2019届高三数学上学期月考试题（一）文（含解析）
2019届高三数学上学期月考试题（一）文（含解析）
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数f(x)＝的定义域是(A)
A. B.∪
C. D.∪
【解析】解不等式6－x－x2>0得(x－2)(x＋3)<0x∈.选A.
2．已知复数z＝，给出下列四个结论：①|z|＝2；②z2＝2i；③z的共轭复数＝－1＋i；④z的虚部为i.其中正确结论的个数是(B)
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】由已知z＝1＋i，则|z|＝，z2＝2i，＝1－i，z的虚部为1.所以仅结论②正确，选B.
3．已知命题p：若a>，则a2>b2；命题q：若x2＝4，则x＝2.下列说法正确的是(A)
A．“p∨q”为真命题 B．“p∧q”为真命题
C．“綈p”为真命题 D．“綈q”为假命题
【解析】由条件可知命题p为真命题，q为假命题，所以“p∨q”为真命题，故选择A.
4．如图，已知＝a，＝b，＝4，＝3，则＝(D)
A.b－a, B.a－b，
C.a－b, D.b－a，
【解析】＝＋＝＋＝(－－＝b－a.选D.
5．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为(A)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．由增加的长度决定
【解析】设增加同样的长度为x，原三边长为a、b、c，且c2＝a2＋b2，a＋b>c.新的三角形的三边长为a＋x、b＋x、c＋x，知c＋x为最大边，其对应角最大．而(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2＝x2＋2(a＋b－c)x>0，由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正，则为锐角，那么它为锐角三角形．故选A.
6．与直线2x－y＋4＝0的平行的抛物线y＝x2的切线方程是(D)
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
【解析】设P(x0，y0)为切点，则切点的斜率为y′|x＝x0＝2x0＝2，∴x0＝1.由此得到切点(1，1)．故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0，故选D.
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7．右边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩(成绩为整数)，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为(D)
A. B. C. D.
【解析】记其中被污损的数字为x.依题意得甲的5次综合测评的平均成绩为90，乙的5次综合测评的平均成绩为(442＋x)，令(442＋x)≥90，由此解得x≥8，即x的可能取值为8和9，由此乙的平均成绩不低于甲的平均成绩的概率为＝，故选D.
8．将函数y＝3sin的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数(A)
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减
【解析】将函数y＝3sin的图象向右平移个单位，所得函数变为y＝3sin，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，令k＝0，≤x≤.故函数在区间上单调递增，故选A.
9．设f(x)＝则不等式f(x)>2的解集为(C)
A．(1，2)∪(3，＋∞) B．(，＋∞)
C．(1，2)∪(，＋∞) D．(1，2)
【解析】令2ex－1>2，解得1
2，解得x为，不等式f(x)>2的解集为(1，2)∪(，＋∞)，故选C.
10.执行如图所示的程序框图，若输入a，b，c分别为1，2，0.3，则输出的结果为(D)
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A．1.125 B．1.25 C．1.3125 D．1.375
【解析】模拟程序的运行，可得a＝1，b＝2，c＝0.3
执行循环体，m＝，不满足条件f(m)＝0，
满足条件f(a)f(m)＜0，b＝1.5，不满足条件|a－b|＜c，m＝1.25，不满足条件f(m)＝0，不满足条件f(a)f(m)＜0，a＝1.25，满足条件|a－b|＜c，
退出循环，输出的值为1.375.故选D.
11．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知(a8－1)3＋2 018(a8－1)＝1，(a2 011－1)3＋2 018(a2 011－1)＝－1，则下列结论正确的是(A)
A．S2 018＝2 018，a2 011a8
C．S2 018＝－2 018，a2 011≤a8 D．S2 018＝－2 018，a2 011≥a8
【解析】设f(x)＝x3＋2 018x，则由f(－x)＝－f(x)知函数f(x)是奇函数．由f′(x)＝3x2＋2 018>0知函数f(x)＝x3＋2 018x在R上单调递增．因为(a8－1)3＋2 018(a8－1)＝1，(a2 011－1)3＋2 018(a2 011－1)＝－1，所以f(a8－1)＝1，f(a2 011－1)＝－1，得a8－1＝－(a2 011－1)，即a8＋a2 011＝2，且a2 0110时，xf′(x)－f(x)＜0，则使得f(x)<0成立的x的取值范围是
A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞)
【解析】设g(x)＝(x≠0)，则g′(x)＝.
