吉林省长春汽车经济开发区第三中学2018-2019学年高二10月月考数学（理）试题

吉林省长春汽车经济开发区第三中学2018-2019学年高二10月月考数学（理）试题

长春汽车三中2018~2019学年高二上学期10月月考试卷 高二年级数学试卷(理科)‎ 满分：150分 考试时间：120分钟 ‎ 命题人： 高二数学组 校对：‎ 注意事项：‎ 1． 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共 2 页， 答题前，考生须将自己的姓名、班级、考号写在答题卡指定的位置上。考试结束，只上交答题卡。‎ 2． 选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上。非选择题须使用蓝、黑色字迹的笔在答题卡上书写。‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ ‎ 一、 选择题：（共12小题，每小题5分，共计60分）‎ ‎1．抛物线的准线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎ 2．已知椭圆，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于（ ）‎ A．4 B．5 ‎ C．7 D．8‎ ‎3．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）‎ A．2 B．4 ‎ C． D．‎ ‎4．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎5．若双曲线的离心率为，则实数等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎6．已知△ABC的三个顶点A(3,3,2)，B(4，－3,7)，C(0,5,1)，则BC边上的中线长为(　　)‎ A．2 B．3 ‎ C． D．‎ ‎7．向量a＝(2x,1,3)，b＝(1,－2y,9)，若a与b共线，则(　　)‎ A．x＝1，y＝1　 B．x＝，y＝ ‎ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝‎ ‎8．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）‎ A. B.3 ‎ C. D.‎ ‎10．长方体中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线A1 D与BE所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎11．已知空间四个点A(1,1,1)，B(－4,0,2)，C(－3，－1，0)，D(－1,0,4)，则直线AD与平面ABC所成的角为(　　)‎ A．30° B．45° ‎ C．60° D．90°‎ ‎12. 双曲线的两个焦点,，是双曲线上一点，且， 则的面积等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D.‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题：（共4小题，每小题5分，共计20分）‎ ‎13．设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则实数m的值为___________‎ ‎14．动圆经过点，且与直线相切，则动圆圆心的轨迹方程是____________.‎ ‎15．椭圆：，斜率为1的直线与椭圆交于两点，，则直线的方程为___________.‎ ‎16．设双曲线与直线交于两个不同的点，求双曲线的离心率的取值范围__________.‎ 三、解答题（共6小题，17题10分，18、19、20、21、22每小题12分，共计70分）‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在的平面，AB＝2，PC与平面ABCD所成角是45°，F是AD的中点，M是PC的中点．‎ 求证：DM∥平面PFB.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知抛物线与直线交于两点.‎ ‎(1)求弦的长度；‎ ‎(2)若点在抛物线上，且的面积为，求点的坐标.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知双曲线的一个焦点为，实轴长为，经过点作直线交双曲线于两点，且为的中点．‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）求直线的方程．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知抛物线上的点到焦点的距离为．‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）设，是抛物线上分别位于轴两侧的两个动点，且（其中为坐标原点）．‎ 求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC=4，点E在C1C上，且C1E＝3EC.‎ ‎(1)证明：A1C⊥平面BED；‎ ‎(2)求二面角A1－DE－B的余弦值．‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 已知CD是等边三角形ABC的AB边上的高,E,F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD 翻折成直二面角 A-DC-B.‎ ‎(1)求直线BC与平面DEF所成角的余弦值;‎ ‎(2)在线段BC上是否存在一点P,使AP⊥DE?