数学卷·2018届安徽省安庆市桐城中学高二上学期期中数学试卷(理科)+(解析版)

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文档介绍

数学卷·2018届安徽省安庆市桐城中学高二上学期期中数学试卷(理科)+(解析版)

‎2016-2017学年安徽省安庆市桐城中学高二(上)期中数学试卷 ‎ ‎ 一.选择题(共12题,每题5分)‎ ‎1.已知集合A={1,a},B={x|x2﹣5x+4<0,x∈Z},若A∩B≠∅,则a等于(  )‎ A.2 B.3 C.2或4 D.2或3‎ ‎2.已知f(x)=+ax,若f(ln3)=2,则f(ln)等于(  )‎ A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1‎ ‎3.设m,n是不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,有以下四个命题:‎ ‎①若m⊥α,n⊥α,则m∥n; ‎ ‎②若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n则α∥β;‎ ‎③若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ ‎④若γ⊥α,γ⊥β,则α∥β.‎ 其中正确命题的序号是(  )‎ A.①③ B.②③ C.③④ D.①④‎ ‎4.若直线y=x+b与曲线有公共点,则b的取值范围是(  )‎ A.[,] B.[,3] C.[﹣1,] D.[,3]‎ ‎5.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则(  )‎ A.a=4 B.a=5 C.a=6 D.a=7‎ ‎6.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表 广告费用x(万元)‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y(万元)‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ 根据上表可得回归方程=x+的为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(  )‎ A.63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元 D.72.0万元 ‎7.已知在数轴上0和3之间任取一实数x,则使“log2x<1”的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.在斜△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,A=,sinA+sin(B﹣C)=2sin2C,且△ABC的面积为1,则a的值为(  )‎ A.2 B. C. D.‎ ‎9.已知数列{an}为等差数列,Sn为前n项和,公差为d,若﹣=100,则d的值为(  )‎ A. B. C.10 D.20‎ ‎10.下列命题正确的是(  )‎ A.已知实数a,b,则“a>b”是“a2>b2”的必要不充分条件 B.“存在x0∈R,使得”的否定是“对任意x∈R,均有x2﹣1>0”‎ C.函数的零点在区间内 D.设m,n是两条直线,α,β是空间中两个平面,若m⊂α,n⊂β,m⊥n,则α⊥β ‎11.若P是以F1,F2为焦点的椭圆=1(a>b>0)上的一点,且=0,tan∠PF1F2=,则此椭圆的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.直线=1与椭圆=1相交于A,B两点,该椭圆上点P使得△PAB面积为2,这样的点P共有(  )个.‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎ ‎ 二.填空题(共4题,每题5分)‎ ‎13.设p:|4x﹣3|≤1;q:(x﹣a)(x﹣a﹣1)≤0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是  .‎ ‎14.数列{an}满足a1=2,且an+1﹣an=2n(n∈N*),则数列的前10项和为  .‎ ‎15.F1,F2分别为椭圆=1的左、右焦点,A为椭圆上一点,且=(+),=(+),则||+||  .‎ ‎16.过点M(1,2)作直线l交椭圆+=1于A,B两点,若点M恰为线段AB的中点,则直线l的方程为  .‎ ‎ ‎ 三.解答题(17题10分,其余每题12分)‎ ‎17.(10分)已知命题p:∀x∈[0,1],使恒成立,命题,使函数有零点,若命题“p∧q”是真命题,求实数m的取值范围.‎ ‎18.