当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，
且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.
∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴g(x)的图象的示意图如右图所示．
当x>0时，由f(x)<0，得g(x)<0，由图知x>1，
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当x<0时，由f(x)<0，得g(x)>0，由图知－10)．
(1)当m＝3时，若B＝，求sin (A－C)的值；
(2)当m＝2时，若c＝2，求△ABC面积最大值．
【解析】(1)∵a＋b＝c，∴sin A＋sin B＝sin C，
∴sin A＋＝sin＝，4分
化简得sin A＋cos A＝，∴sin＝，
10
∴A＋＝，即A＝，∴C＝，
∴sin (A－C)＝sin ＝.6分
(2)∵c＝2，∴a＋b＝2，∴b＝2－a，
∴S△ABC＝absin C≤ab，8分
∴S△ABC≤ab＝a(2－a)＝－a2＋a，10分
∴当a＝时，－a2＋a取最大值1，
此时a＝b＝，c＝2满足C＝，∴△ABC面积最大值为1.12分
18.(本题满分12分)
如图，四棱锥P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E、F分别为线段AD、PC的中点．
(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)设∠PDA＝30°，∠BAD＝60°，求直线BF与平面PAC所成的角的大小．
【解析】(1)证明：设AC∩BE＝O，连接OF、EC.
∵E为AD的中点，AB＝BC＝AD，AD∥BC，
∴AE∥BC，AE＝AB＝BC，
∴四边形ABCE为菱形.2分
∴O为AC的中点.3分
又F为PC的中点，在△PAC中，可得AP∥OF.4分
又OF平面BEF，AP平面BEF.5分
∴AP∥平面BEF.6分
(2)由题意知ED∥BC，ED＝BC.
∴四边形BCDE为平行四边形，∴BE∥CD.
又AP⊥平面PCD，∴AP⊥CD，∴AP⊥BE.
∵四边形ABCE为菱形，∴BE⊥AC.
又AP∩AC＝A，AP、AC平面PAC，∴BE⊥平面PAC.
∴直线BF与平面PAC所成的角为∠BFO.8分
不妨设AP＝2，∵∠PDA＝30°，∴AE＝AD＝2，
又∵四边形ABCE为菱形，∠BAD＝60°，∴OB＝1，
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∵Rt△BOF中，OF＝AP＝1，OB＝1，∴∠BFO＝45°.11分
故直线BF与平面PAC所成的角的大小为45°.12分
19．(本小题满分12分)
已知数列{an}中，Sn为其前n项和，且a1≠a2，当n∈N＋时，恒有Sn＝pnan(p为常数)．
(1)求常数p的值；
(2)当a2＝2时，求数列{an}的通项公式；
(3)在(2)的条件下，设bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：Tn<.
【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1，∴a1＝pa1，p＝1或a1＝0，
当p＝1时，Sn＝nan则有S2＝2a2a1＋a2＝2a2a1＝a2与已知矛盾，
∴p≠1，只有a1＝0.2分
当n＝2时，由S2＝2pa2a1＋a2＝2pa2，∵a1＝0又a1≠a2，∴a2≠0，
∴p＝.4分
(2)∵a2＝2，Sn＝nan，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，6分
(n－2)an＝(n－1)an－1＝，
∴＝an＝2n－2.8分
当n＝1时，a1＝2×1－2＝0也适合，∴an＝2n－2.9分
(3)bn＝＝<＝－.10分
当n＝1，2时，显然成立，当n≥3时有
∴Tn<1＋＋＋…＋＝－<.12分
20．(本题满分12分)
已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，设点F1、F2与椭圆短轴的一个端点构成斜边长为4的直角三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设A、B、P为椭圆C上三点，满足＝＋，记线段AB中点Q的轨迹为E，若直线l：y＝x＋1与轨迹E交于M、N两点，求|MN|.
