1. 20.解：（Ⅰ）由 　　　　　又 　　　　　故解得 　　　　　因此， 的通项公式是 1，2，3，…， 　　　　　 （Ⅱ）由 　得 　　　　　即 　　　　　由①+②得－7d<11，即 　　　　　由①+③得 , 即 , 　　　　　于是 　又 ，故 . 　　　　　将 4 代入①②得 　　　　　又 ，故 　　　　　所以，所有可能的数列 的通项公式是 　　　　　 1，2，3，…. 21.设等比数列 的前 项和为 ,已知 . (Ⅰ)求数列 的通项公式; (Ⅱ)在 与 之间插入 个数,使这 个数组成公差为 的等差数列,设数列 的前 项和 ,证明: . 【D】18．解(Ⅰ)由 N*)得 N*, ), 两式相减得: , 即 N*, ), ∵ 是等比数列,所以 ,又 则 ,∴ , ∴ (Ⅱ)由(1)知 , ∵ , ∴ , 令 , 则 + ① ② ①-②得 { }na n nS 1 2 2( )n na S n N ∗ + = + ∈ { }na na 1na + n 2n + nd 1 nd     n nT 15 16nT < 1 2 2(n na S n+ = + ∈ 12 2(n na S n−= + ∈ 2n ≥ 1 2n n na a a+ − = 1 3 (n na a n+ = ∈ 2n ≥ { }na 2 13a a= 2 12 2,a a= + 1 12 2 3a a+ = 1 2a = 12 3n na −=  1 2 3n na + =  12 3n na −=  1 ( 1)n n na a n d+ = + + 14 3 1 n nd n −×= + 1 2 3 1 1 1 nT d d d = + + + 1 nd + 0 1 2 2 3 4 4 3 4 3 4 3nT = + +× × × 1 1 4 3n n − ++  +⋅+⋅= 21 34 3 34 2 3 1 nT 1 1 4 3 4 3n n n n − ++ +   0 1 2 2 2 1 1 3 4 3 4 3 4 3nT = + + +    1 1 1 4 3 4 3n n n − ++ −   1 1 1(1 )1 1 1 5 2 53 3 12 4 4 3 8 8 31 3 n n n n n−− + += + × − = − −   22.解:(1) ----6 {bn}为等比数列, 又 b1 = , q= ---------------------7 (2)由(1)可知 ------------------------13 23.解:(I)在 中,令 n=1,可得 ,即 当 时, , . . 又 数列 是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是 . (II)由(I)得 ,所以 ① 1 15 2 5 15 16 16 3 16n n nT − +∴ = − <  2 1 )1( 1 )2)(1( 1 )2)(1(2 2 2 )1( 1 )2)(1( 1 1 1 = +− ++−++ −+ = +− ++− = + + nna nnnnn na nna nna b b n n n n n n ∴  2 1 2 1 ∴ n nb )2 1(= )1( 1 2 ++= nn nC nn ∴ )1( 1 32 1 21 1 22 3 2 2 2 11 32 ++−−−+×+×++−−−+++•= nn nT nn ∴ 31 1 2 23 <+−+−= n nT nn 11( ) 22 n n nS a −= − − + 1 11 2nS a a= − − + = 1 1 2a = 2n ≥ 2 1 1 1 1 1 1 1( ) 2 ( )2 2 n n n n n n n n nS a a S S a a− − − − − −= − − + ∴ = − = − + +， 1 1 n 1 1 12a ( ) , 2 12 n n n n na a a− − − −∴ = + = +n即2 1 12 , 1, n 2 1n n n n n nb a b b b− −= ∴ = + ≥ − = n即当 时，b 1 12 1,b a= = ∴ }{ nb 1 ( 1) 1 2 , 2 n n n n n nb n n a a= + − ⋅ = = ∴ = 1 1( 1)( )2 n n n nc a nn += = + ② 由 ①-② 得 于是确定 的大小关系等价于比较 的大小 由 可猜想当 证明如下: 证法 1:(1)当 n=3 时,由上述验算显示成立. (2)假设 时 所以当 时猜想也成立 综合(1)(2)可知,对一切 的正整数,都有 证法 2:当 时, 综上所述,当 ,当 时 24.解:(1)由 可得 , 是以 2 为首项,3 为公比的等比数列 1 1 1 1 1[1 ( ) ] 1 3 34 21 ( 1)( )1 2 2 21 2 33 2 n n n n n nn nT − + + − += + − + = − − +∴ = − 5 3 5 ( 3)(2 2 1)32 1 2 2 1 2 (2 1) n n n n n n n n nT n n n + + − −− = − − =+ + + 5 2 1n nT n +与 2 2 1n n +与 3 2 2 1.nn n≥ > +时， 1n k= + 1n k= + 3n ≥ 2 2 1.n n> + 3n ≥ 1,2n = 时 5 2 1n nT n < + 3n ≥ 5 2 1n nT n > + 11 34 −+ −= nnn aaa 2),(3 1211 =−−=− −+ aaaaaa nnnn }{ 1 nn aa −∴ + 112211 )()()( aaaaaaaa nnnnn +−++−+−=∴ −−−  (2) 时, 时, 设 则 综上, 25.