【推荐】专题2-7 函数的图象-2018年高三数学（文）一轮总复习名师伴学

【推荐】专题2-7 函数的图象-2018年高三数学（文）一轮总复习名师伴学

‎【真题回放】‎ ‎1.【2017课标3文7】函数的部分图像大致为（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A B ‎ ‎ ‎ C D ‎ ‎【答案】D ‎【考点解读】本题由函数解析式推断对应的函数图像。解题需注意；在运用函数性质特别是定义域，奇偶性、对称性、单调性、最值、零点等与图像对应关系。‎ ‎2.【2017课标1文8】函数的部分图像大致为( )‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知，函数为奇函数，故排除B，当时，，排除D;‎ 当时， 排除A，故选C。‎ ‎【考点解读】本题由函数解析式推断对应的函数图像。函数图像问题首先关注定义域，从图象的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择支，从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等确定图象．‎ ‎3.【2017天津高考文8】已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是（ ）‎ ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】‎ ‎【考点解读】本题考查了分段函数，函数图形的应用、不等式恒成立等。 解题思路为1.可以选择参变分离的方法，转化为求函数最值的问题；2.也可以画出两边的函数图象，根据临界值求参数取值范围；3.也可转化为的问题，转化讨论求函数的最值求参数的取值范围。‎ 考点分析 考点 了解A 掌握B 灵活运用C 函数图像及其性质 B 函数的图象即是函数的一种表示方法，也是研究函数性质得重要方法，部分内容要求学生掌握基本初等函数的图像及基本的图像变换规律，并会运用函数图象理解和研究函数的性质。高考对该部分考查主要表现为，函数图象的辨识，研究函数的性质、确定方程解的个数 ‎、求解不等式、求参数的取值范围等问题。解决问题中要注意数形结合思想的运用。‎ 融会贯通 题型一　 作函数的图象 典例1. （1）(2017河北省定州市期末)，下列图象中能表示定义域和值域都是的函数 的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】四个选项定义域都为， 选项值域为，不符合题意， 选项值域为，‎ 不符合题意，故选.‎ ‎（2）（2017银川一中期中）作出下列函数的图象．‎ ‎①y＝|x|； ②y＝|log2(x＋1)|；‎ ‎③y＝； ④y＝x2－2|x|－1.‎ ‎【答案】　见解析 ‎　　　 ‎ ‎③ 　　　　　　 　　　　　④　　　‎ 解题技巧与方法总结 图象变换法作函数的图象 ‎1.熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如 y＝x＋的函数．‎ ‎2.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但 要注意变换顺序．‎ ‎3.对不能直接找到熟悉函数的，要先变形，同时注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式 的影响．‎ ‎【变式训练】‎ ‎（1）（2017福建三明一中月考）某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在图中，纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则四个图形中较符合该学生走法的是（ ）‎ ‎【答案】D ‎【解析】时间为时，距离学校最远，故排除A、C，根据实际情况，跑步用的时间短，行进的距离远。‎ ‎（2）（2017甘肃省武威二中期末）函数 的图像为（ ）‎ ‎【答案】B ‎【解析】当时，所以且在单调递增，故选B．‎ 知识链接：‎ 知识点1　利用描点法作函数图象的流程 题型二　函数图象的辨识 典例2. （1）（2017陕西西藏民族学院附属中学模拟）函数f(x)=2x+sinx的部分图象可能是( )‎ ‎【答案】A ‎（2）（2016湖北省咸宁市高三联考）已知，则下列函数的图象错误的是（ ）.‎ ‎【答案】D 解题技巧与方法总结 有关图象辨识问题的常见类型及解题思路 ‎1．由实际情景探究函数图象：关键是将生活问题转化为我们熟悉的数学问题求解，但要注意实际问题中的定义域．‎ ‎2．由解析式确定函数图象．此类问题往往从以下几方面判断 ‎(1)从函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；‎ ‎(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；‎ ‎(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；‎ ‎(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．‎ 利用上述方法，排除、筛选错误或正确的选项．‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.(2017唐山市三模) 函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】函数定义域为，又，函数为偶函数，排除B，C，当时，显然，当时， ，故选择A.‎ ‎（2）（2016哈尔滨市三中一模）函数的图象可能是（ ）‎ ‎ ‎ A B ‎ ‎ ‎ ‎ C D ‎【答案】D 知识链接：‎ 知识点2　函数的图象变换 ‎1．平移变换 ‎2．对称变换 ‎(1)y＝f(x)y＝－f(x)； (2)y＝f(x)y＝f(－x)；‎ ‎(3)y＝f(x)y＝－f(－x)； (4)y＝ax(a>0且a≠1)y＝logax(a>0且a≠1)．‎ ‎3．翻折变换 ‎(1)y＝f(x)y＝|f(x)|；‎ ‎(2)y＝f(x)y＝f(|x|)．‎ ‎4．