(12分)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=AA1=2,AC=,BC=3,M,N分别为B1C1、AA1的中点.‎ ‎(1)求证:平面ABC1⊥平面AA1C1C;‎ ‎(2)求证:MN∥平面ABC1,并求M到平面ABC1的距离.‎ ‎19.(12分)某公司的广告费支出x与销售额y(单位:万元)之间有下列对应数据 x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ 回归方程为=bx+a,其中b=,a=﹣b.‎ ‎(1)画出散点图,并判断广告费与销售额是否具有相关关系;‎ ‎(2)根据表中提供的数据,求出y与x的回归方程=bx+a;‎ ‎(3)预测销售额为115万元时,大约需要多少万元广告费.‎ ‎20.(12分)已知向量=(cos,﹣1),=(sin,cos2),函数f(x)=•+1.‎ ‎(1)若x∈[0,],f(x)=,求cosx的值;‎ ‎(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足2bcosA≤2c﹣a,求角B的取值范围.‎ ‎21.(12分)已知曲线E上任意一点P到两个定点和的距离之和为4,‎ ‎(1)求动点P的方程;‎ ‎(2)设过(0,﹣2)的直线l与曲线E交于C、D两点,且(O为坐标原点),求直线l的方程.‎ ‎22.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上一点(在x轴上方),连结PF1并延长交椭圆于另一点Q,设=λ.‎ ‎(1)若点P的坐标为 (1,),且△PQF2的周长为8,求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若PF2垂直于x轴,且椭圆C的离心率e∈[,],求实数λ的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年安徽省安庆市桐城中学高二(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一.选择题(共12题,每题5分)‎ ‎1.已知集合A={1,a},B={x|x2﹣5x+4<0,x∈Z},若A∩B≠∅,则a等于(  )‎ A.2 B.3 C.2或4 D.2或3‎ ‎【考点】交集及其运算.‎ ‎【分析】解不等式求出集合B,进而根据A∩B≠∅,可得b值.‎ ‎【解答】解:∵B={x|x2﹣5x+4<0,x∈Z}={2,3},集合A={1,a},‎ 若A∩B≠∅,则a=2或a=3,‎ 故选:D.‎ ‎【点评】本题考查的知识点是集合的交集及其运算,难度不大,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎2.已知f(x)=+ax,若f(ln3)=2,则f(ln)等于(  )‎ A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质;函数的值.‎ ‎【分析】利用函数的解析式求出f(x)+f(﹣x)的值,然后求解f(ln).‎ ‎【解答】解:因为,‎ 所以.‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】‎ 本题考查函数的奇偶性的性质的应用,函数值的求法,考查计算能力.‎ ‎ ‎ ‎3.设m,n是不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,有以下四个命题:‎ ‎①若m⊥α,n⊥α,则m∥n; ‎ ‎②若α∩γ=m,β∩γ=n,m∥n则α∥β;‎ ‎③若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ ‎④若γ⊥α,γ⊥β,则α∥β.‎ 其中正确命题的序号是(  )‎ A.①③ B.②③ C.③④ D.①④‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系.‎ ‎【分析】根据空间线面位置关系的性质和判定定理判断或举出反例说明.‎ ‎【解答】解:①由于垂直于同一个平面的两条直线平行,故①正确.‎ ‎②设三棱柱的三个侧面分别为α,β,γ,其中两条侧棱为m,n,显然m∥n,但α与β不平行,故②错误.‎ ‎③∵α∥β∥γ,∴当m⊥α时,m⊥γ,故③正确.‎ ‎④当三个平面α,β,γ两两垂直时,显然结论不成立,故④错误.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎4.若直线y=x+b与曲线有公共点,则b的取值范围是(  )‎ A.[,] B.[,3] C.[﹣1,] D.[,3]‎ ‎【考点】函数与方程的综合运用.‎ ‎【分析】本题要借助图形来求参数b的取值范围,曲线方程可化简为(x﹣2)2+(y﹣3)2=4(1≤y≤3),即表示圆心为(2,3)半径为2的半圆,画出图形即可得出参数b的范围.