数学理卷·2018届北京市北京师范大学附属中学高三上学期期中考试试题(解析版)

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数学理卷·2018届北京市北京师范大学附属中学高三上学期期中考试试题(解析版)

北京师大附中2018届上学期高中三年级期中考试数学试卷(理科)‎ 本试卷共150分,考试时间120分钟.‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请将答案填写在答题纸上.‎ ‎1. 已知集合,,则集合中元素的个数为( )‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】由得,解得:,即,∵,∴,则集合中元素的个数为2,故选B.‎ ‎2. 设命题,则为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析:根据命题的否定和全称命题的否定是特称命题,可知命题:,则为.‎ 考点:命题的否定.‎ ‎3. 已知为等差数列,为其前n项和.若,则=( )‎ A. 6 B. 12 C. 15 D. 18‎ ‎【答案】A ‎【解析】设等差数列的公差为,∵,,∴,,解得,,则,故选A.‎ ‎4. 设函数,则“”是“函数为奇函数”的( )‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析:当时,函数,此时函数为奇函数;反之函数为奇函数,则,所以“”是“函数为奇函数”的充分必要条件.‎ 考点:1.充分必要条件的判断;2.函数的奇偶性.‎ ‎5. 设函数的图象为C,下面结论中正确的是( )‎ A. 函数的最小正周期是 B. 图象C关于点对称 C. 图象C可由函数的图象向右平移个单位得到 D. 函数在区间上是增函数 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析:的最小正周期,∵,∴图象关于点对称,∴图象可由函数的图象向右平移个单位得到,函数的单调递增区间是 ,当时, ,∴函数在区间上是先增后减.‎ 考点:三角函数图象、周期性、单调性、图象平移、对称性.‎ ‎6. 若则a,b,c的大小关系是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵,,,则,,的大小关系是,故选D.‎ ‎7. 设D为不等式组表示的平面区域,点B(1,b)为坐标平面xOy内一点,若对于区域D内的任一点A(x,y),都有成立,则b的最大值等于( )‎ A. 1 B. 2‎ C. 0 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】由作出平面区域D如图, 联立,解得,联立,解得,联立,解得,由,得,即,即的最大值为1,故选A.‎ 点睛:本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,考查了平面向量数量积的坐标运算,是中档题;作出不等式组所表示的区域,根据当目标函数为线性时,其最值一定在交点处取得列出不等式组,解出即可.‎ ‎8. 已知函数,。若函数 ‎ 恰有6个不同的零点,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 点睛:本题考查了分段函数的图象与性质、含绝对值函数的图象、对数函数的图象、函数图象的交点的与函数零点的关系,考查了推理能力与计算能力、数形结合的思想方法、推理能力与计算能力,此题最大的难点在于讨论与1的关系,得到的解析式.‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.请将答案填写在答题纸上.‎ ‎9. 若等比数列满足,则前n项和=______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵等比数列满足,,∴,解得,,∴前项和,故答案为.‎ ‎10. 若,且,则的最小值是___________.‎ ‎【答案】64‎ ‎【解析】∵,∴,即,由,,当且仅当时等号成立,即的最小值是64,故答案为64.‎ 点睛:本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值,其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求最值,这三个条件缺一不可.(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.‎ ‎11. 已知向量a,b不共线,若∥,则实数=___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵向量,不共线,由,则存在非零实数,使,即,解得:,故答案.‎ ‎12. 设向量,向量,向量,若∥且,则与的夹角大小为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意,向量,,若∥,则有,解可得,若,则有,解可得;则,;设与 的的夹角为,,,则有,又∵,∴,即与的夹角大小为,故答案为.‎ ‎13. 在△ABC中,∠C=120°,,则_______________‎ ‎【答案】2‎ ‎ ‎ ‎14. 对有限数列,定义集合,集合S中不同的元素个数记为 ‎(1)若,则=_________;‎ ‎(2)若有限数列是单调递增数列,则最小值为_____________‎ ‎【答案】 (1). 6 (2). ‎ ‎【解析】(1)当时,有限数列为,故,由的意义可知,,故答案为6;(2)由的定义可知,当是等差数列时,最小,∴集合,∴集合中的元素个数,故答案为.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎15. 设函数,其中向量,,,且 的图象经过点.‎ ‎(I)求实数m的值;‎ ‎(II)求函数的最小值及此时x值的集合.‎ ‎【答案】(Ⅰ)1;(Ⅱ)的最小值为,x值的集合为.