【数学】甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试（文）
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甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年
高二下学期期中考试（文）
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|y＝}，则A∩B为( )
A. (2，3] B. [2，3] C. (－1，3) D. [－2，3]
2．设函数f(x)＝－aln x，若f′(2)＝3，则实数a的值为( )
A.－4 B. 4 C. 2 D.－2
3. 下列函数中，既是奇函数又在区间(0，1)上递减的函数是( )
A. y＝tan x B. y＝x -3
C. y＝cos x D. y＝
4．曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为( )
A. x－y－π－1＝0 B. 2x－y－2π－1＝0
C. 2x＋y－2π＋1＝0 D. x＋y－π＋1＝0
5．若a>0，b>0且2a＋b＝4，则的最小值为( )
A. 2 B. C. 4 D.
6． 若函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是( )
7．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于 ( )
A. 28 B. 76 C. 123 D. 199
8．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x
＋1)的解集是( )
A. {x|－1
3x＋6的解集为( )
A. {x|－1－1}
C. {x|x<－1} D. R
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________．
14．把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r＝(其中a，b为直角三角形两直角边长)．类比此方法可得三条侧棱长分别为a，b，c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R＝________．
15．学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下，
甲说：“是C或D作品获得一等奖”；
乙说：“B作品获得一等奖”；
丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；
丁说：“是C作品获得一等奖”.
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是________．
16．已知函数f(x)＝则方程f(x)＝x＋1的实根个数为________．
三、解答题（本大题共6 小题，共70分）
17．（本小题满分10分）
已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
18．（本小题满分12分）
已知f(x)＝2|x＋1|＋|2x－1|.
(1)若f(x)>f(1)，求实数x的取值范围；
(2)已知 ＋≤3(其中m>0，n>0)，求证：m＋n≥．
19．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x－1)2＋y2＝1，直线l1：y＝x，直线l2过点
P(2，－1)，倾斜角为. 以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)写出直线l1与圆C的交点极坐标及直线l2的参数方程；
(2)设直线l2与圆C交于点E，F，求|PE|·|PF|的值．
20．（本小题满分12分）
设函数，若曲线在处的切线方程为直线．
(1)求的值；
(2)求函数的单调区间；
(3)若有三个零点，求实数的取值范围．
21．（本小题满分12分）
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
① sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
② sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③ sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④ sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)·cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)·cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
22．（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝ax－1－ln x(a∈R).
(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；
(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的最大值．
参考答案
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|y＝}，则A∩B为( )
A.(2，3] B.[2，3] C.(－1，3) D.[－2，3]
答案 B
2．设函数f(x)＝－aln x，若f′(2)＝3，则实数a的值为( )
A. －4 B. 4 C.2 D.－2
答案 A
3.下列函数中，既是奇函数又在区间(0，1)上递减的函数是( )
A. y＝tan x B.y＝x -3
C.y＝cos x D.y＝
答案 B
4．曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为( )
A.x－y－π－1＝0 B.2x－y－2π－1＝0
C.2x＋y－2π＋1＝0 D.x＋y－π＋1＝0
答案 C
5．若a>0，b>0且2a＋b＝4，则的最小值为( )
A.2 B. C.4 D.
答案 B
6．若函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在R上为减函数，则函数y＝loga(|x|－1)的图象可以是( )
答案 D
7．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于 ( )
A．28 B．76 C．123 D．199
答案 C
8．如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )
A.{x|－13x＋6的解集为( )
A.{x|－1－1}
C.{x|x<－1} D.R
解析 设g(x)＝f(x)－(3x＋6)，则g′(x)＝f′(x)－3<0，所以g(x)为减函数，又
g(－1)＝f(－1)－3＝0，
所以根据单调性可知g(x)>0的解集是{x|x<－1}.
答案 C
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________．
答案 32
14．把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形，则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径，以此可求得外接圆半径r＝(其中a，b为直角三角形两直角边长)．类比此方法可得三条侧棱长分别为a，b，c且两两垂直的三棱锥的外接球半径R＝________．
答案
15．学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下，
甲说：“是C或D作品获得一等奖”；
乙说：“B作品获得一等奖”；
丙说：“A，D两项作品未获得一等奖”；
丁说：“是C作品获得一等奖”.
若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是________.