‎ ‎【解答】解:曲线方程可化简为(x﹣2)2+(y﹣3)2=4(1≤y≤3),‎ 即表示圆心为(2,3)半径为2的半圆,如图 依据数形结合,当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y=x+b距离等于2,即解得或,‎ 因为是下半圆故可知(舍),故 当直线过(0,3)时,解得b=3,‎ 故,‎ 故选D.‎ ‎【点评】考查方程转化为标准形式的能力,及借助图形解决问题的能力.本题是线与圆的位置关系中求参数的一类常见题型.‎ ‎ ‎ ‎5.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则(  )‎ A.a=4 B.a=5 C.a=6 D.a=7‎ ‎【考点】程序框图.‎ ‎【分析】根据已知流程图可得程序的功能是计算S=1++…+‎ 的值,利用裂项相消法易得答案.‎ ‎【解答】解:由已知可得该程序的功能是 计算并输出S=1++…+=1+1﹣=2﹣.‎ 若该程序运行后输出的值是,则 2﹣=.‎ ‎∴a=4,‎ 故选A.‎ ‎【点评】本题考查的知识点是程序框图,其中分析出程序的功能是解答的关键.‎ ‎ ‎ ‎6.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表 广告费用x(万元)‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y(万元)‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ 根据上表可得回归方程=x+的为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(  )‎ A.63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元 D.72.0万元 ‎【考点】线性回归方程.‎ ‎【分析】首先求出所给数据的平均数,得到样本中心点,根据线性回归直线过样本中心点,求出方程中的一个系数,得到线性回归方程,把自变量为6代入,预报出结果.‎ ‎【解答】解:∵ =3.5,‎ ‎=42,‎ ‎∵数据的样本中心点在线性回归直线上,‎ 回归方程中的为9.4,‎ ‎∴42=9.4×3.5+a,‎ ‎∴=9.1,‎ ‎∴线性回归方程是y=9.4x+9.1,‎ ‎∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6+9.1=65.5,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查线性回归方程.考查预报变量的值,考查样本中心点的应用,本题是一个基础题,这个原题在2011年山东卷第八题出现.‎ ‎ ‎ ‎7.已知在数轴上0和3之间任取一实数x,则使“log2x<1”的概率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】几何概型.‎ ‎【分析】以长度为测度,根据几何概型的概率公式即可得到结论.‎ ‎【解答】解:由log2x<1,得0<x<2,区间长为2,‎ 区间[0,3]长度为3,‎ 所以所求概率为.‎ 故选:A.‎ ‎【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算,根据对数的性质是解决本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎8.在斜△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,A=,sinA+sin(B﹣C)=2sin2C,且△ABC的面积为1,则a的值为(  )‎ A.2 B. C. D.‎ ‎【考点】正弦定理.‎ ‎【分析】由sinA+sin(B﹣C)=2sin2C,利用和差公式、倍角公式展开可得sinB=2sinC,利用正弦定理可得b=2c.再利用余弦定理与三角形面积计算公式即可得出.‎ ‎【解答】解:在斜△ABC中,∵sinA+sin(B﹣C)=2sin2C,‎ ‎∴sinBcosC+cosBsinC+sinBcosC﹣cosBsinC=2sin2C,‎ ‎∴2sinBcosC=4sinCcosC ‎∵cosC≠0,‎ ‎∴sinB=2sinC,‎ ‎∴b=2c.‎ ‎∵A=,‎ ‎∴由余弦定理可得:a2=(2c)2+c2﹣2×2c2cos=5c2.‎ ‎∵△ABC的面积为1,‎ ‎∴bcsinA=1,‎ ‎∴××sin=1,解得c2=1.‎ 则a=.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理、余弦定理、和差公式、倍角公式、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎9.