2018-2019学年河南省新乡市高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版

2018-2019学年河南省新乡市高二上学期期末考试数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 河南省新乡市2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．命题“若，则”的逆命题为（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据命题与逆命题的关系，可得逆命题。‎ ‎【详解】‎ 根据原命题与逆命题的关系，可得逆命题为 若，则 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了命题与逆命题的关系，属于基础题。‎ ‎2．在等差数列中，，，则　　‎ A．8 B．9 C．11 D．12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知结合等差数列的性质即可求解的值．‎ ‎【详解】‎ 在等差数列中，由，得，‎ 又，．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是基础题．‎ ‎3．在中，角A，B，C的对边分别是边a，b，c，若，，，则　　‎ A． B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用三角形内角和定理可求B的值，根据余弦定理可得b的值．‎ ‎【详解】‎ ‎，，，‎ ‎，‎ 由余弦定理可得：．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角形内角和定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．‎ ‎4．抛物线的准线方程是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先把其转化为标准形式，求出p即可得到其准线方程．‎ ‎【详解】‎ 由题得：，‎ 所以：，即 所：‎ 故准线方程为：．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的简单性质解决抛物线的题目时，一定要注意判断出焦点所在位置，避免出错．‎ ‎5．若函数，则　　‎ A． B．1 C． D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可先求出导函数，把换上即可求出的值．‎ ‎【详解】‎ 由于，所以.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 考查基本初等函数的求导，已知函数求值的方法．‎ ‎6．已知双曲线C：的一条渐近线的斜率为，焦距为10，则双曲线C的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用双曲线的渐近线的斜率，转化求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程．‎ ‎【详解】‎ 焦距为10，，曲线的焦点坐标为，‎ 双曲线C：的一条渐近线的斜率为，‎ ‎，，解得，，‎ 所求的双曲线方程为：．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查计算能力．‎ ‎7．设，，若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式求得x的取值范围，根据充分不必要条件可求出a、b的范围即可。‎ ‎【详解】‎ 解不等式得 因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，且 所以 ‎ 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了充分必要条件的判断，注意边界问题，属于基础题。‎ ‎8．函数在上的最大值是　　‎ A． B． C．0 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可，结合函数的单调性求出的最大值即可．‎ ‎【详解】‎ 函数的导数．‎ 令可得，‎ 可得在上单调递增，在单调递减，‎ 函数在上的最大值是．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性、最值问题，是一道中档题．‎ ‎9．设x，y满足约束条件，则的最小值为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.‎ ‎【详解】‎ 画出表示的可行域，如图，‎ 由可得，可得，‎ 将变形为，‎ 平移直线，‎ 由图可知当直经过点时，‎ 直线在轴上的截距最小，‎ 最小值为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎10．偶函数的图象在处的切线斜率为 A．2e B．e C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先通过偶函数的性质求出的值，然后对函数求导，即可求出的值，即为图像在处的切线斜率。‎ ‎【详解】‎ 由于函数为偶函数，则，‎ 即，‎ 解得，故，‎ 则，‎ 则，‎ 故函数的图像在处的切线斜率为.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导数的几何意义，以及偶函数的性质，属于基础题。‎ ‎11．设是数列的前项和，若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得n=1时，，n时，=，所以，分别代入n=2、3、4100即可的结果.‎ ‎【详解】‎ 由可得n=1时，，‎ n时，=，则，‎ 即，分别代入n=2、3、4100，相乘得到=.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的递推关系的综合，考查转化与化归的数学思想与运算求解能力.‎ ‎12．椭圆：的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，若点为椭圆上的任意一点，且在第一象限，为坐标原点，为椭圆的右焦点，则 的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，为椭圆的右焦点及椭圆中解方程组求得a、b、c，得到椭圆方程。设出点P，根据向量数量积转化为关于横坐标m的二次函数，即可求得取值范围。‎ ‎【详解】‎ 因为椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列 所以 ，即 为椭圆的右焦点，所以c=3‎ 在椭圆中，‎ 所以，解方程组得 所以椭圆方程为 设 ‎ 则，则 ‎ ‎= ‎ ‎ ‎ 因为，所以当时，取得最大值为 ‎ 当m趋近于0时，的值趋近于-16 ‎ 所以的取值范围为 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆性质的综合应用，向量在解析几何中的用法，属于中档题。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．设命题：，，则为______ .‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由全称命题的否定即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 根据全称命题的否定，可得 为，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了含有量词的命题否定，属于基础题。