数学理卷·2018届福建省莆田二十四中高二上学期期末考（2017-01）

数学理卷·2018届福建省莆田二十四中高二上学期期末考（2017-01）

2016-2017 学年度上莆田第二十四中学期末 理科数学试卷 _姓名：__________班级：__________座号：__________ 一选题题（5*12=60） 1、两个整数 315 和 2016 的最大公约数是（ ） A．38 B．57 C．63 D．83 2、把38化为二进制数为（ ） A.  2101010 B.  2110100 C.  2100110 D.  2110010 3、如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前 3 个小组的频率 之比为 1：2：3，则第三小组的频率为（ ） A．0.125 B．0.25 C．0.375 D．0.500 4、把 5 张分别写有数字 1,2,3,4,5 的卡片混合，再将其任意排成一行，则得到的数能被 2 或 5 整除的概率是( ) A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8 5、设条件 2: 2 1 0p ax ax   的解集是实数集 R ；条件 :0 1q a  ，则条件 p 是条件 q 成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 6、过点 )2,3( ，且与椭圆 3694 22  yx 有相同的焦点的椭圆方程是（ ） A. 11015 22  yx B. 1100225 22  yx C. 11510 22  yx D. 1225100 22  yx 7、已知 F1，F2 是双曲线 的左右焦点，若双曲线右支上存在 一点 与点 F1 关于直线 对称，则该双曲线的离心率为 A． B． C．2 D． 8、  611x xx      的展开式中的一次项系数是（ ） A．5 B．14 C．20 D．35 9、某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅 报一科，每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有 （ ） （A）36 种 （B）30 种 （C）24 种 （D）6 种 10、三个人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为 1 1 1, ,5 3 4 .假设他们破译 密码是彼此独立的，则此密码被破译出的概率为（ ） A． 3 5 B． 2 5 C． 1 60 D．不确定 11、已知回归直线方程 y bx a  ，其中 3a  且样本点中心为（1,2），则回归直线方程 为（ ） （A）  3y x   (B)  2 3y x   (C)  3y x  (D)  3y x  12、下列命题中，①若 p∨q 为真命题，则 p∧q 为真命题； ②“x＞5”是“x2﹣4x﹣5＞0”的必要不充分条件； ③命题 p：x∈R，使得 x2+x﹣1＜0，则￢ p： x∈R，x2+x﹣1≥0 都成立； ④命题“若 x2﹣3x+2=0，则 x=1 或 x=2”的逆否命题为“若 x≠1 或 x≠2，则 x2﹣3x+2≠0. 其中命题为假的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（4*4=16） 13、如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000 颗黄豆， 数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为 375 颗，以此实验数据为依据可以估计 出该不规则图形的面积为 平方米．（用分数作答） 14、一条线段 AB 的长等于 2a，两端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上滑动，点 M 在线段 AB 上，且|AM|﹕|MB|＝1﹕2，则点 M 的轨迹方程为 ． 15、某个部件由 3 个型号相同的电子元件并联而成，3 个电子元件中有一个正常工作， 则改部件正常工作，已知这种电子元件的使用年限ξ（单位：年）服从正态分布，且使 用年限少于 3 年的概率和多于 9 年的概率都是 0.2.那么该部件能正常工作的时间超过 9 年的概率为 ． 16、某射手射击一次，击中目标的概率是 9.0 ，他连续射击 4 次，且各次射击是否击中 目标相互没 有影响．给出下列结论： ①他第3次击中目标的概率是 9.0 ；②他恰好3次击中目标的概率是 1.09.0 3  ； ③他至少有一次击中目标的概率是 41.01 ．其中正确结论的序号是________． 三、解答题（12*5=60 22 题 14 分） 17、为了了解某小区 2000 户居民月用水量使用情况，通过随机抽样获得了 100 户居民 的月用水量.下图是调查结果的频率分布直方图. 并根据频率直方图估计某小区 2000 户居民月用水量使用大于 3 的户数； 利用频率分布直方图估计该样本的众数和中位数（保留到 0.001）. 18、已知点 P（x、y）满足 （1）若    0,1,2,3,4,5 , 0,1,2,3,4x y  ，则求 y x 的概率． （2）若 [0,5]x ， [0,4]y  ，则求 x y 的概率． 