伸缩变换 ‎(1)y＝f(x) y＝f(ax)；‎ ‎ (2)y＝f(x)‎ y＝af(x)．‎ 必会结论；(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．‎ ‎(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称．‎ ‎(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．‎ 必知联系；(1) 一个函数的图象关于原点(或y轴)对称，与两个函数的图象关于原点(或y轴)对称不同．前者是自身对称具有奇(偶)性，后者是两个不同的函数图象对称．‎ ‎(2) 注意理解y＝|f(x)|与y＝f(|x|)图象的联系．‎ 题型三　函数图象的应用 命题点1　　研究函数的性质 典例3.（1）(2017黑龙江省大庆实验中学月考)已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)‎ A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)‎ B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)‎ C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)‎ D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)‎ ‎【答案】C ‎【解析】将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．‎ ‎（2）(2017兰州模拟)设函数y＝f(x)的图象与y＝2x＋a的图象关于直线y＝－x对称，且f(－2)＋f(－4)＝1，则a＝(　　)‎ A．－1 B．1 C．2 D．4‎ ‎【答案】　C 命题点2　确定函数零点的个数 ‎(3) (2016日照一模)已知f(x)＝则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是________．‎ ‎【答案】　5‎ ‎【解析】方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝或1，作出y＝f(x)的图象，由图象知零点的个数为5。‎ ‎（4）（2017江苏泰州中学高三月考）定义在上的奇函数，当时，‎ ‎，则函数 的所有零点之和为___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】结合图像可得；与函数的图像有5个交点，从左到右可记作；‎ 由 ，可得 ，所以 ， ，故可得；‎ 命题点3　　求参数的范围 ‎（5） (2017威海模拟)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　　)‎ A. B. C．(1,2) D．(2，＋∞)‎ ‎【答案】B ‎（6）（2017银川模拟）设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈‎ ‎[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．‎ 若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围为________．‎ ‎【答案】　 命题点4　　求不等式的解集 ‎（7）（2017哈尔滨模拟）函数f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)的奇函数，在(0，＋∞)上单调递增，图象如图所示．若x·[f(x)－f(－x)]<0，则x的取值范围为________．‎ ‎【答案】　(－3,0)∪(0,3)‎ ‎【解析】∵f(x)为奇函数，∴x·[f(x)－f(－x)]＝2x·f(x)<0，结合图象知x的范围为(－3,0)∪(0,3)．‎ 解题技巧与方法总结 函数图象应用中的技巧 ‎1．利用函数的图象研究函数的性质．一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域．上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．‎ ‎2．利用函数的图象研究方程根的个数；‎ 当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．‎ ‎3．利用函数的图象研究不等式；‎ 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．‎ ‎【变式训练】‎ ‎1.（2016天津河东区高三一模）若方程在内有解，则的图象可能是( )‎ ‎【答案】D ‎【解析】方程在内有解，即是的图象与函数的图象在内有交点；在A,B,C,三个选项中，当时，都有，不合题意，选项D中的图象显示，在轴左侧，的图象与函数的图象在内有交点；故选D．‎ ‎2.（2017届四川双流中学高三模拟）函数仅有一个负零点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎【答案】D ‎3．(2016成都模拟)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　)‎ A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)‎ C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)‎ ‎【答案】　D ‎【解析】　‎ ‎ ‎ f(x)为奇函数，所以不等式<0化为<0，即xf(x)<0，f(x)的大致图象如图所示．所以xf(x)<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．‎ 课本典例解析与变式 例1.【必修1第二十五页习题1.2 B组第3题】函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，；；当时，写出函数的解析式，并作出函数的图象．