【解析】(1)由已知得2c＝4，b＝2，故c＝2，a＝2.
∴椭圆C的标准方程为＋＝1.4分
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵＝＋，∴＝，
∴点P坐标为.5分
∵点P在椭圆C上，
∴＋＝1，
∴＋＋＝1，
即＋＋＝1，即＋＝0.6分
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令线段AB的中点坐标为Q(x，y)，则7分
∵A、B在椭圆C上，∴8分
＋＝2，
∴＋＝2.
∵＋＝0，
∴＋＝2，
即Q点的轨迹E的方程为＋＝1.9分
联立得3x2＋4x－2＝0.
设M(x3，y3)、N(x4，y4)，
则x3＋x4＝－，x3·x4＝－.10分
故|MN|＝|x3－x4|＝＝.12分
第(2)问也可以用椭圆的参数方程解决，且可参考上述解答酌情给分．
21．(本题满分12分)
已知函数f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝2x＋ax3，a为实常数．
(1)求g(x)的单调区间；
(2)当a＝－1时，证明：x0∈(0，1)，使得y＝f(x)和y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线互相平行．
【解析】(1)g′(x)＝3ax2＋2，1分
当a≥0时，g′(x)>0故g(x)的单调增区间为(－∞，＋∞).3分
当a<0时，令g′(x)≥0得－≤x≤，g(x)的单调增区间为，
g(x)的单调减区间为，.5分
(2)当a＝－1时，f′(x)＝ex－e－x，g′(x)＝2－3x2，
x0∈(0，1)，使得y＝f(x)和y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线互相平行．
即x0∈(0，1)使得f′(x0)＝g′(x0)，且f(x0)≠g(x0)，6分
令h(x)＝f′(x)－g′(x)＝ex－e－x－2＋3x2，
h(0)＝－2<0，h(1)＝e－－2＋3>0，
∴x0∈(0，1)使得f′(x0)＝g′(x0).7分
∵当x∈时g′(x)>0，当x∈(，1)时g′(x)<0，
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∴所以g(x)在区间(0，1)的最大值为g，g＝<2.9分
而f(x)＝ex＋e－x≥2＝2，10分
∴x∈(0，1)时f(x)>g(x)恒成立，∴f(x0)≠g(x0)．
从而当a＝－1时，x0∈(0，1)，使得y＝f(x)和y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线互相平行．
12分
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
22．(本小题满分10分)选修4－4：极坐标与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为(α为参数)，若以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴位极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程ρsin＝t(t为参数)．
(1)求曲线M和N的直角坐标方程；
(2)若曲线N和曲线M有公共点，求t的取值范围．
【解析】(1)由x＝cos α＋sin α＝2sin得x∈[－2，2]，
又∵x2＝(cos α＋sin α)2＝2cos 2α＋2sin αcos α＋1，
所以曲线M的普通方程为y＝x2－1，x∈[－2，2]．
由ρsin＝t得ρsin θ＋ρcos θ＝t，
即ρsin θ＋ρcos θ＝t，所以曲线N的直角坐标方程为x＋y＝t.4分
(2)若曲线M、N有公共点，则当曲线N过点(2，3)时满足要求，此时t＝5，并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，
联立得x2＋x－t－1＝0，Δ＝1＋4(1＋t)＝0t＝－.
综上所述，t的取值范围是.10分
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝.
(1)解不等式f(x)<4－；
(2)已知m＋n＝1(m，n>0)，若－f(x)≤＋(a>0)恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1)不等式f(x)<4－即为<4－.
当x<－时，即－3x－2－x＋1<4－1时，即3x＋2＋x－1<4无解．
综上所述，原不等式的解集为.5分
(2)＋＝(m＋n)＝1＋1＋＋≥4，
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令g(x)＝－f(x)＝－＝
所以当x＝－时，g(x)max＝＋a，要使不等式恒成立，只需g(x)max＝＋a≤40
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