19、在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 3(1, )2P 在椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     上，P 到 椭圆C 的两个焦点的距离之和为 4. （1）求椭圆C 的方程； （2）若点 ,M N 是椭圆C 上的两点，且四边形 POMN 是平行四边形，求点 ,M N 的坐 标. 20、已知双曲线C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率 5 2e  ,虚轴长为 2 . （1）求双曲线C 的标准方程； （2）若直线 :l y kx m  与曲线C 相交于 ,A B 两点（ ,A B 均异于左、右顶点），且以 AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点 D ,求证：直线l 过定点,并求出定点的坐标. 21、已知在 n x x ) 2 1( 3 3  的展开式中，第 6 项为常数项． （1）求n ； （2）求含 2x 项的系数； （3）求展开式中所有的有理项． 22、从“神州十号”飞船带回的某种植物种子每粒成功发芽的概率都为 1 3 ，某植物研究 所对该种子进行发芽实验，每次实验种一粒种子，每次实验结果相互独立，假定某次实 验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败.若该研 究所共进行四次实验，设ξ表示四次实验结束时实验成功的次数与失败的次数之差的绝 对值. (1)求随机变量 的数学期望 )(E ； (2)记“函数 1)( 2  xxxf  在区间 )3,2( 上有且只有一个零点”为事件 A ，求事件 A 发生的概率 )(AP . 高二理科数学 参考答案 一、单项选择 1、C 2、C 3、C 4、C 5、C 6、A 7、A 8、C 9、B 10、A 11、A 12、C 二、填空题 13、 3 8 14、 2 2 29 36 16x y a  15、0.488 16、①③ 三、解答题 17、（1） ∵样本中居民月用水量在 3—3.5 的频率 06.05.012.0 f ∵样本中居民月用水量在 3.5—4 的频率 04.05.008.0 f ∴样本中居民月用水量大于 3 的频率为 1.004.006.0  （人） 所以某小区 2000 户居民月用水量使用大于 3 的户数为   2001.02000  （2）①众数是 2.25. 利用频率分布直方图估计该样本的众数为 2.25 和中位数为 2.019. 18、（1） 2 1P ;（2） 5 3P 试题分析：（1）  yxP , 共有 3056  个，计算其中满足 xy  的基本事件的个数，最 后根据古典概率类型求其概率；（2） yx, 的范围为连续区间，所以在坐标系下，总的区 间为 0x 和 5x ，以及 0y 和 4y 所围成的区间，其中满足 yx  的面积和总的面 积比值就是其概率． 试题解析：∵    0,1,2,3,4,5 , 0,1,2,3,4x y  ∴ ( , )p x y 共有 30 个点 满足 y x 的有 15 个点 故满足 y x 的概率 15 1 30 2p   （2）∵ [0,5], [0,4]x y  ，则 ( , )p x y 在 如图所示的矩形区域内 又 y x 的直线与 4y  交于（4，4） 则满足 x y 的点 ( , )p x y 在图中阴影部分内（不包括直线 y x ） 故 12 3 20 5p   考点：1.古典概型；2.几何概型． 19、（1）       x y （2）点 M    ( , ) ， N ( , )  ；或 M  ( , )， N ( , )  ． 试题分析：（1）由椭圆定义得 a   ，又点 3(1, )2P 在椭圆上，可得到一个方程组，解 得 a b    , ，所以椭圆的方程为       x y .（2）设 1 1M x y（ , ）， 2 2N x y（ , ），则 需列出四个独立条件：由点 M ， N 是椭圆C 的两点，所以可得两个条件，关键在于对 平行四边形的运用，较为方便的是ON 的中点等于 PM 的中点，这样等到两个一次条件， 解方程组得点 M    ( , ) ， N ( , )  ；或 M  ( , )， N ( , )  ． 试题解析：（1）由题意知，       a b ， a   . 解得 a b    , ，所以椭圆的方程为       x y . （2）设 1 1M x y（ , ）， 2 2N x y（ , ），则ON 的中点坐标为 2 2 2 2 x y（ , ） ， PM 的中点坐标为 1 1 3 +1+ 2 2 2 yx（ , ） ． 因为四边形 POMN 是平行四边形，所以 1 2 1 2 1+ =2 2 3 +2 = .2 2 x x y y      ， 即 1 2 1 2 = 1, 3.2 x x y y    由点 M ， N 是椭圆C 的两点，所以 x y x y                       ， ( ) ( ) . 解得 2 2 2 0 x y    ， ，或 2 2 1 3 2 x y    ， . 由 2 2 2 0 x y    ， ，得 1 1 1 3 2 x y    ， ． 由 2 2 1 3 2 x y    ， ， 得 1 1 2 0 x y     ， . 所以，点 M    ( , ) ， N ( , )  ；或 M  ( , )， N ( , )  ． 考点：椭圆标准方程 20、（1） 2 2 14 x y  （2） 10 ,03     试题分析：（1）求双曲线标准方程，一般方法为待定系数法，即根据题意列出两个独立 条件： 5 ,2 2,2 c ba   ，解方程组得 2, 1a b  （2）以 AB 为直径的圆过双曲线C 的 左顶点  2,0D  ,等价于 0AD BD   ,根据向量数量积得  1 2 1 2 1 22 4 0y y x x x x     ，结合直线 :l y kx m  方程得  1 2 1 2 1 2( )( ) 2 4 0kx m kx m x x x x       ，利用直线方程与双曲线方程联立方程组， 消 y 得   2 2 21 4 8 4 1 0k x mkx m     ，再利用韦达定理代入等式整理得 2 23 16 20 0m mk k   ，因此 2m k 或 10 3 km  .