湖南省永州市2020届高三上学期模拟考试 数学（文）

湖南省永州市2020届高三上学期模拟考试 数学（文）

永州市2020年高考第二次模拟考试试卷 数学(文科)‎ 注意事项：‎ ‎1.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。‎ ‎2.考试结束后，只交答题卡。‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.设复数z满足，则|z|＝‎ A.2 B. C.3 D.2‎ ‎2.已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)<0}，B＝{x|2x≤1}，则A∩B＝‎ A.(－2，1) B.(－2，0) C.(－2，0] D.(－2，－1]‎ ‎3.若{an}是等比数列，Sn为其前n项和，an>0，a2a4＝4，S3＝14，则其公比q等于 A. B. C.2 D.3‎ ‎4.为了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了20名肥胖者，健身之前他们的体重情况如三维饼图(1)所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如三维饼图(2)所示。‎ 对比健身前后，关于这20名肥胖者，下面结论不正确的是 A.他们健身后，体重在区间[90kg，100kg)内的人数不变 B.他们健身后，体重在区间[100kg，110kg)内的人数减少了4人 C.他们健身后，这20位健身者体重的中位数位于[90kg，100kg)‎ D.他们健身后，原来体重在[110kg，120kg]内的肥胖者体重都至少减轻了10kg ‎5.椭圆的左右顶点分别是A，B，左右焦点分别是F1，F2。若|AF1|，| F1F2|，|F1B|成等差数列，则该椭圆的离心率为 A. B. C. D.2‎ ‎6.若等边△ABC的边长为l，点M满足，则＝‎ A. B.2 C.2 D.0‎ ‎7.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AC1与平面B1BCC1所成角的正切值为 A.1 B. C. D.‎ ‎8.某程序框图如图所示，若输出的S＝41，则判断框内应填入 A.k>5? B.k>6? C.k>7? D.k>8?‎ ‎9.已知下列命题：‎ ‎①“若x2＋x－2≠0，则x≠1”为真命题：‎ ‎②命题p：x∈R，x2＋1>0，则p：x0∈R，x02＋1≤0；‎ ‎③若(k∈Z)，则函数y＝cos(2x＋φ)为奇函数；‎ ‎④若>0，则与的夹角为锐角。‎ 其中，正确命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎10.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的部分图像如右图所示，且A(，l)，B(π，－1)，则φ的值为 A. B. C.－ D.－‎ ‎11.已知双曲线的左右焦点分别是F1，F2，若双曲线右支上存在一点M，使得，则 A. B. C.2 D.‎ ‎12.已知函数，若f(x)－mx≥0，则实数m的取值范围是 A.[0.2] B.[－1，2] C.[－ln3，2] D.[－ln2，2]‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13.已知函数f(x)为奇函数，且当x<0时，f(x)＝x3－，则f(1)＝ 。‎ ‎14.已知角α的终边与单位圆x2＋y2＝1交于点P(，a)，则cos2α＝ 。‎ ‎15.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来。若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的体积的最小值为 (容器壁的厚度忽略不计)。‎ ‎16.数列{an}中，a1＝3，且(n≥2)，令，则数列{bn}的前2020项和S2020＝ 。‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，‎ 证明过程或演算步骤。第17题～第21题为必考题，考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎(一)必做题：60分。‎ ‎17.(本题满分12分)在△ABC中，∠ABC＝，点D在边AB上，BD＝2。‎ ‎(1)若△BCD的面积为2，求CD；‎ ‎(2)若cos∠BCA＝，cos∠DCA＝，求CD。‎ ‎18.(本题满分12分)某单位共有职工2000人，其中男职工1200人，女职工800人为调查2019年“双十一”购物节的消费情况，按照性别采用分层抽样的方法抽取了该单位100人在“双十一”当天网络购物的消费金额(单位：百元)，其频率分布直方图如下：‎ ‎(1)已知抽取的样本中，有3名女职工的消费不低于1000元，现从消费不低于1000元的职工中抽取3名职工进行购物指导，求抽取的3名职工中至少有两名女职工的概率；‎ ‎(2)在“双十一”当天网络购物消费金额不低于600元者称为“购物狂”，低于600元者称为“理性购物者”。已知在抽取的样本中有18名女职工消费不低于600元，请完成上图中的列联表，并判断能否有99%的把握认为“是不是购物狂”与性别有关。‎ 附：参考数据与公式 ‎19.(本题满分12分)如图所示的几何体B－ACDE中，AB⊥AC，AB＝4，AC＝3，DC⊥平面ABC，EA⊥平面ABC，点M在线段BC上，且AM＝。‎ ‎(1)证明：AM⊥平面BCD；‎ ‎(2)若点F为线段BE的中点，且三棱锥F－BCD的体积为1，求CD的长度。‎ ‎20.(本题满分12分)已知抛物线C：x2＝2y，过点(0，2)作直线l交抛物线于A、B两点。‎ ‎(1)证明：OA⊥OB；‎ ‎(2)若直线l的斜率为1，过点A、B分别作抛物线的切线l1，l2，若直线l1，l2，相交于点P，直线l1，l2交x轴分别于点M，N，求△MNP的外接圆的方程。‎ ‎21.(本题满分12分)已知函数。‎ ‎(1)若函数f(x)在定义域内是增函数，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)当a∈[1，e)时，求方程的根的个数。‎ ‎(二)选考题：10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做第一题计分。‎ ‎22.