证明你的结论 长春三中2018~2019学年高二上学期十月月考试卷 高二年级数学试卷(理科)答案 ‎1. 【答案】B ‎【解析】，则，则抛物线开口向上，且，‎ 可得准线方程为.‎ 考点：抛物线的标准方程及性质.‎ ‎2. 【答案】D ‎【解析】将椭圆的方程转化为标准形式为，‎ 显然且，解得．‎ 考点：椭圆的定义与简单的几何性质．‎ ‎3. 【答案】C ‎【解析】抛物线的焦点到准线的距离为，而因此选C.‎ 考点：抛物线的性质.‎ ‎4. 【答案】C ‎【解析】根据题意可知，结合的条件，可知，故选C.‎ 考点：椭圆和双曲线的性质.‎ ‎5. 【答案】B ‎【解析】∵，∴，又，，‎ ‎∴.‎ 考点：双曲线的离心率及的关系.‎ ‎6.【答案】B ‎【解析】易知BC的中点D的坐标为(2,1,4)，∴，‎ ‎∴. 考点：空间向量的模.‎ ‎7．【答案】C ‎【解析】由a与b共线知，a＝λb，∴2x＝λ，1＝－2λy，3＝9λ，‎ ‎∴λ＝，x＝，y＝.‎ 考点：空间向量的共线.‎ ‎8. 【答案】D ‎【解析】双曲线的一条渐近线是，则①，抛物线的准线是，因此，即②，由①②联立解得，所以双曲线方程为．故选D．‎ 考点：双曲线的标准方程．‎ ‎9. 【答案】A ‎【解析】由题意，设在抛物线准线的投影为，抛物线的焦点为，则，根据抛物线的定义可知点到该抛物线的准线的距离为,则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和 ‎，故选A.‎ 考点：抛物线的定义及其简单的几何性质.‎ ‎10. 【答案】A 考点：异面直线所成的角.‎ ‎11．【答案】A ‎【解析】设平面ABC的法向量为，∵，，由及，得令z＝1，得，，∴n＝(，，1)．，设AD与平面ABC所成的角为θ，则 ‎，∴θ＝30°．故选A．‎ 考点：直线和平面所成的角.‎ ‎12．【答案】C ‎13． 【答案】2‎ ‎【解析】∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝0，∴－2＋6－2m＝0，∴m＝2.‎ 考点：空间向量的垂直.‎ ‎14. 【答案】‎ ‎【解析】设点，设与直线的切点为，则，即动点到定点和定直线的距离相等，所以点的轨迹是抛物线，且以为焦点，以直线为准线，所以，所以动圆圆心的轨迹方程为.‎ 考点：抛物线的定义及其标准方程.‎ ‎15. 【答案】‎ ‎【解析】设直线方程为，联立可得，‎ ‎，，‎ ‎，所以直线方程为 考点：直线与椭圆相交的位置关系.‎ ‎16. 【答案】‎ ‎【解析】由与相交于两个不同的点，可知方程组有两组不同的解，消去，并整理得 解得，‎ 而双曲线的离心率，从而，‎ 故双曲线的离心率的取值范围为 考点：本题考查双曲线的简单性质；直线与双曲线的综合应用 ‎17． 【解析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 由PC与平面ABCD所成的角为45°，得∠PCD＝45°，则PD＝2，‎ P(0，0，2)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，F(1，0，0)，‎ D(0，0，0)，M(0，1，1)，‎ ‎∴＝(1，2，0)，＝(－1，0，2)，＝(0，1，1)．‎ 设平面PFB的法向量为n＝(x，y，z)，则，即．‎ 令y＝1，则x＝－2，z＝－1，故平面PFB的一个法向量为n＝(－2，1，－1)．‎ ‎∵·n＝0，∴⊥n．又DM⊄平面PFB，则DM∥平面PFB．‎ ‎18. 【答案】(1) (2)或 ‎【解析】 (1)设、,‎ 由得,. ‎ 解方程得或，∴、两点的坐标为、‎ ‎∴.‎ ‎(2)设点,点到的距离为,则 ‎,∴··=12，‎ ‎∴.∴，解得或 ‎∴点坐标为或. 考点：直线与椭圆的位置关系 ‎19. 【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由已知得，.‎ 所以双曲线的方程为.‎ ‎（2）设点，由题意可知直线的斜率存在，则可设直线的方程为，即.‎ 把代入双曲线的方程，‎ 得，①‎ 由题意可知，‎ 所以，解得．‎ 当时，方程①可化为. ‎ 此时，方程①有两个不等的实数解．‎ 所以直线的方程为 考点：双曲线方程，直线与双曲线的位置关系．‎ ‎20. 【答案】（1），（2）直线过定点 ‎【解析】（1）由抛物线的定义得，，解得，‎ 所以抛物线的方程为，代入点，可解得．‎ ‎（2）设直线的方程为，，，‎ 联立消元得，则，，‎ 由，得，所以或（舍去），‎ 即，即，所以直线的方程为，‎ 所以直线过定点．‎ 考点：抛物线的定义，直线与抛物线相交问题，定点问题．‎ ‎21． ‎ ‎【解析】以D为坐标原点，射线DA为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz．‎ 依题设知B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，4)．‎ 则＝(0，2，1)，＝(2，2，0)，＝(－2，2，－4)，＝(2，0，4)．‎ ‎（2）设向量n＝(x，y，z)是平面DA1E的法向量，‎ 则n⊥，n⊥，∴2y＋z＝0，2x＋4z＝0．‎ 令y＝1，则z＝－2，x＝4，∴n＝(4，1，－2)．‎ ‎∴cos〈n，〉＝．∴二面角A1－DE－B的余弦值为．‎ ‎22. 【解析】(1)以点D为坐标原点,直线DB,DC分别为x轴,y轴,建立空间直角坐标系,设等边三角形ABC的边长为a,则A,B,C,E,F,‎ 设平面EDF的法向量为n=(x,y,z),‎ 则 取n=(3,-,3).‎ 又因为,‎ 于是cos<,n>==-,‎ 因此直线BC与平面DEF所成角的余弦值等于.‎ ‎(2)假设在线段BC上存在一点,使AP⊥DE,‎ 令=λ,‎ 即=λ,‎ 则P,于是.‎ 因为AP⊥DE, 所以=0, 即=0,‎ 则λa2-a2=0,解得λ=. 故线段BC上存在一点P,使AP⊥DE.‎