答案 B
16．已知函数f(x)＝则方程f(x)＝x＋1的实根个数为________.
答案 2
三、解答题（本大题共6 小题，共70分）
17．（本小题满分10分）
已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解 (1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)由(1)知f(x)在[－1，1]上是增函数，
要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增．
结合f(x)的图象知
所以1f(1)，求实数x的取值范围；
(2) 已知f(x)＝2|x＋1|＋|2x－1|.
(1)若f(x)>f(1)，求实数x的取值范围；
(2)已知 ＋≤3(其中m>0，n>0)，求证：m＋n≥.
(1)解 f(x)>f(1)，即2|x＋1|＋|2x－1|>5.
①当x>时，2(x＋1)＋(2x－1)>5，得x>1；
②当－1≤x≤时，2(x＋1)－(2x－1)>5，得3>5，不成立；
③当x<－1时，－2(x＋1)－(2x－1)>5，得x<－.
综上，所求的x的取值范围是∪(1，＋∞).
(2)证明
因为m>0，n>0时，＋≥2，
当且仅当m＝n时，等号成立，
所以2≤3，得≥，
所以m＋n≥2≥.
19．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，圆C：(x－1)2＋y2＝1，直线l1：y＝x，直线l2过点P(2，－1)，倾斜角为.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)写出直线l1与圆C的交点极坐标及直线l2的参数方程；
(2)设直线l2与圆C交于点E，F，求|PE|·|PF|的值.
解 (1)联立消y得2x2－x＝0，
解之得x1＝0，x2＝，
当x1＝0时，y1＝0；当x2＝时，y2＝.
所以交点的直角坐标分别为O(0，0)，M，
对应的极坐标为O(0，0)，M.
直线l2的参数方程为(t为参数)，
(2)将l2的参数方程代入圆的方程(x－1)2＋y2＝1，
得＋＝1，
化简整理，得t2－(1＋)t＋1＝0，且Δ>0，
设点E，F分别对应参数t1，t2，所以t1t2＝1，
又由t1，t2的几何意义可知
|PE|·|PF|＝t1t2＝1. ................................12分
20．（本小题满分12分）
设函数，若曲线在处的切线方程为直线.
（1）求的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若有三个零点，求实数的取值范围．
解： (Ⅰ)由已知得切点，斜率
因为, 所以
，解得
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，因此
令即得或
令即得
故的单调增区间是；单调减区间为
（Ⅲ）所以函数极大值为,极小值为
要使得有三个零点，则曲线与直线有三个不同交点
所以实数的值为.
21．（本小题满分12分）
某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；
②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；
③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；
④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)·cos 48°；
⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)·cos 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解 (1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°＝1－sin 30°＝1－＝.
(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.
法一 sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α
＝sin2α＋cos2α＝.
法二 sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝sin2α＋cos(30°－α)[cos(30°－α)－sin α]
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)[(cos 30°cos α＋
sin 30°sin α)－sin α]
＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)·(cos 30°cos α－
sin 30°sin α)
＝sin2α＋(cos 30°cos α)2－(sin 30°sin α)2
＝sin2α＋cos2α－sin2α
＝sin2α＋cos2α
＝.
法三 sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)
＝＋－sin α(cos 30°cos α＋
sin 30°sin α)
＝－cos 2α＋＋(cos 60°cos 2α＋sin 60°sin 2α)－sin α
＝1－＋－sin 2α－
(1－cos 2α)＝.
22．（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝ax－1－ln x(a∈R).
(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；
(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的最大值.
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝a－＝.
当a≤0时，f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减.
∴f(x)在(0，＋∞)上没有极值点.
当a>0时，由f′(x)<0，得00，得x>，
∴f(x)在上递减，在上递增，即f(x)在x＝处有极小值.
综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上没有极值点；
当a>0时，f(x)在(0，＋∞)上有一个极值点.
(2)∵函数f(x)在x＝1处取得极值，
∴f′(1)＝a－1＝0，则a＝1，从而f(x)＝x－1－ln x.
因此f(x)≥bx－2⇒1＋－≥b，
令g(x)＝1＋－，则g′(x)＝，
令g′(x)＝0，得x＝e2，
则g(x)在(0，e2)上递减，在(e2，＋∞)上递增，
∴g(x)min＝g(e2)＝1－，即b≤1－.
故实数b的最大值是1－.