[选修4－4：坐标系与参数方程](本题满分10分)‎ 在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为(其中t为参数)。以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ。‎ ‎(1)写出直线C1的极坐标方程；‎ ‎(2)设动直线l：y＝kx(k>0)与C1，C2分别交于点M、N，求的最大值。‎ ‎23.[选修4－5：不等式选讲](本题满分10分)‎ 已知函数f(x)＝|x－2|。‎ ‎(1)求不等式f(x)≤2x＋5的解集；‎ ‎(2)已知a>0，记函数g(x)＝f(x＋1)－f(－x＋5)，且g(x)的最大值为M，求证：。‎ 永州市2020年高考第二次模拟考试试卷 数学（文科）参考答案 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎ ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B C B D B D B A C ‎ C A D ‎ ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.‎ ‎13． 14． 15． 16．‎ 三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 解：（1） ‎ ‎ …………………………………………………………………… 3分 ‎ 在中，由余弦定理可得 ‎ ‎ ‎ ………………………………………………………………… 6分 ‎（2）‎ ‎ ……………… 8分 ‎ ，‎ ‎，，………………………………………9分 ‎ ………………………………………………………… 10分 在中，由正弦定理可得，‎ ‎ ………………………………………………………12分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 解：（1）消费不低于1000元的共有 人， ……………………………1分 其中女职工3人设为，男职工2人，设为.从5名职工中选取3名职工的可能情况如下：‎ ‎（），（），（），（），（），（），（）（），（），（）共10种情况.………………3分 其中至少有两名女职工包括7种情况. …………………………………………4分 所以抽取的3名职工中至少有两名女职工的概率 . …………6分 ‎（2）应抽取男职工： 人，抽取女职工：人，‎ 理性购物者 购物狂 合计 男 ‎48‎ ‎12‎ ‎60‎ 女 ‎22‎ ‎18‎ ‎40‎ 合计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ ‎………………………………………………………………8分 ‎ （注：按表格前两行，一行数据全对时得1分）‎ ‎， …………………………………………10分 因为 所以有99%的把握认为“是不是购物狂”与性别有关. ………………………12分 ‎19．（本小题满分12分） ‎ 解：（1）平面，平面， ‎ ‎ ………………………………………………………………………1分 在中，，，，‎ 由得 ‎……………………………………………………………………………3分 ‎，即………………………………………………………5分 ‎，平面，平面 ‎ 平面…………………………………………………………………6分 ‎（2）取的中点，的中点,连接，,‎ ‎，， ……………………………………………7分 点为线段中点，‎ ‎. ………………………………………………………………………8分 平面， 平面，‎ ‎，，…………………………………………………………9分 ‎.‎ 平面，平面 平面 点到平面的距离等于点到平面的距离 …………………10分 平面，‎ 平面.‎ 设，则 ‎，即长为. …………………………………………………………12分 ‎20.（本小题满分12分）‎ 解：（1）显然直线的斜率存在，设直线：，设，‎ ‎ 联立得，……………………………………………2分 ‎ ，， ………………………………3分 ‎ ，……………………………4分 ‎ …………………………………………………………………5分 ‎（2） ‎ ‎ ，‎ ‎ 切线：即 ‎ 同理可得切线： ……………………………………………6分 ‎ 令，则，‎ ‎ 联立得，点 ……………………………………………8分 设的外接圆的方程为：‎ 令，则 ‎ 由韦达定理可得，， ………………………10分 ‎ ，且 ‎ ，………………………………………………………………………11分 则圆的方程为：即， …12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 解：（1）定义域：‎ 由题意知在时恒成立，………1分 即在时恒成立，………………………………………2分 所以时， ……………………………………………3分 ‎ 由于，所以……………………5分 ‎（2）设=‎ ‎，…………………6分 ①当时，，在是单调递增，‎ ‎，，‎ 所以存在唯一的使,即方程只有一个根. ……8分 ②当时，则，令，有或.‎ 所以在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数 的极大值为.……………9分 设，其中 则 所以在上是增函数，‎ 所以，即，‎ 所以在上无零点.………………………………………………………10分 又，，‎ 所以，‎ 又在单调递增，所以存在唯一的使.‎ 即方程只有一个根.…………………………………………………11分 综上所述，当时，方程有且只有一个根. ……………12分 ‎22.（本小题满分10分）‎ 解：（1）直线的直角坐标方程为， ……………………………………2分 将,代入方程得 ‎ ，即. ……………………………5分 ‎（2）依题意可设直线的极坐标方程为，‎ 设， …………………………………………………………6分 则， ……………………8分 由,有,……………………………………………9分 当时，的最大值为. ……………………………10分 ‎23.（本小题满分10分）‎ 解：（1）当时，原不等式即，解得； …………………………2分 ‎ 当时，原不等式即，解得， ……………………4分 不等式的解集为. ……………………………………5分 ‎（2）………………7分 ‎（当且仅当时等号成立）‎ ‎ . ……………………………9分 当且仅当，即时等号成立.…………………………………………10分 ‎