2020年海口市高考调研试题-数学

2020年海口市高考调研试题-数学

‎2020年海口市高考调研考试 数 学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，，集合，则 A． B． C． D．‎ ‎2．在复平面内，复数对应的点与复数对应的点的距离是 ‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．设向量，向量是与方向相同的单位向量，则 A． B． C． D． ‎ ‎4．的展开式中的常数项是 A． B． C． D． ‎ ‎5．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的 立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长‎60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥‎150m处各有一窗户，两窗户的水平距离为‎30m，如图2，则此抛物线顶端O到连桥AB距离为 ‎ 图1 图2‎ A． B． C． D．‎ ‎6．函数的图象大致是 ‎【2020年海口市高考调研考试数学试题 第12页（共5页） 】‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎7．点，，在球表面上，，，，若球心到截面 的距离为，则该球的表面积为 ‎ A． B. C. D. ‎ ‎8．已知数列满足，设，若，称数为“企盼数”，则区间内所有的企盼数的和为 A．2020 B．‎2026 ‎ C．2044 D．2048 ‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．‎ ‎9．空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数越小，表明空气质量越好，表1是空气质量指数与空气质量的对应关系，图1是经整理后的某市2019年2月与2020年2月的空气质量指数频率分布直方图 表1‎ 空气质量指数（AQI）‎ 优（AQI）‎ 良（AQI）‎ 轻度污染（AQI）‎ 中度污染（AQI）‎ 重度污染（AQI）‎ 严重污染（AQI>300）‎ 下列叙述正确的是 A．该市2020年2月份的空气质量为优的天数的频率为0.032 ‎ B．该市2020年2月份的空气质量整体上优于2019年2月份的空气质量 C．该市2020年2月份空气质量指数的中位数小于2019年2月份空气质量指数的中位数 D．该市2020年2月份空气质量指数的方差大于2019年2月份空气质量指数的方差 ‎10．设有一组圆：，下列说法正确的是 A．这组圆的半径均为 ‎ B．直线平分所有的圆 C．存在无穷多条直线被所有的圆截得的弦长相等 D．存在一个圆与轴和轴均相切 ‎11．如右图，正方体的棱长为，过点作平面 ‎【2020年海口市高考调研考试数学试题 第12页（共5页） 】‎ 的垂线，垂足为点．则以下命题正确的是 A．点是△的重心 B．平面 C．延长线经过点 D．直线和所成角为 ‎12．“已知函数，对于上的任意，，若_______，则必有恒成立．”在横线中填上下列选项中的某个条件，使得上述说法正确的可以是 A． B． C． D．‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．2020年初，新冠肺炎疫情爆发，全国人民万众一心，共同抗击疫情．武汉市某医院传染科有 甲、乙、丙、丁、戊五位医生，每位医生从周一至周五轮流安排一个夜班．若丁比乙晚两天，丙比甲早一天，戊比丙早两天，则周一值夜班的医生是_________．‎ ‎14．已知，且，则的值为_________．‎ ‎15．如图，从双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲 线右支于点. 设为线段的中点，为坐标原点，则___________，___________．（本题第一空2分，第二空3分）‎ ‎ 第15题图 第16题图 ‎16．