数学文卷·2019届安徽省青阳县第一中学高二4月月考（2018-04）

数学文卷·2019届安徽省青阳县第一中学高二4月月考（2018-04）

青阳一中2017-2018学年度高二4月份月考 数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ ‎（时间：120分钟 满分：150分）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60.0分）‎ ‎1.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（　）‎ A. 方程x2+ax+b=0没有实根 B. 方程x2+ax+b=0至多有一个实根 C. 方程x2+ax+b=0至多有两个实根 D. 方程x2+ax+b=0恰好有两个实根 ‎2.已知x与y之间的一组数据如表，若y与x的线性回归方程为=bx-2，则b=（　　） ‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ y ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎7‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎3.函数f（x）在x=x0处导数存在，若p：f′（x0）=0：q：x=x0是f（x）的极值点，则（　　）‎ A. p是q的充分必要条件 B. p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C. p是q的必要条件，但不是q的充分条件 D. p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 ‎4.正弦函数是奇函数（大前提），f（x）=sin（2x+1）是正弦函数（小前提），因此 f（x）=sin（2x+1）是奇函数（结论），以上推理（　　）‎ A. 结论正确 B. 大前提错误 C. 小前提错误 D. 以上都不对 ‎5.下列推理是归纳推理的是（　　）‎ A. A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆 B. 由a1=1，an=3n-1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式 C. 由圆x2+y2=r2的面积πr2，猜想出椭圆+=1的面积S=πab D. 科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 ‎6.已知直线a，b，平面α，下列命题中正确的是（　　）‎ A. 若a∥b，b⊂α，则a∥α B. 若a⊥α，b⊥α，则a∥b C. 若a∥α，b∥α，则a∥b D. 若a∥α，b⊂α，则a∥b ‎7.若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0），经过圆x2+y2+2x-4y+1=0的圆心，则 的最小值是（　）‎ A. B. 2 C. D. 4‎ ‎8.若点P是以、为焦点，实轴长为 的双曲线与圆x2+y2=10的一个交点，则|PA|+|PB|的值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎9.已知点A（2，1），抛物线y2=4x的焦点是F，若抛物线上存在一点P，使得|PA|+|PF|最小，则P点的坐标为（　　）‎ A. （2，1） B. （1，1） C. D. ‎ ‎10.已知F1（-3，0），F2（3，0）是椭圆+ =1的两个焦点，点P在椭圆上，∠F1PF2=α．‎ 当α=时，△F1PF2面积最大，则m + n的值是（　　）‎ A. 41 B. 15 C. 9 D. 1‎ ‎11.如图所示，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．（1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．若将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f（n），则f（5）=（　　）‎ A. 33 B. 31 C. 17 D. 15‎ ‎12.已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x-sinx，若不等式f（-4t）＞f（2m+mt2）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（　　）‎ A. （-∞，-） B. （-，0） ‎ C. （-∞，0）∪（，+∞） D. （-∞，-）∪（，+∞）‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13.若三角形内切圆半径为r，三边长为a，b， c，则三角形的面积S=（a +b +c）r，利用类比思想：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1，S2，S3，S4，则四面体的体积V = ______ ．‎ ‎14.设0＜θ＜，向量=（sin2θ，cosθ），=（cosθ，1），若∥，则tanθ= ______ ．‎ ‎15.对正整数n，设曲线y =xn（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和的公式是______ ．‎ ‎16.若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是__________(写出所有正确命题的编号)．‎ ‎①ab≤1；②；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤≥2.‎ 三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其他各题12分，共70.0分）‎ ‎17. （10分）‎ 在△ABC中，A，B，C是三角形的三内角，a，b，c是三内角对应的三边长，已知b2+c2-a2=bc ‎（1）求角A的大小； （2）若sin2A+sin2B=sin2C，求角B的大小．‎ ‎18. （12分）‎ ‎（1）已知a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1，‎ 求证：(－1)( －1)·(－1)≥8.（综合法） （2）已知a＞0， - ＞1，‎ 求证 ＞ （分析法） ‎ ‎19. （12分）‎ 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100‎ 名观众进行调查，其中女性有55名．