解：（Ⅰ）由题意， ，则当 时， . 两式相减，得 （ ）. ……………………………………………2 分 又因为 ， ， ，……………………………………………4 分 所以数列 是以首项为 ，公比为 的等比数列，……………………5 分 所以数列 的通项公式是 （ ）. ………………………………6 分 （Ⅱ）因为 ， 所以 ， ……………………8 分 1 1 3131 )31(2 − − =+− −= n n 1=n 3,3,3 11 1 1 === Sba b 2≥n 1322,2)12(12 −×===−−+= n nn n n nnabnnna b 12 323323223 −××++××+××+= n n nS  1)3333231(2 1210 +×++×+×+×= −nn 1210 3333231 −×++×+×+×= nnx  nn nnx 33)1(3332313 1321 ×+×−++×+×+×= −  2 133)333(32 021 −−×=+++−×= −− n nnnn nnx  2 332 1 +×     −= n n nS 2 332 1 +×     −= n n nS 1 3 1n na S+ = + 2n ≥ 13 1n na S −= + 1 4n na a+ = 2n ≥ 1 1a = 2 4a = 2 1 4a a = { }na 1 4 { }na 14n na −= n ∗∈N 2 1 1 2 32 3 1 2 4 3 4 4n n nT a a a na n −= + + + + = + × + × + + ⋅  2 3 14 4 1 2 4 3 4 ( 1) 4 4n n nT n n−= × + × + × + + − ⋅ + ⋅ 两式相减得， ， ………11 分 整理得， ( ). ………………………………13 分 26. （1）a =S =1 1 分 n≥2 时，S =2-a 1 分 S =2-a 1 分 a =a +a 2a = a ∵a =1 = 1 分 ∴a =( ) 1 分 （2）b -b =（ ) 1 分 1 分 ∴b -b =( )+……+（ ) = 1 分 =2- ∴b =3- 1 分 ∵b =1 成立 1 分 ∴b =3-（ ) 1 1 n n 1−n 1−n n n 1−n n 1−n 1 1−n n a a 2 1 n 2 1 1−n 1−n n 2 1 1−n         =− =− =− − − 2 1 1 23 0 12 )2 1( )2 1( )2 1( n nn bb bb bb n 1 2 1 2 1 2−n 2 11 2 11 1 − − −n 22 1 −n n 22 1 −n 1 n 2 1 2−n 2 1 1 43 1 4 4 4 4 41 4 n n n n nT n n− −− = + + + + − ⋅ = − ⋅− 3 1 149 9 n n nT −= ⋅ + n ∗∈N （3）C =n（ ) 1 分 T =1×（ ) +2（ ) +……+n（ ) T =1×（ ) +……+(n-1) （ ) +n（ ) =2+ -n（ ) =2+2-（ ) -n（ ) ∴T =8- - =8- 27. 【解】(Ⅰ)当 , 当 时, ∴ ,∴ 是等比数列,公比为 2,首项 ∴ 又点 在直线 上,∴ , ∴ 是等差数列,公差为 2,首项 ,∴ (Ⅱ)∴ ∴ ① ② ①—②得 n 2 1 2−n n 2 1 1− 2 1 0 2 1 2−n 2 1 n 2 1 0 2 1 2−n 2 1 1−n 2 11 2 11 1 − − −n 2 1 1−n 2 1 2−n 2 1 1−n n 32 1 −n 22 −n n 22 2 − + n n 1=n 21 =a 2≥n 1 12 2n n n n na S S a a− −= − = − 12 ( 2)n na a n−= ≥ { }na 1 2a = 2n na = * 1( , ) ( )n nP b b n N+ ∈ 2y x= + 1 2n nb b+ = + { }nb 11 =b 2 1nb n= − (2 1) 2n n na b n⋅ = − × 1 2 3 4 11 2 3 2 5 2 7 2 (2 3) 2 (2 1) 2n n nD n n−= × + × + × + × + − × + − × 2 3 4 5 12 1 2 3 2 5 2 7 2 (2 3) 2 (2 1) 2n n nD n n += × + × + × + × + − × + − × 1 2 3 4 11 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 1) 2n n nD n +− = × + × + × + × + × − − × 1 1 14(1 2 )2 2 (2 1) 2 2 (3 2 ) 61 2 n n nn n − + +−= + × − − × = − −− 1(2 3)2 6n nD n += − + (Ⅲ) 28.