拥有“千古第一才女”之称的宋代女词人李清照发明了古代非常流行的游戏“打马”，在她的《打马赋》中写道“实博弈之上流，乃闺房之雅戏”．“打马”游戏用每轮抛掷三枚完全相同的骰子决定“马”的行走规则，每一个抛掷结果都有对应走法的名称，如结果由两个2点和一个3点组成，叫做“夹七”，结果由两个2点和一个4点组成，叫做“夹八”．则在某一轮中，能够抛出“夹七”或“夹八”走法的概率是_________． ‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（10分）‎ 从①，②，③.这三个条件中任选两个，分别补充在下面问题的横线中，回答有关问题．设△的角、、所对的边长分别是、、，若_________，_________，且满足，求△其余各边的长度和△的面积．‎ ‎（注：如果选择不同条件分别解答，按第一个解答计分.）‎ ‎18．（12分）‎ ‎【2020年海口市高考调研考试数学试题 第12页（共5页） 】‎ 已知数列的首项，且点在函数的图象上．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列满足，，证明：．‎ ‎19．（12分）‎ 如图，四棱锥满足平面，底面是正方形，与交于点，，侧棱上有一点满足． ‎ ‎（Ⅰ）证明：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值．‎ ‎20．（12分）‎ 已知椭圆：的其中一个焦点与抛物线的焦点相同，点到 圆：上点的最大距离为7，点，分别是椭圆的左右顶点．‎ ‎（Ⅰ）求圆和椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）如图，已知位于轴两侧的，分别是椭圆和圆上的动点，且直线与轴平行，直线，分别与轴交于点，，证明：为定值．‎ ‎【2020年海口市高考调研考试数学试题 第12页（共5页） 】‎ ‎21．（12分）‎ 零部件生产水平，是评判一个国家高端装备制造能力的重要标准之一.其中切割加工技术是一项重要技术.某研究机构自主研发了一种切割设备，经过长期生产经验，可以认为设备正常状态下切割的零件尺寸服从正态分布.按照技术标准要求，从该设备切割的一个批次零件中任意抽取10件作为样本，如果样本尺寸的平均值与零件标准尺寸相差的绝对值小于0.1（单位：mm），且所有零件尺寸均在范围内，则认定该切割设备的技术标准为A级；如果样本尺寸的平均值与零件标准尺寸相差的绝对值大于等于0.1小于0.5，且所有零件尺寸均在范围内，则认定该切割设备的技术标准为B级；如果样本尺寸的平均值与零件标准尺寸相差的绝对值大于等于0.5或存在零件尺寸在范围外，则认定该切割设备的技术标准为C级．‎ ‎（Ⅰ）设某零件的标准尺寸为‎100mm，下面是检验员抽取该设备切割的10个零件尺寸：‎ ‎100.03‎ ‎100.4‎ ‎99.92‎ ‎100.52‎ ‎99.98‎ ‎100.35‎ ‎99.92‎ ‎100.44‎ ‎100.66‎ ‎100.78‎ ‎ 经计算，有，其中为抽取的第个样本的尺寸，，用样本的平均数作为的估计值，用样本的标准差作为的估计值，根据数据判断该切割设备的技术标准；‎ ‎（Ⅱ）生产该种零件的某制造商购买了该切割设备，正常投入生产，公司制定了两种销售方案（假设每种方案对销售量没有影响）：‎ 方案1：每个零件均按70元定价销售；‎ 方案2：若零件的实际尺寸在范围内，则该零件为Ⅰ级零件，每个零 件定价100元，否则为Ⅱ级零件，每个零件定价60元．‎ 哪种销售方案能够给公司带来更多的利润？请说明．‎ ‎（附：若随机变量～，则，‎ ‎）‎ ‎．‎ ‎22．（12分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当，分析函数的单调性；‎ ‎（Ⅱ）当时，若函数与的图象有且只有一条公切线，求 的值．‎ ‎【2020年海口市高考调研考试数学试题 第12页（共5页） 】‎ ‎2020年海口市高考调研考试 数学参考答案 一、单项选择题：1、C 2、C 3、B 4、A 5、B 6、A 7、D 8、B 二、多项选择题：9、BC 10、AB 11、ABC 12、CD 三、填空题：13、乙 14、 15、 4 、 1 16、 ‎ 四、解答题 ‎17.