‎ ‎14．已知，则的最小值为______．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本不等式即可求出最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，当且仅当，即时取等号，‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．‎ ‎15．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知利用余弦定理可求，又，可求b，c的值，根据余弦定理可求，利用同角三角函数基本关系式可求的值，根据三角形的面积公式即可计算得解．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 由余弦定理可得：，整理可得：，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得：，，‎ ‎，可得：，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎16．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线交C的右支于A、B两点，，，则C的离心率为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可设，，由可得，运用双曲线的定义和勾股定理求得，再由勾股定理和离心率公式，计算可得所求值．‎ ‎【详解】‎ 可设，，‎ 由可得，‎ 由双曲线的定义可得，‎ ‎，‎ 由双曲线的定义可得，‎ 在直角三角形中，可得，‎ 即，‎ 在直角三角形中，可得，‎ 即为，即，‎ 可得．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，注意运用直角三角形的勾股定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知表示焦点在x轴上的双曲线，q：方程表示一个圆．‎ 若p是真命题，求m的取值范围；‎ 若是真命题，求m的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合双曲线的定义进行求解即可 根据复合命题真假关系，得到p，q都是真命题进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：若表示焦点在x轴上的双曲线为真命题，‎ 则，得，得，‎ 由得，‎ 若方程表示圆，则得，即q：，‎ 若是真命题，则p，q都是真命题，‎ 则，得，‎ 即实数m的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查命题真假的应用，以及复合命题真假关系，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键．‎ ‎18．已知数列满足，．‎ 证明：数列是等比数列；‎ 设，求数列的前n项和．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对数列的递推式两边加1，结合等比数列的定义，即可得证；‎ 由对数的运算性质可得，再由裂项相消求和，化简可得所求和．‎ ‎【详解】‎ 解：证明：数列满足，，‎ 可得，‎ 即有数列是首项为2，公比为3的等比数列；‎ 由可得，‎ 即有，‎ 数列的前n项和．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的定义、通项公式和数列的裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎19．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．‎ Ⅰ求A；‎ Ⅱ若，，求的面积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ Ⅰ【方法一】利用正弦定理与三角形内角和定理，结合题意求得的值，从而求出角A的值；【方法二】利用余弦定理结合题意求得，从而求得A的值；Ⅱ由同角的三角函数关系求得，再利用三角恒等变换求得，利用正弦定理求得b，计算的面积．‎ ‎【详解】‎ 解：Ⅰ【方法一】由已知得，‎ ‎，‎ ‎；‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，‎ 由，得；‎ ‎【方法二】‎ 由已知得，‎ 化简得，‎ ‎，‎ 由，得；‎ Ⅱ由，，‎ 得，‎ 在中，，‎ 由正弦定理，得，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，考查了三角形面积公式，属于中档题．‎ ‎20．已知椭圆的左、右焦点分别为、，斜率为1的直线l交椭圆于A、B两点，且线段AB的中点坐标为．‎ 求椭圆的方程；‎ 若P是椭圆与双曲线在第一象限的交点，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点差法得出，结合焦点坐标求出a和b的值，从而可得出椭圆的方程；‎ 先得出椭圆和双曲线共焦点，然后由椭圆和双曲线的定义计算出各边边长，最后利用余弦定理求出的值．‎ ‎【详解】‎ 解：设点、，则直线AB的斜率为．‎ 由于线段AB的中点坐标为，则有，所以，，‎ 则原点O与线段AB的中点的连线的斜率为．‎ 所以，．‎ 将点A、B的坐标代入椭圆的方程得，‎ 上述两时相减得，，，则，‎ 由题意可得 因此，椭圆的方程为；‎ 双曲线的标准方程为，所以，双曲线的焦点坐标为，则双曲线与椭圆公焦点，‎ 由于点P是双曲线与椭圆在第一象限内的交点，由双曲线和椭圆的定义得，得，‎ 由余弦定理得．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与椭圆的综合，考查点差法、椭圆与双曲线的定义，以及余弦定理，考查计算能力，属于中等题．‎ ‎21．已知过点的直线l与抛物线E：交于点A，B．‎ 若弦AB的中点为M，求直线l的方程；‎ 设O为坐标原点，，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，利用点差法求得直线斜率，再由直线方程点斜式求解； ‎ ‎（2）设直线方程为．由解得，由求解．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意知直线的斜率存在，设直线的斜率为，‎ 则有，，‎ 两式作差可得：，即，‎ ‎，．‎ 则直线的方程为，即；‎ 当轴时，不符合题意，‎ 故设直线方程为．‎ ‎．‎ ‎，，．‎ ‎，，‎ ‎，，．‎ 解得 ‎．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理得运用，考查等价转化问题的能力．‎ ‎22．设函数．‎ 讨论的单调性；‎ 当时，，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；‎ 结合通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．‎ ‎【详解】‎ 解：的定义域是，‎ ‎，‎ 时，，在递增，‎ 时，令，解得：，‎ 令，解得：，‎ 故在递减，在递增；‎ 由时，在递增，而，‎ 故时，，‎ 故当时，成立，‎ 故符合题意，‎ 时，在递减，在递增；‎ 令，解得：，‎ 时，，‎ 故在递增，‎ 故，‎ 解得：，‎ 时，，‎ 故在递减，在递增，‎ ‎，‎ 当时，，‎ 只需即可，‎ 令，，‎ ‎，在递增，‎ 故，‎ 不合题意；‎ 综上，．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．‎