已知数列{an}为等差数列,Sn为前n项和,公差为d,若﹣=100,则d的值为(  )‎ A. B. C.10 D.20‎ ‎【考点】等差数列的前n项和.‎ ‎【分析】由等差数列{an}可得: =d=n+为等差数列,即可得出.‎ ‎【解答】解:由等差数列{an}可得: =d=n+为等差数列,‎ ‎∵﹣=100,‎ ‎∴+﹣=100,‎ ‎∴10d=1,解得d=.‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的性质与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎10.下列命题正确的是(  )‎ A.已知实数a,b,则“a>b”是“a2>b2”的必要不充分条件 B.“存在x0∈R,使得”的否定是“对任意x∈R,均有x2﹣1>0”‎ C.函数的零点在区间内 D.设m,n是两条直线,α,β是空间中两个平面,若m⊂α,n⊂β,m⊥n,则α⊥β ‎【考点】命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】由充分必要条件的判定方法判断A;写出特称命题的否定判断B;由函数零点判定定理判断C;利用空间中的线面关系判断D.‎ ‎【解答】解:已知实数a,b,由a>b,不一定有a2>b2,反之由a2>b2,不一定有a>b,则“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件,故A错误;‎ ‎“存在x0∈R,使得”的否定是“对任意x∈R,均有x2﹣1≥0”,故B错误;‎ ‎∵函数与y=均为实数集上的增函数,∴函数为实数集上的真数,‎ 又,,∴函数的零点在区间内,故C正确;‎ 设m,n是两条直线,α,β是空间中两个平面,若m⊂α,n⊂β,m⊥n,则α与β相交或α∥β,故D错误.‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查命题的真假判断与应用,考查了充分必要条件的判定方法,考查了函数零点判定定理,考查空间想象能力和思维能力,是中档题.‎ ‎ ‎ ‎11.若P是以F1,F2为焦点的椭圆=1(a>b>0)上的一点,且=0,tan∠PF1F2=,则此椭圆的离心率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】根据向量、的数量积为零,可得△PF1F2‎ 是P为直角顶点的直角三角形.Rt△PF1F2中,根据正切的定义及,可设PF2=t,PF1=2t,由勾股定理,得出.利用椭圆的定义得到2a=PF1+PF2=3t,最后由椭圆离心率的定义可得此椭圆的离心率.‎ ‎【解答】解:∵‎ ‎∴,即△PF1F2是P为直角顶点的直角三角形.‎ ‎∵Rt△PF1F2中,,‎ ‎∴=,设PF2=t,则PF1=2t ‎∴=2c,‎ 又∵根据椭圆的定义,得2a=PF1+PF2=3t ‎∴此椭圆的离心率为e====‎ 故选A ‎【点评】本题给出椭圆的一个焦点三角形为直角三角形,根据一个内角的正切值,求椭圆的离心率,着重考查了椭圆的基本概念和简单几何性质,属于基础题.‎ ‎ ‎ ‎12.直线=1与椭圆=1相交于A,B两点,该椭圆上点P使得△PAB面积为2,这样的点P共有(  )个.‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】由题意可知:,求得A和B点坐标,求得丨AB丨=5,△PAB面积S=•丨AB丨•d=2,解得:d=,设与直线平行的直线为3x+4y+m=0,与椭圆相切,代入椭圆方程,由△=0,即可求得m的值,根据点到直线的距离公式可知:这样到直线AB的距离为 的直线有两条,这两条直线与椭圆都相交,分别有两个交点,共4个.‎ ‎【解答】解:由题意可知:,解得:或,‎ 设A(4,0),B(0,3),由条件可知:‎ 若点P到直线AB的距离为d,‎ 那么△PAB面积S=•丨AB丨•d=2,解得:d=,‎ 设与直线平行的直线为3x+4y+m=0,与椭圆相切,‎ ‎∴,整理得:18x2+6mx+m2﹣16×9=0,‎ 由△=0,即36m2﹣4×18(m2﹣16×9)=0,整理得:m2=288,解得:m=±12,‎ ‎∴切线方程l1:3x+4y+12=0,切线方程l2:3x+4y﹣12=0,‎ 由直线l1与直线=1的距离d1==(+1)>,‎ 同理直线l2与直线=1的距离d2==(﹣1)>,‎ ‎∴这样到直线AB的距离为的直线有两条,这两条直线与椭圆都相交,分别有两个交点,共4个,‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系,考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查点到直线的距离公式,三角形的面积公式,考查计算能力,属于中档题,‎ ‎ ‎ 二.填空题(共4题,每题5分)‎ ‎13.