解:(1)当 n=1 时,(x1,y1)=(1,1) n=2 时,(x2,y2)=(1,2) (x3,y3)=(1,3) n=3 时,(x4,y4)=(1,4) n 时 (xn,yn)=(1,n) (2)由 (3)当 n=1 时, 时, 成立 由(2)知当 n≥3 时, 即 = = = = 得证 2 (2 1) n nc n = − − 为偶数 为奇数 n n 2 1 3 2 1 2 4 2( ) ( )n n nT a a a b b b−= + + + − + +  2 1 3 2 1 22 22 2 2 [3 7 (4 1)] 23 n n n n n + − −= + + + − + + + − = − −  1 ( *)n n x n Ny n =∴ ∈ = 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1( )1 2 3 ( 1) 1 1 1 1 1 ( 1)( )( 1) 1 2 3 n n n n a n n a a a n n n n n + +  = + + + + − ∴ − = + = + + + + +   1 11 2 4, 2na + = < = 1 2 1 1 5(1 )(1 ) 2 44a a + + = × < 1 2 2 1 ( 1) n na a n n + +=+ 2 2 1 1 ( 1) n n a n a n+ + = + 31 2 1 2 3 1 2 3 1 11 11 1 1 1(1 )(1 )(1 ) (1 ) n n n a aa a a a a a a a a a + ++ ++ + + + = ⋅ ⋅  3 11 2 2 3 4 1 11 11 (1 )n n n a aa a aa a a a a −+ ++ +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + 2 2 2 2 12 2 2 2 1 2 3 ( 1)2 4 3 4 ( 1) n n n an n + −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ 1 2 2 2 2 2 1 1 1 12 2[1 ]( 1) 2 3 ( 1) na n n n +⋅ = + + + + ++ − 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1( 2) 2[1 (1 ) ( ) ( )]( 1) 1 2 2 3 1nn n n n n n n < = − ≥ < + − + − + + −− − −  1 22(2 ) 4 4n n − = − < 29.解:(1)由 即 另: 是首项为 3 公比为-2 的等比数列 (2)由 = 30. (Ⅰ)由已知 , ,两边取对数得 ,即 是公比为 2 的等比数列. 1 1 2( 1)n n na a − = − − 1 1 1 1[ ( 1) ] 2[ ( 1) ]n n n na a − − + − = − − − 1 1 1 ( 1) 2( * 2)1 ( 1) n n n n a n N n a − − + − = − ∈ ≥ + − 且 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 21 ( 1) ( 1) 2( 1) 2 21 1 ( 1) 1( 1) ( 1) n n nn n n n n n n n n n n a a a a a a a − − − − − − − − −+ − + − − −= = = −− ++ − + − 1 ( 1)n na  ∴ + −    1 1 11 1( 1) 3( 2) 3( 2) ( 1)n n n n n na a − − −+ − = − ∴ = − + − 2 1n na b = 1 1 2 1 9 4 6 2 1n n n n b a − −∴ = = ⋅ + ⋅ + 9(4 1) 6(2 1) 4 1 2 1 n n nS n − −= + +− − 3 4 6 2 9( *)n n n n N⋅ + ⋅ + − ∈ 2 1 2n n na a a+ = + 2 1 1 ( 1)n na a+∴ + = + 1 2a = 1 1na∴ + > 1lg(1 ) 2lg(1 )n na a++ = + 1lg(1 ) 2lg(1 ) n n a a ++ =+ {lg(1 )}na∴ + (Ⅱ)由(Ⅰ)知 (*) = 由(*)式得 (Ⅲ) 又 . 31.