解析：在△中，已知，‎ 由正弦定理得： …………1分 即 ,‎ 得…………2分 又因为 ，所以， …………3分 ‎ 得 所以，…………5分 若选条件①②，由余弦定理得：‎ ‎ …………7分 ‎ …………8分 所以，…………10分 若选条件①③，由…………6分 又由正弦定理 …………7分 因为 ‎【2020年海口市高考调研考试数学试题 第12页（共5页） 】‎ 所以，…………8分 ‎ …………9分 ‎ …………10分 若选条件②③，由…………6分 又由正弦定理 …………7分 因为 所以，…………8分 ‎ …………9分 ‎ …………10分 ‎18.解析：‎ ‎（1）由已知得…………1分 所以，数列{}是以1为首项，公差为1的等差数列；………… 2分 则=1+…………4分 ‎（2）由（1）知…………5分 ‎ ‎ ‎【2020年海口市高考调研考试数学试题 第12页（共5页） 】‎ ‎ …………9分 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以，…………12分 ‎19.解析：‎ ‎（1）法一 如图，在平面内，过点作交于点，则有,连，取的中点，连接.‎ ‎，所以……………………2分 ‎ 又因为 所以，‎ 所以 又，所以 易知为等边三角形，则,由得为的中点，‎ 在中，为的中点，则有,从而有 因为 所以………………4分 ‎ 又，所以，‎ 因为 ‎【2020年海口市高考调研考试数学试题 第12页（共5页） 】‎ 所以，………………6分 ‎ （1） 法二 以为坐标原点，所在直线分别为轴建系如图：‎ 则，由……2分,‎ ‎………………4分 ‎ 所以，………………6分 ‎ ‎（2）易得平面………………8分 ‎ 设平面，‎ 由得,即取………………10分 ‎ 则，所以,锐二面角的余弦值为 ………………12分 ‎20.解析：‎ ‎（1）由题知抛物线的焦点为，则椭圆中……………………1分 到圆的最大距离为，则，……………2分 则圆的方程为……………3分 由，椭圆方程为：……………4分 ‎（2）由题，设 由…………………………5分 ‎【2020年海口市高考调研考试数学试题 第12页（共5页） 】‎ 得：直线，从而 直线，从而………………………7分 ‎ ‎ 得………………………9分 因为在椭圆上，所以，‎ 因为在圆上，所以…………………10分 所以：‎ ‎…………………12分 ‎21解析：‎ ‎（Ⅰ）由题意，‎ ‎，……………1分 ‎，……………3分 所以，，样本的均值与零件标准尺寸差为，并且对每一个数据，均有（），由此判断该切割设备技术标准为B级标准． ……………5分 ‎（Ⅱ）方案1：每个零件售价为元． ‎ 方案2：设生产的零件售价为随机变量，则可以取，．由题意，设备正常状态下切割的零件尺寸为，且～．所以 ‎，‎ ‎【2020年海口市高考调研考试数学试题 第12页（共5页） 】‎ ‎，……………8分 所以随机变量的分布列为 所以的数学期望．…………11分 综上，方案二能够给公司带来更多的利润．……………12分 22． 解析：‎ ‎（1）由已知：‎ ‎ …………………………………1分 当为奇数时，，‎ 在区间上单调递增。 …………2分 当为偶数时，，‎ 当 所以：在区间上单调递减，在区间上单调递增。…………………………3分 综上所述:当为奇数时,在区间上单调递增;‎ 当为偶数时，在区间上单调递减，在区间上单调递增。……………4分 ‎（2）, ‎ 设函数与上各有一点,‎ 则以点为切点的切线方程为:,‎ 以点为切点的切线方程为:，……………………6分 ‎【2020年海口市高考调研考试数学试题 第12页（共5页） 】‎ 由两条切线重合，得:‎ 由题知，方程组有唯一解 消去，整理得：…………………8分 令 易知在区间单调递减，在区间上单调递增。‎ 当逼近于0时，逼近于，‎ 有唯一解，则有，即……10分 令 ‎ 易知在区间单调递减，在区间上单调递增。‎ 又所以只有唯一实根.‎ 当时，函数与的图象有且只有一条公切线……12分 ‎【2020年海口市高考调研考试数学试题 第12页（共5页） 】‎