设p:|4x﹣3|≤1;q:(x﹣a)(x﹣a﹣1)≤0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是  .‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.‎ ‎【分析】解绝对值不等式|4x﹣3|≤1,我们可以求出满足命题p的x的取值范围,解二次不等式(x﹣a)(x﹣a﹣1)≤0,我们可求出满足命题q的x的取值范围,根据p是q的充分不必要条件,结合充要条件的定义,我们可以构造关于a的不等式组,解不等式组即可得到实数a的取值范围.‎ ‎【解答】解:命题p:|4x﹣3|≤1,即≤x≤1‎ 命题q:(x﹣a)(x﹣a﹣1)≤0,即a≤x≤a+1‎ ‎∵p是q的充分不必要条件,‎ ‎∴‎ 解得0≤a≤‎ 故答案为:‎ ‎【点评】本题考查的知识点是必要条件,充分条件与充要条件的判断,其中分别求出满足命题p和命题q的x的取值范围,是解答本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎14.数列{an}满足a1=2,且an+1﹣an=2n(n∈N*),则数列的前10项和为  .‎ ‎【考点】数列的求和.‎ ‎【分析】由a1=2,且an+1﹣an=2n,利用“累加求和”方法可得an,再利用等比数列的前n项和公式即可得出.‎ ‎【解答】解:∵a1=2,且an+1﹣an=2n,‎ ‎∴n≥2时,an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1=2n﹣1+2n﹣2+…+2+2=+1=2n,当n=1时也成立,‎ ‎∴an=2n.‎ ‎∴=.‎ ‎∴数列的前10项和==.‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查了“累加求和”方法、等比数列的前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎15.F1,F2分别为椭圆=1的左、右焦点,A为椭圆上一点,且=(+),=(+),则||+|| 6 .‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】求得椭圆的a=6,运用椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=12,由向量的中点表示形式,可得B为AF1的中点,C为AF2的中点,运用中位线定理和椭圆定义,即可得到所求值.‎ ‎【解答】解:椭圆=1的a=6,‎ 由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=12,‎ ‎=(+),可得B为AF1的中点,‎ ‎=(+),可得C为AF2的中点,‎ 由中位线定理可得|OB|=|AF2|,‎ ‎|OC|=|AF1|,‎ 即有||+||=(|AF1|+|AF2|)=a=6,‎ 故答案为:6.‎ ‎【点评】本题考查椭圆的定义、方程和性质,考查向量的中点表示形式,同时考查中位线定理,运用椭圆的第一定义是解题的关键,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎16.过点M(1,2)作直线l交椭圆+=1于A,B两点,若点M恰为线段AB的中点,则直线l的方程为 8x+25y﹣58=0 .‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】利用“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出.‎ ‎【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),则16x12+25y12=400,16x22+25y22=400,‎ ‎∴16(x1+x2)(x1﹣x2)+25(y1+y2)(y1﹣y2)=0.‎ ‎∵M(1,2)恰为线段AB的中点,‎ ‎∴32(x1﹣x2)+100(y1﹣y2)=0,‎ ‎∴直线AB的斜率为﹣,‎ ‎∴直线AB的方程为y﹣2=﹣(x﹣1),即8x+25y﹣58=0.‎ 故答案为8x+25y﹣58=0.‎ ‎【点评】本题考查了“点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式,属于中档题.‎ ‎ ‎ 三.解答题(17题10分,其余每题12分)‎ ‎17.(10分)(2016秋•桐城市校级期中)已知命题p:∀x∈[0,1],使恒成立,命题,使函数有零点,若命题“p∧q”是真命题,求实数m的取值范围.‎ ‎【考点】复合命题的真假.‎ ‎【分析】命题p:当x∈[0,1]时,,要使恒成立,需满足m≤.命题q:,当时,,,要使,函数有零点,即可得出m的取值范围.因为命题“p∧q”为真命题,所以p真,q真,进而得出.