‎ ‎【原题解读】本题为取整函数；是指不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]或INT(x)。‎ 可先由取整函数的定义，利用分段函数表示出该函数的函数解析式，再画出函数图象，‎ 图象为一些线段。 ‎ 变式1.（2016北京模拟）对于任意实数，符号表示的整数部分，即是不超过的最大整数，‎ 例如；；．函数叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践 中有广泛的应用，则的值为________.‎ ‎【答案】42.‎ 变式2.（2017威海模拟）已知函数f(x)=x-[x],其中[x]表示不超过实数x的最大整数.若关于x的方程f(x)=kx+k有三个不同的实根,则实数k的取值范围是( ).‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】B.‎ 变式3（2016台州模拟）函数的值域为________.‎ ‎【答案】‎ 变式4.（2016高考新课标2）为等差数列的前项和，且记，其中 表示不超过的最大整数，如．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前1 000项和．‎ ‎【答案】（Ⅰ），， ；（Ⅱ）1893. ‎ ‎【课本回眸反思】‎ ‎ 1. 注重在教材中出现的新定义，它常常是高考题目生成和变化的源头；‎ ‎2. 在复习解题训练中因注重对数学课本中典型问题的解读和拓展；‎ ‎3． 解题中应该注重一题多解，一题多变，达到加深理解，灵活运用的目的，并提高复习效率。‎ 练习检测 ‎1.（2017银川一中高一期末)用固定的速度向如图所示形状的瓶中注水，则水面的高度h和时间t之间的 关系是(　　)‎ ‎　‎ ‎【答案】B.‎ ‎【解析】水面升高的速度由慢逐渐加快,则图像变化为由平缓到陡峭，选B。‎ 考点：函数图像 ‎2．（2017甘肃省河西五市联考）函数的图像为（ ）‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题得： 所以函数是偶函数，排除AB,当所以选D 考点：函数图像及性质 ‎3．（2017河南中原名校质检）如图，在边长为的正三角形中，点从点出发，沿 的方向前进，然后再回到点，在此过程中，即点走过的路程为，点到点的距离之和为，则函数的大致图像为（ ）‎ ‎【答案】A.‎ 考点：函数图像 ‎4．(2017北京大兴一模)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实数根，则实数k的取值范围是(　　)‎ A．(0，＋∞) B．(－∞，1) ‎ C．(1，＋∞) D．(0,1]‎ ‎【答案】　D ‎【解析】　作出函数y＝f(x)与y＝k的图象，如图所示：‎ 由图可知k∈(0,1]，故选D.‎ 考点：函数图象与方程的根.‎ ‎5．(2016洛阳模拟)若f(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则f(x－1)<0的解集是(　　)‎ A．(－1,0) B．(－∞，0)∪(1,2)‎ C．(1,2) D．(0,2)‎ ‎【答案】D 考点：函数图象与解不等式.‎ ‎6．函数y＝的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(　　)‎ A．2 B．4 ‎ C．6 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】如图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，两个图象在[－2,4]上共8个公共点，每两个对 应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8.‎ 考点：函数图象与方程的根..‎ ‎7.（2017届北京市高三定位考试）已知如下六个函数：，，，，，，从中选出两个函数记为和，若的图像如下图所示，则____.‎ ‎【答案】‎ 考点：函数的图象.‎ ‎8．(2016盘锦模拟)方程|x|＝cos x在(－∞，＋∞)内根的个数为________．‎ ‎【答案】　2‎ ‎【解析】如图所示，由图象可得两函数图象有两个交点，故方程有且仅有两个根．‎ 考点：函数图象与方程的根..‎ ‎9．如图，定义在[－1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________．‎ ‎【答案】f(x)＝ ‎【解析当－1≤x≤0时，设解析式为y＝kx＋b，则得∴y＝x＋1. ‎ 当x>0时，设解析式为y＝a(x－2)2－1，∵图象过点(4,0)，∴0＝a(4－2)2－1，得a＝.‎ ‎∴y＝(x－2)2－1.综上，f(x)＝ 考点：函数图象与解析式.‎ ‎10．(2016西安模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝若方程f(x)＝x＋a有两个不同实根，则a的取值范围为________．‎ ‎【答案】(－∞，1)‎ 考点：函数图象与零点，参数的取值范围.‎ ‎11．（2017浙江模拟考试）已知函数在区间内有两个零点，是的取值范围是________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】由题意得，，如下图所示，易知直线与抛物线 相切于点，画出不等式组所表示的区域，作直线：，平移，‎ 从而可知，故填：.‎ 考点：函数图像，零点，线性规划 ‎ ‎12．（2017昆明模拟）设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)，‎ ‎(1)证明：f(x)是偶函数；‎ ‎(2)画出这个函数的图象；‎ ‎(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增还是减函数；‎ ‎(4)求函数的值域．‎ ‎【答案】见解析 当－3≤x<0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2.‎ 故函数f(x)的值域为[－2,2]．‎ 考点：函数图象及性质.‎ ‎ ‎