‎ ‎【解析】试题分析:(Ⅰ)利用向量的数量积化简函数的表达式,通过函数的图象经过点,求实数的值;(Ⅱ)通过(Ⅰ)利用两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式,然后求函数的最小值及此时值的集合.‎ 试题解析:(I),‎ 由已知,得.‎ ‎(II)由(I)得,‎ ‎∴当时,的最小值为,‎ 由,得x值的集合为.‎ 点睛:本题主要考查了三角函数的化简,以及函数的性质,属于基础题,强调基础的重要性,是高考中的常考知识点;对于三角函数解答题中,当涉及到周期,单调性,单调区间以及最值等都属于三角函数的性质,首先都应把它化为三角函数的基本形式即,然后利用三角函数的性质求解.‎ ‎16. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.‎ ‎(1)求角C;‎ ‎(2)若,△ABC的面积为,D为AB的中点,求sin∠BCD.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】试题分析:(1)首先根据正弦定理边化为角,得到 ,求得 ;(2)由条件可知三角形为等腰三角形,并且顶角为,这样根据面积可求得三角形的边长,在内可根据余弦定理求得 ,最后根据正弦定理求.‎ 试题解析:(1)由,得,‎ 由正弦定理可得,‎ 因为,所以,因为,‎ 所以. ‎ ‎(2)因为,故为等腰三角形,且顶角, ‎ 故, ‎ 所以,在中,由余弦定理得,‎ 所以,‎ 在中,由正弦定理可得,即,‎ 所以.‎ ‎【点睛】解三角形问题,是高考考查的重点,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:‎ 第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向 第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化,一般多根据正弦定理把边转化为角 ,或是 ;‎ 第三步:求结果.‎ ‎17. 已知数列的前n项和,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若,求数列的前n项和.‎ ‎【答案】(1),.(2)‎ ‎【解析】试题分析:(1)利用当时,,验证时也适合,可得数列通项公式;(2)分为为奇数和为偶数两种情形,利用并项求和得数列的前项和.‎ 试题解析:(1)由,‎ 当时,.‎ 当时,,而,‎ 所以数列的通项公式,.‎ ‎(2)由(1)可得,‎ 当为偶数时,,‎ 当为奇数时,为偶数,.‎ 综上,‎ 点睛:本题主要考查了等差数列概念,以及数列的求和,属于高考中常考知识点,难度不大;常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式,并项求和主要用于正负相间的摆动数列,分组求和类似于,其中和分别为特殊数列,裂项相消法类似于,错位相减法类似于,其中为等差数列,为等比数列等.‎ ‎18. 已知函数,,且.‎ ‎(1)求b的值;‎ ‎(2)判断对应的曲线的交点个数,并说明理由.‎ ‎【答案】(1);(2)对应的曲线只有1个交点,理由见解析.‎ ‎【解析】试题分析:(1)由得:函数的对称轴为,故可得的值;(2)令,对函数进行二次求导,先判断先减后增,在处取得最小值0,故可得 单调递增,且,由以上可得交点个数.‎ 试题解析:(1)由已知可得的对称轴是,因此 ‎(2)考虑 ‎,‎ 列表可知,仅有一个根x=0,先减后增,在处取得最小值0,‎ 即.因此单调递增,注意到,可得对应的曲线只有1个交点 ‎19. 设函数.‎ ‎(1)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(2)若在区间上恒成立,求a的最小值.‎ ‎【答案】(Ⅰ).(Ⅱ).‎ ‎【解析】试题分析:(Ⅰ)设切线的斜率为,利用导数求解切线斜率,然后求解切线方程;(2)要使:在区间在恒成立,等价于:在恒成立,利用函数的导数,通过①当时,利用,说明不满足题意.②当时,利用导数以及单调性函数的最小值,求解即可.‎ 试题解析:(I)设切线的斜率为, ‎ 因为,切点为.‎ 切线方程为,化简得:.‎ ‎(II)要使:在区间恒成立,‎ 等价于:在恒成立,‎ 等价于:在(0,+∞)恒成立 因为 ‎①当时,,不满足题意 ‎②当时,令,则或(舍).‎ 所以时,在上单调递减;‎ 时,在上单调递增;‎ 当时 当时,满足题意 所以,得到的最小值为 ‎20. 现有m个()实数,它们满足下列条件:①,‎ ‎②记这m个实数的和为,‎ 即.‎ ‎(1)若,证明:;‎ ‎(2)若m=5,满足题设条件的5个实数构成数列.设C为所有满足题设条件的数列构成的集合.集合,求A中所有正数之和;‎ ‎(3)对满足题设条件的m个实数构成的两个不同数列与,证明:.‎ ‎【答案】(1)证明见解析;(2)256;(3)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析:(1)由为等比数列可得或,当时,数列前项和在各项取正数时取最大值,经计算的最大值为不满足题意,而当时,同理计算的最小值为,满足题意;(2)结合(1)中结论,而,,共种情形,根据其规律得A中正数之和为;(3)不失一般性设使得,,,,…,计算得结论成立.‎ 试题解析:(1)证明:由题意知,,所以或.‎ 当时,数列前项和在各项取正数时取最大值,所以的最大值为 ‎.不合题意,舍去.‎ 当时,‎ ‎.‎ 所以,.‎ ‎(2)解:若,由(I)知,.由题意知,.所以满足题意的所有数列为1,2,4,8,16;-1,2,4,8,16;1,-2,4,8,16;1,2,-4,8,16;…共16个.在这16个数列中,除最后一项外,其他各项正、负各取8次,求和时正负相抵.从而,A中正数之和为16×16=256.‎ ‎(3)证明:设使得,,,,…,则 ‎,所以.‎ ‎ ‎ ‎ ‎
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