‎ ‎【解答】解:命题p:当x∈[0,1]时,,要使恒成立,需满足m≤1;‎ 命题q:,当时,‎ ‎,,要使,函数有零点,需满足0≤m≤2,‎ 因为命题“p∧q”为真命题,所以p真,q真,‎ 所以0≤m≤1.‎ ‎【点评】本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2016秋•桐城市校级期中)如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB=AA1=2,AC=,BC=3,M,N分别为B1C1、AA1的中点.‎ ‎(1)求证:平面ABC1⊥平面AA1C1C;‎ ‎(2)求证:MN∥平面ABC1,并求M到平面ABC1的距离.‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定;点、线、面间的距离计算.‎ ‎【分析】(1)根据线面垂直的判定定理,先证直线AB⊥平面AA1C1C,再根据面面垂直的判定定理,证得平面ABC1⊥平面AA1C1C.‎ ‎(2)根据面面平行的判定定理,先证平面MND∥平面ABC1,再根据面面平行的性质定理,得出MN∥平面ABC1,‎ 求M到平面ABC1的距离,则根据性质,等价转化为求N到平面ABC1的距离.作出点N作出平面ABC1的垂线,并根据相似求出垂线段的长度.‎ ‎【解答】证明:(1)∵AB2+AC2=BC2,∴AB⊥AC,‎ 又三棱柱中,有AA1⊥平面ABC,‎ ‎∴AA1⊥AB,‎ 又 AC∩AA1=A,‎ ‎∴AB⊥平面AA1C1C,‎ ‎∵AB⊂平面ABC1,‎ ‎∴平面ABC1⊥平面AA1C1C.‎ ‎(2)取BB1中点D,∵M为B1C1中点,‎ ‎∴MD∥BC1(中位线),‎ 又∵N为AA1中点,四边形ABB1A1为平行四边形,‎ ‎∴DN∥AB(中位线),‎ 又MD∩DN=D,‎ ‎∴平面MND∥平面ABC1.‎ ‎∵MN⊂平面MND,‎ ‎∴MN∥平面ABC1.‎ ‎∴N到平面ABC1的距离即为M到平面ABC1的距离.‎ ‎ 过N作NH⊥AC1于H,‎ ‎∵平面ABC1⊥平面AA1C1C,‎ ‎∴NH⊥平面ABC1,‎ ‎ 又根据△ANH∽△AC1A1‎ ‎∴.‎ ‎∴点M到平面ABC1的距离为.‎ ‎【点评】考查空间中点、线、面位置关系的判断及证明,点面距离的求法(几何法、等积法、向量法等),属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2016秋•桐城市校级期中)某公司的广告费支出x与销售额y(单位:万元)之间有下列对应数据 x ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ y ‎30‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎50‎ ‎70‎ 回归方程为=bx+a,其中b=,a=﹣b.‎ ‎(1)画出散点图,并判断广告费与销售额是否具有相关关系;‎ ‎(2)根据表中提供的数据,求出y与x的回归方程=bx+a;‎ ‎(3)预测销售额为115万元时,大约需要多少万元广告费.‎ ‎【考点】线性回归方程.‎ ‎【分析】(1)散点图如图:由图可判断:广告费与销售额具有相关关系.‎ ‎(2)先求出、的值,可得和 的值,从而求得和,的值,从而求得线性回归方程.‎ ‎(3)在回归方程中,令y=115,求得x的值,可得结论.‎ ‎【解答】解:(1)散点图如图:由图可判断:广告费与销售额具有相关关系.‎ ‎(2)∵,,‎ ‎∴=2×30+4×40+5×60+6×50+8×70=1380, =22+42+52+62+82=145,‎ ‎∴==6.5, =50﹣6.5×5=17.5,‎ ‎∴线性回归方程为 y=6.5x+17.5.‎ ‎(3)令y=115,可得6.5×x+17.5=115,求得x=15,故预测销售额为115万元时,‎ 大约需要15万元广告费.‎ ‎【点评】本题主要考查线性回归问题,求回归直线的方程,以及回归方程的应用,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎20.已知向量=(cos,﹣1),=(sin,cos2),函数f(x)=•+1.‎ ‎(1)若x∈[0,],f(x)=,求cosx的值;‎ ‎(2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足2bcosA≤2c﹣a,求角B的取值范围.‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用.