逐一代入得当 10 3 km  时,l 的方程为 10 3y k x     ,直线过定点 10 ,03     . 试题解析：（1）设双曲线的标准方程为   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     ,由已知得 5 ,2 2,2 c ba   又 2 2 2a b c  ,解得 2, 1a b  ,所以双曲线的标准方程为 2 2 14 x y  . （2）设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ,联立 2 2 14 y kx m x y     ,得   2 2 21 4 8 4 1 0k x mkx m     , 有      2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 64 16 1 4 1 0 8 01 4 4 1 01 4 m k k m mkx x k m x x k                  ,      2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 1 4 m ky y kx m kx m k x x mk x x m k          ,以 AB 为直径的圆 过双曲线C 的左顶点  2,0D  , 1AD BDk k   ,即    22 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 4 14 161, 2 4 0, 4 02 2 1 4 1 4 1 4 my y m k mky y x x x xx x k k k                   , 2 23 16 20 0m mk k    ,解得 2m k 或 10 3 km  .当 2m k 时,l 的方程为  2y k x  ,直线过定点 2,0 ,与已知矛盾；当 10 3 km  时,l 的方程为 10 3y k x     ,直线过定点 10 ,03     ,经检验符合已知条件,所以直线l 过定点,定点坐 标为 10 ,03     . 考点：双曲线标准方程，直线过定点 【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定 值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应 设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 21、（1）10；（2） 45 4 ；（3） 2 245 63 45, ,4 8 256x x ． 试题分析：（1）根据二项展开式的通项公式及第6 项为常数项也就是 x 的指数为0 ，即 可求得 n 的值；（2）根据第（1）问的结论令 x 的指数为2 求得 r ，即可求得其系数；（3） 展开式中的有理项即 x 的指数为整数的项，结合0 r n  ，即可求得所有有理项． 试题解析：（1）根据题意，可得（ 3 x ﹣ 3 1 2 x ）n 的展开式的通项为 1 1 3 3 1 1C 2 n r r r r n x x                 　 = 2 31 C2 r n r r n x     ， 又由第 6 项为常数项，则当 r=5 时， 2 03 n r  ， 即 10 3 n  =0，解可得 n=10， （2）由（1）可得，Tr+1=（﹣ 1 2 ）rC10 r 10 2 3 r x  ， 令10 2 23 r  ，可得 r=2， 所以含 x2 项的系数为 2 2 10 1 45C2 4      ， （3）由（1）可得，Tr+1=（﹣ 1 2 ）rC10 r 10 2 3 r x  ， 若 Tr+1 为有理项，则有10 2 3 r   ，且 0≤r≤10， 分析可得当 r=2，5，8 时，10 2 3 r 为整数， 则展开式中的有理项分别为 245 4 x ， 63 8  ， 245 256 x ． 考点：二项式定理及其通项公式的应用． 22、(1)148 81 ；(2) 81 40 试题分析：（1）推出 的可能取值为0 2 4，，．求出概率，得到分布列，然后求解期望即 可．（2）利用零点判定定理，列出不等式推出结果即可． 试题解析：解：(1)由题意知：ξ的可能取值为 0，2，4.“ =0”指的是实验成功 2 次，失败 2 次；   2 2 2 4 1 1 1 4 240 1 63 3 9 9 81P C                  . “ξ=2”指的是实验成功 3 次，失败 1 次或实验成功 1 次，失败 3 次；   3 3 1 4 4 1 1 1 1 1 2 1 8 402 1 1 4 4 .3 3 3 3 27 3 3 27 81P C C                                “ =4”指的是实验成功 4 次，失败 0 次或实验成功 0 次，失败 4 次；   4 4 4 0 4 4 1 1 1 16 174 13 3 81 81 81P C C                  . ξ 0 2 4 P 24 81 40 81 17 81 24 40 17 1480 2 481 81 81 81E        . 故随机变量ξ的数学期望 E(ξ)为148 81 . (2)∵f(0)=-1∴f(2)f(3)=(3-2 )(8-3 ) 0 ，故 3 8 2 3   3 8 40( ) ( ) ( 2)2 3 81P A P P        ，故事件 A 发生的概率 P(A)为 81 40 . 考点：离散型随机变量的期望与方差．