解: (Ⅰ)∵n=1 时，a1+S1=a1+a1=2 ∴a1=1 ∵Sn=2-an 即 an+Sn=2 ∴an+1+Sn+1=2 两式相减：an+1-an+Sn+1-Sn=0 即 an+1-an+an+1=0，故有 2an+1=an ∵an≠0 ∴ (n∈N*) 所以，数列{an}为首项 a1=1，公比为 的等比数列.an= (n∈N*) 1 1lg(1 ) 2 lg(1 )n na a−+ = ⋅ + 11 22 lg3 lg3 nn −−= ⋅ = 121 3 n na −∴ + = 1 2(1 )(1 )nT a a∴ = + + n… ( 1+a ) 0 1 22 2 23 3 3= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ n- 12… 3 21 2 23 + + += n- 1… +2 n2 - 13 123 1n na −= − 2 1 2n n na a a+ = + 1 ( 2)n n na a a+∴ = + 1 1 1 1 1( )2 2n n na a a+ ∴ = − + 1 1 1 2 2n n na a a + ∴ = −+ 1 1 2n n n b a a = + + 1 1 12( )n n n b a a + ∴ = − 1 2nS b b∴ = + + n… +b 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 12( ) n na a a a a a + = − + − + −… + 1 1 1 12( ) na a + = − 12 2 1 13 1, 2, 3 1n n n na a a − += − = = − 2 21 3 1nnS∴ = − − 2 11 =+ n n a a 2 1 1)2 1( −n bn-b1=1+ 又∵b1=1，∴bn=3-2( )n-1(n=1，2，3，…) (3) 所以 32.解：（1）在 中，令 n=1，可得 ，即 当 时， ，∴ ， ∴ ，即 . ∵ ，∴ ，即当 时， . 又 ，∴数列{bn}是首项和公差均为 1 的等差数列. 于是 ，∴ . （2）由（1）得 ，所以 ① 1 1 232 )2 1(22 2 11 )2 1(1 )2 1()2 1()2 1(2 1 − − − −= − − =++++ n n n  2 1 1-2nn nc = 2 1 2 1 1 1 1 1 22 2 1 4 42 2 2 2 2 2n n n n n n n n n n nT T T − − − − − += − = + + + + − = − − = − 2)2 1( 1 +−−= −n nn aS 11 21 aaS n =+−−= 2 1 1 =a 2≥n 2)2 1( 2 11 +−−= − −− n nn aS 1 11 )2 1( − −− ++−=−= n nnnnn aaSSa 1 1 )2 1(2 − − += n nn aa 122 1 1 += − − n n n n aa n n n ab 2= 11 += −nn bb 2≥n 11 =− −nn bb 12 11 == ab n n n annb 21)1(1 ==⋅−+= nn na 2 = n nn nan nc )2 1)(1(1 +=+= n n nT )2 1)(1()2 1(4)2 1(32 12 32 ++…+×+×+×= ② 由①－②得 ∴ 于是确定 Tn 与 的大小关系等价于比较 与 2n+1 的大小 由 可猜想当 时， .证明如下： 证法 1：①当 n=3 时，由上验算显示成立. ②假设 n=k+1 时 所以当 n=k+1 时猜想也成立 综合①②可知，对一切 的正整数，都有 . 证法 2：当 时 综上所述，当 n=1,2 时 ，当 时 （3）∵ ∴ ∴ ① 1432 )2 1)(1()2 1(4)2 1(3)2 1(22 1 +++…+×+×+×= n n nT 132 )2 1)(1()2 1()2 1()2 1(12 1 ++−+…+++= nn n nT 1 1 1 2 3 2 3)2 1)(1( 2 11 ])2 1(1[4 1 1 + + − +−=+− − − += n n n nn nn nT 2 33 +−= )12(2 )122)(3( 12 5 2 3312 5 + −−+=+−+−=+− n nn n nn n nT n n nn 12 5 +n n n2 …×<+×<+×<+×<+×< ;522;1422;1322;1222;1122 5432 3≥n 122 +> nn 1)1(2)12(1)1(224)12(2222 1 ++>−+++=+=+>=+ kkkkkg kk 3≥n 122 +> nn 3≥n 1222)11(2 1101210 +>+=+++≥++…+++=+= −− nnCCCCCCCCC n n n nnn n n n nnnn nn 12 5 +< n nTn 3≥n 12 5 +> n nTn nnn n n n n a nc 2)1(3)1(3 1 1 ⋅−+⋅−+= − − λλ ]2)1(3[]2)1(3[ 111 1 nnnnnn nn cc ⋅−+−⋅−+=− −++ + λλ 02)1(332 1 >⋅−−⋅= − nnn λ 1 1 2 3)1( − −     <⋅− n n λ 当 n=2k－1，k=1,2,3,……时，①式即为 ② 依题意，②式对 k=1,2,3……都成立，∴ 当 n=2k,k=1,2,3,……时，①式即为 ③ 依题意，③式对 k=1,2,3……都成立， ∴ ∴ ，又 ∴存在整数 ，使得对任意 有 . 22 2 3 −     < k λ 1<λ 12 2 3 −     −> k λ 2 3−>λ 12 3 <<− λ 0≠λ 1−=λ *Nn ∈ nn cc >+1