‎ ‎【分析】(1)进行数量积的坐标运算,并根据二倍角的正余弦公式及两角差的正弦公式化简便可得出,由f(x)=便可得到,进而求出,根据cosx=即可求出cosx的值;‎ ‎(2)根据正弦定理便可由2bcosA≤2c﹣a得出,而sinC=sin(A+B),带入化简即可得出cosB≥,从而求出B的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)‎ ‎=+1‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=;‎ ‎∵,∴;‎ 又,∴;‎ ‎∴;‎ ‎∴‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=;‎ ‎(2)根据正弦定理,;‎ ‎∴a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,‎ 带入得:;‎ ‎∴;‎ ‎∴;‎ ‎∴;‎ ‎∴;‎ ‎∴;‎ 即角B的取值范围为(0,].‎ ‎【点评】考查数量积的坐标运算,二倍角的正余弦公式,两角和差的正余弦公式,以及正弦定理,并熟悉余弦函数的图象.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)(2012•密云县一模)已知曲线E上任意一点P到两个定点和的距离之和为4,‎ ‎(1)求动点P的方程;‎ ‎(2)设过(0,﹣2)的直线l与曲线E交于C、D两点,且(O为坐标原点),求直线l的方程.‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的定义.‎ ‎【分析】(1)根据题中条件:“距离之和为4”结合椭圆的定义,可知动点M的轨迹为椭圆,从而即可写出动点M的轨迹方程;‎ ‎(2)先考虑当直线l的斜率不存在时,不满足题意,再考虑当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx﹣2,设C(x1,y1),D(x2,y2),由向量和数量积可得:x1x2+y1y2=0,由方程组,将直线的方程代入椭圆的方程,消去y得到关于x的一元二次方程,再结合根系数的关系即可求得k值,从而解决问题.‎ ‎【解答】解:(1)根据椭圆的定义,可知动点M的轨迹为椭圆 其中a=2,,则,‎ 所以动点P的轨迹方程为;‎ ‎(2)当直线l的斜率不存在时,不满足题意,‎ 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx﹣2,设C(x1,y1),D(x2,y2),‎ ‎∵,‎ ‎∴x1x2+y1y2=0,‎ ‎∵y1=kx1﹣2,y2=kx2﹣2,‎ ‎∴y1y2=k2x1•x2﹣2k(x1+x2)+4,‎ ‎∴(1+k2)x1x2﹣2k(x1+x2)+4=0①‎ 由方程组 得(1+4k2)x2﹣16kx+12=0,‎ 则,,‎ 代入①,得,‎ 即k2=4,解得,k=2或k=﹣2,‎ 所以,直线l的方程是y=2x﹣2或y=﹣2x﹣2.‎ ‎【点评】本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、椭圆的定义、向量的运算等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎22.(12分)(2016秋•桐城市校级期中)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C: +=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上一点(在x轴上方),连结PF1并延长交椭圆于另一点Q,设=λ.‎ ‎(1)若点P的坐标为 (1,),且△PQF2的周长为8,求椭圆C的方程;‎ ‎(2)若PF2垂直于x轴,且椭圆C的离心率e∈[,],求实数λ的取值范围.‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】(1)由F1,F2为椭圆C的两焦点,且P,Q为椭圆上的点,利用椭圆的定义可得△PQF2的周长为4a.由点P的坐标为 (1,),可得+=1,解出即可得出.‎ ‎(2)利用向量坐标运算性质、点与椭圆的位置关系即可得出.‎ ‎【解答】解:(1)∵F1,F2为椭圆C的两焦点,且P,Q为椭圆上的点,‎ ‎∴PF1+PF2=QF1+QF2=2a,从而△PQF2的周长为4a.‎ 由题意,得4a=8,解得a=2. ‎ ‎∵点P的坐标为 (1,),∴+=1,‎ 解得b2=3.‎ ‎∴椭圆C的方程为+=1. ‎ ‎(2)∵PF2⊥x轴,且P在x轴上方,故设P(c,y0),y0>0.设Q(x1,y1).‎ ‎∵P在椭圆上,∴ +=1,解得y0=,即P(c,).‎ ‎∵F1(﹣c,0),∴=(﹣2c,﹣),=(x1+c,y1).‎ 由=λ,得﹣2c=λ(x1+c),﹣=λy1,‎ 解得x1=﹣c,y1=﹣,∴Q(﹣c,﹣).‎ ‎∵点Q在椭圆上,∴()2e2+=1,‎ 即(λ+2)2e2+(1﹣e2)=λ2,(λ2+4λ+3)e2=λ2﹣1‎
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