如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．‎ ‎（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表． ‎ 非体育迷 体育迷 合计 男 女 合计 ‎（2）根据列联表的独立性检验，有多大的把握认为“体育迷”与性别有关？ （3）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率． 参考公式：x2=（其中n =a +b +c +d） ‎ x2≤2.706‎ x2＞2.706‎ x2＞3.841‎ x2＞6.635‎ 是否有关联 没有关联 ‎90%‎ ‎95%‎ ‎99%‎ ‎20. （12分）‎ 若函数f（x）=ax3-bx+4，当x = 2时，函数f（x）有极值 - ．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若方程f（x）=k有3个不同的根，求实数k的取值范围．‎ ‎21. （12分）‎ 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD．‎ ‎（Ⅰ）证明：BD⊥PC；‎ ‎（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD的体积．‎ ‎22. （12分）‎ 已知离心率为 的椭圆C1的顶点A1，A2恰好是双曲线-y2=1的左右焦点，点P是椭圆C1上不同于A1，A2的任意一点，设直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2．‎ ‎（1）求椭圆C1的标准方程； （2）当k1=，在焦点在x轴上的椭圆C1上求一点Q，使该点到直线PA2的距离最大．‎ ‎（3）试判断乘积“k1•k2”的值是否与点P的位置有关，并证明你的结论．‎ 数学文科答案和解析 ‎【答案】‎ ‎1. A 2. D 3. C 4. C 5. B 6. B 7. D 8. D 9. C 10. B 11. B 12. A ‎ ‎13. R（S1+S2+S3+S4）  14.   15. 2n+1-2  16. ①③⑤  ‎ ‎17. 解：（1）在△ABC中，b2+c2-a2=2bccosA， 由于：b2+c2=a2+bc， 所以：， 由于：0＜A＜π， 则：． （2）由正弦定理，又sin2A+sin2B=sin2C， 即：a2+b2=c2，  故△ABC是以角C为直角的直角三角形 又， 所以：B=．  ‎ ‎18. 证明：（1）(－1)(－1)(－1)‎ ‎＝(－1)(－1)(－1)‎ ‎＝·· ‎＝ ‎≥＝8，‎ 当且仅当a＝b＝c时取等号，所以原不等式成立．‎ ‎（2）要证明＞， 只需证明1+a＞， 只需证明1+a-b-ab＞1， 只需证明：a-b-ab＞0， ‎ ‎∵a＞0，-＞1， ∴a-b-ab＞0， ∴结论成立，即＞．  ‎ ‎19. 解：（1）由已知得： ‎ 非体育迷 体育迷 总计 男 ‎28‎ ‎17‎ ‎45‎ 女 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 总计 ‎73‎ ‎27‎ ‎100‎ ‎（3分） （2）将2×2列联表中的数据代入公式计算，得x2=≈4.82 因为4.82＞3.841，所以有理由认为“体育迷”与性别有关…6分 （3）由频率分布直方图知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所的基本事件空间为 Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）} 其中ai表示男性，i=1，2，3，bi表示女性，i=1，2…9分 Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示事件“任选3人，至少有1人是女性”． 则A={（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）} 事件A有7个基本事件组成，因而P（A）=…12分．  ‎ ‎20. （本小题满分12分） 解：（1）f′（x）=3ax2-b 由题意；，解得a=，b=4， ∴所求的解析式为f（x）=． （2）由（1）可得f′（x）=x2-4=（x-2）（x+2） 令f′（x）=0，得x=2或x=-2， ‎ ‎∴当x＜-2时，f′（x）＞0，当-2＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0 因此，当x=-2时，f（x）有极大值， 当x=2时，f（x）有极小值， ∴函数f（x）=的图象大致如图． 由图可知：．  ‎ ‎21. 解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， ∴PA⊥BD； 又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线， ∴BD⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC； （Ⅱ）设AC∩BD=O，连接PO，由（Ⅰ）知BD⊥平面PAC， ∴∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角， ∴∠DPO=30°， 由BD⊥平面PAC，PO⊂平面PAC知，BD⊥PO．在Rt△POD中，由∠DPO=30°得PD=2OD． ∵四边形ABCD是等腰梯形，AC⊥BD， ∴△AOD，△BOC均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为AD+BC=×（4+2）=3， 于是SABCD=×（4+2）×3=9． 在等腰三角形AOD中，OD=AD=2， ∴PD=2OD=4，PA==4， ∴VP-ABCD=SABCD×PA=×9×4=12．  ‎ ‎22. （13分） 解：（1）双曲线-y2=1的左右焦点为（±2，0），即A1，A2的坐标分别为（_2，0），（2，0）． ∴设椭圆C1的标准方程为，则a=2， 且e=，所以c=，从而b2=a2-c2=1， ‎ ‎∴椭圆C1的标准方程为+y2=1．或． （2）当时，，故直线PA2的方程为y=-即x+2y-2=0， 与直线PA2平行的直线方程为：x+2y+m=0，（m＞0），代入椭圆方程， 可得（2y+m）2+4y2-4=0，即8y2+4my+m2-4=0， ∴△=16m2-32（m2-4）=0， 解得m=， 此时y=，∴x=， ∴点Q． （3）设P（x0，y0）则+y02=1，即y02=1-=． k1k2===-．∴k1k2的值与点P的位置无关，恒为．  ‎